Глава XII. § 68. Сложение вероятностей — с. 349
1134. Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:
1) либо дама, либо валет;
2) либо шестёрка, либо туз;
3) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти;
4) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти?
Решить задачу двумя способами.
1) либо дама, либо валет;
2) либо шестёрка, либо туз;
3) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти;
4) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти?
Решить задачу двумя способами.
Способ 1: теорема сложения для несовместных событий. Способ 2: прямой подсчёт благоприятных исходов (n = 36).
1) События «дама» (4/36) и «валет» (4/36) несовместны: P = 4/36 + 4/36 = 8/36 = 2/9. Прямо: 8 карт из 36, P = 2/9.
2) Шестёрка 4/36, туз 4/36: P = 8/36 = 2/9. Прямо: 8 карт.
3) Семёрка треф 1/36, бубновая масть 9/36; события несовместны (семёрка треф не бубновая): P = 1/36 + 9/36 = 10/36 = 5/18. Прямо: 1 + 9 = 10 карт.
4) Туз красной масти — 2 карты (туз бубён и туз червей), 2/36; трефовая масть 9/36; несовместны (красный туз не трефа): P = 2/36 + 9/36 = 11/36. Прямо: 2 + 9 = 11 карт.
Ответ: 1) 2/9; 2) 2/9; 3) 5/18; 4) 11/36.
1) События «дама» (4/36) и «валет» (4/36) несовместны: P = 4/36 + 4/36 = 8/36 = 2/9. Прямо: 8 карт из 36, P = 2/9.
2) Шестёрка 4/36, туз 4/36: P = 8/36 = 2/9. Прямо: 8 карт.
3) Семёрка треф 1/36, бубновая масть 9/36; события несовместны (семёрка треф не бубновая): P = 1/36 + 9/36 = 10/36 = 5/18. Прямо: 1 + 9 = 10 карт.
4) Туз красной масти — 2 карты (туз бубён и туз червей), 2/36; трефовая масть 9/36; несовместны (красный туз не трефа): P = 2/36 + 9/36 = 11/36. Прямо: 2 + 9 = 11 карт.
Ответ: 1) 2/9; 2) 2/9; 3) 5/18; 4) 11/36.
1135. В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар:
1) цветной;
2) либо белый, либо красный;
3) либо белый, либо синий?
Решить задачу двумя способами.
1) цветной;
2) либо белый, либо красный;
3) либо белый, либо синий?
Решить задачу двумя способами.
Всего n = 3 + 4 + 5 = 12 шаров. Цветной — не белый.
1) Способ 1: цветной = синий или красный, события несовместны: P = 4/12 + 5/12 = 9/12 = 3/4. Способ 2: событие, противоположное «цветной», — «белый», P = 3/12 = 1/4, значит P = 1 − 1/4 = 3/4.
2) Способ 1: P = 3/12 + 5/12 = 8/12 = 2/3. Способ 2: противоположное событие — «синий»: P = 1 − 4/12 = 8/12 = 2/3.
3) Способ 1: P = 3/12 + 4/12 = 7/12. Способ 2: противоположное событие — «красный»: P = 1 − 5/12 = 7/12.
Ответ: 1) 3/4; 2) 2/3; 3) 7/12.
1) Способ 1: цветной = синий или красный, события несовместны: P = 4/12 + 5/12 = 9/12 = 3/4. Способ 2: событие, противоположное «цветной», — «белый», P = 3/12 = 1/4, значит P = 1 − 1/4 = 3/4.
2) Способ 1: P = 3/12 + 5/12 = 8/12 = 2/3. Способ 2: противоположное событие — «синий»: P = 1 − 4/12 = 8/12 = 2/3.
3) Способ 1: P = 3/12 + 4/12 = 7/12. Способ 2: противоположное событие — «красный»: P = 1 − 5/12 = 7/12.
Ответ: 1) 3/4; 2) 2/3; 3) 7/12.
1136. В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом:
1) либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи;
2) либо спортивной, либо художественной лотереи;
3) либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи.
Решить задачу двумя способами.
1) либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи;
2) либо спортивной, либо художественной лотереи;
3) либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи.
Решить задачу двумя способами.
Всего n = 15 + 20 + 30 = 65 билетов.
1) Способ 1: P = 15/65 + 30/65 = 45/65 = 9/13. Способ 2: противоположное событие — билет художественной лотереи, P = 20/65 = 4/13, тогда P = 1 − 4/13 = 9/13.
2) Способ 1: P = 15/65 + 20/65 = 35/65 = 7/13. Способ 2: P = 1 − 30/65 = 35/65 = 7/13.
3) Способ 1: P = 20/65 + 30/65 = 50/65 = 10/13. Способ 2: P = 1 − 15/65 = 50/65 = 10/13.
Ответ: 1) 9/13; 2) 7/13; 3) 10/13.
1) Способ 1: P = 15/65 + 30/65 = 45/65 = 9/13. Способ 2: противоположное событие — билет художественной лотереи, P = 20/65 = 4/13, тогда P = 1 − 4/13 = 9/13.
2) Способ 1: P = 15/65 + 20/65 = 35/65 = 7/13. Способ 2: P = 1 − 30/65 = 35/65 = 7/13.
3) Способ 1: P = 20/65 + 30/65 = 50/65 = 10/13. Способ 2: P = 1 − 15/65 = 50/65 = 10/13.
Ответ: 1) 9/13; 2) 7/13; 3) 10/13.
1137. Найти вероятность того, что в результате одного бросания игральной кости выпадет число, отличное от 1.
Событие A — выпало число 1, P(A) = 1/6. Событие «число, отличное от 1» противоположно A, поэтому P = 1 − 1/6 = 5/6.
Ответ: 5/6.
Ответ: 5/6.
1138. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино одна кость окажется не дублем.
Всего 28 костей, дублей 7, значит P(дубль) = 7/28 = 1/4. Событие «не дубль» противоположно, P = 1 − 1/4 = 3/4 (проверка: недублей 21, 21/28 = 3/4).
Ответ: 3/4.
Ответ: 3/4.
1139. Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один раз некоторым баскетболистом, равна 0,4. Найти вероятность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист промахнётся.
Промах — событие, противоположное попаданию: P = 1 − 0,4 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Ответ: 0,6.
1140. Вероятность выигрыша по одному билету в некоторой лотерее равна 10^(−5). Какова вероятность приобретения невыигрышного билета при покупке одного билета?
Невыигрышный билет — событие, противоположное выигрышу: P = 1 − 10^(−5) = 1 − 0,00001 = 0,99999.
Ответ: 0,99999.
Ответ: 0,99999.
1141. В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) чёрный шар.
Всего шаров 12, n = C(12,3) = 220.
1) Противоположное событие — нет ни одного белого, т. е. все три чёрные: m = C(7,3) = 35, P = 35/220 = 7/44. Тогда P = 1 − 7/44 = 37/44.
2) Противоположное событие — все три белые: C(5,3) = 10, 10/220 = 1/22. Тогда P = 1 − 1/22 = 21/22.
Ответ: 1) 37/44; 2) 21/22.
1) Противоположное событие — нет ни одного белого, т. е. все три чёрные: m = C(7,3) = 35, P = 35/220 = 7/44. Тогда P = 1 − 7/44 = 37/44.
2) Противоположное событие — все три белые: C(5,3) = 10, 10/220 = 1/22. Тогда P = 1 − 1/22 = 21/22.
Ответ: 1) 37/44; 2) 21/22.
1142. В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) красный шар.
Всего шаров 11, n = C(11,4) = 330.
1) Противоположное событие — все четыре красные: C(5,4) = 5, 5/330 = 1/66. P = 1 − 1/66 = 65/66.
2) Противоположное событие — все четыре белые: C(6,4) = 15, 15/330 = 1/22. P = 1 − 1/22 = 21/22.
Ответ: 1) 65/66; 2) 21/22.
1) Противоположное событие — все четыре красные: C(5,4) = 5, 5/330 = 1/66. P = 1 − 1/66 = 65/66.
2) Противоположное событие — все четыре белые: C(6,4) = 15, 15/330 = 1/22. P = 1 − 1/22 = 21/22.
Ответ: 1) 65/66; 2) 21/22.