Глава XII. § 67. Вероятность события — с. 345
1124. (Устно.) Какова вероятность выпадения числа: 1) 2; 2) 5 в результате одного бросания игрального кубика?
Всего равновозможных исходов n = 6, каждому числу благоприятствует один исход (m = 1).
1) P = 1/6.
2) P = 1/6.
Ответ: 1) 1/6; 2) 1/6.
1) P = 1/6.
2) P = 1/6.
Ответ: 1) 1/6; 2) 1/6.
1125. Какова вероятность того, что при изъятии одной карты из колоды в 36 листов игрок вынет:
1) даму треф;
2) короля пик;
3) валета красной масти;
4) семёрку чёрной масти;
5) шестёрку;
6) туза;
7) или даму, или валета;
8) или восьмёрку, или девятку;
9) или короля червовой масти, или даму любой масти;
10) или валета любой масти, или туза пик;
11) не короля треф;
12) не даму?
1) даму треф;
2) короля пик;
3) валета красной масти;
4) семёрку чёрной масти;
5) шестёрку;
6) туза;
7) или даму, или валета;
8) или восьмёрку, или девятку;
9) или короля червовой масти, или даму любой масти;
10) или валета любой масти, или туза пик;
11) не короля треф;
12) не даму?
В колоде n = 36 карт: 4 масти по 9 карт (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т); две масти красные (бубны, червы), две чёрные (трефы, пики).
1) Одна дама треф: m = 1, P = 1/36.
2) Один король пик: P = 1/36.
3) Красных валетов 2 (бубновый и червовый): P = 2/36 = 1/18.
4) Чёрных семёрок 2: P = 2/36 = 1/18.
5) Шестёрок 4: P = 4/36 = 1/9.
6) Тузов 4: P = 4/36 = 1/9.
7) Дам 4 и валетов 4, всего 8 карт: P = 8/36 = 2/9.
8) Восьмёрок 4 и девяток 4: m = 8, P = 8/36 = 2/9.
9) Король червей (1 карта) и 4 дамы; эти карты различны, m = 5, P = 5/36.
10) Валетов 4 и туз пик (не валет): m = 5, P = 5/36.
11) Подходят все карты, кроме одной: m = 35, P = 35/36.
12) Не дама: 36 − 4 = 32 карты, P = 32/36 = 8/9.
Ответ: 1) 1/36; 2) 1/36; 3) 1/18; 4) 1/18; 5) 1/9; 6) 1/9; 7) 2/9; 8) 2/9; 9) 5/36; 10) 5/36; 11) 35/36; 12) 8/9.
1) Одна дама треф: m = 1, P = 1/36.
2) Один король пик: P = 1/36.
3) Красных валетов 2 (бубновый и червовый): P = 2/36 = 1/18.
4) Чёрных семёрок 2: P = 2/36 = 1/18.
5) Шестёрок 4: P = 4/36 = 1/9.
6) Тузов 4: P = 4/36 = 1/9.
7) Дам 4 и валетов 4, всего 8 карт: P = 8/36 = 2/9.
8) Восьмёрок 4 и девяток 4: m = 8, P = 8/36 = 2/9.
9) Король червей (1 карта) и 4 дамы; эти карты различны, m = 5, P = 5/36.
10) Валетов 4 и туз пик (не валет): m = 5, P = 5/36.
11) Подходят все карты, кроме одной: m = 35, P = 35/36.
12) Не дама: 36 − 4 = 32 карты, P = 32/36 = 8/9.
Ответ: 1) 1/36; 2) 1/36; 3) 1/18; 4) 1/18; 5) 1/9; 6) 1/9; 7) 2/9; 8) 2/9; 9) 5/36; 10) 5/36; 11) 35/36; 12) 8/9.
1126. Какова вероятность того, что на открытом наугад листе отрывного календаря на январь окажется:
1) 21-е число;
2) 10-е число;
3) 31-е число;
4) 32-е число;
5) число, содержащее в своей записи цифру 0;
6) число, содержащее цифру 4;
7) число, содержащее хотя бы одну цифру 2;
8) число, содержащее хотя бы одну цифру 1?
1) 21-е число;
2) 10-е число;
3) 31-е число;
4) 32-е число;
5) число, содержащее в своей записи цифру 0;
6) число, содержащее цифру 4;
7) число, содержащее хотя бы одну цифру 2;
8) число, содержащее хотя бы одну цифру 1?
В январе n = 31 число.
1) Одно число: P = 1/31.
2) P = 1/31.
3) P = 1/31.
4) Такого числа в январе нет, событие невозможно: P = 0.
5) Цифру 0 содержат числа 10, 20, 30: m = 3, P = 3/31.
6) Цифру 4 содержат 4, 14, 24: m = 3, P = 3/31.
7) Цифру 2 содержат 2, 12, 20, 21, ..., 29 (десять чисел), всего 1 + 1 + 10 = 12 чисел (число 22 посчитано один раз): P = 12/31.
8) Цифру 1 содержат 1, 10, 11, ..., 19 (десять чисел), 21, 31: 1 + 10 + 2 = 13 чисел: P = 13/31.
Ответ: 1) 1/31; 2) 1/31; 3) 1/31; 4) 0; 5) 3/31; 6) 3/31; 7) 12/31; 8) 13/31.
1) Одно число: P = 1/31.
2) P = 1/31.
3) P = 1/31.
4) Такого числа в январе нет, событие невозможно: P = 0.
5) Цифру 0 содержат числа 10, 20, 30: m = 3, P = 3/31.
6) Цифру 4 содержат 4, 14, 24: m = 3, P = 3/31.
7) Цифру 2 содержат 2, 12, 20, 21, ..., 29 (десять чисел), всего 1 + 1 + 10 = 12 чисел (число 22 посчитано один раз): P = 12/31.
8) Цифру 1 содержат 1, 10, 11, ..., 19 (десять чисел), 21, 31: 1 + 10 + 2 = 13 чисел: P = 13/31.
Ответ: 1) 1/31; 2) 1/31; 3) 1/31; 4) 0; 5) 3/31; 6) 3/31; 7) 12/31; 8) 13/31.
1127. В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар:
1) белый;
2) чёрный;
3) красный;
4) белый или чёрный;
5) белый или красный;
6) чёрный или красный;
7) или белый, или чёрный, или красный;
8) синий.
1) белый;
2) чёрный;
3) красный;
4) белый или чёрный;
5) белый или красный;
6) чёрный или красный;
7) или белый, или чёрный, или красный;
8) синий.
Всего шаров n = 2 + 3 + 4 = 9.
1) P = 2/9.
2) P = 3/9 = 1/3.
3) P = 4/9.
4) Белых и чёрных 5 шаров: P = 5/9.
5) Белых и красных 6 шаров: P = 6/9 = 2/3.
6) Чёрных и красных 7 шаров: P = 7/9.
7) Любой из имеющихся шаров: 9 шаров, событие достоверное, P = 1.
8) Синих шаров нет, событие невозможно: P = 0.
Ответ: 1) 2/9; 2) 1/3; 3) 4/9; 4) 5/9; 5) 2/3; 6) 7/9; 7) 1; 8) 0.
1) P = 2/9.
2) P = 3/9 = 1/3.
3) P = 4/9.
4) Белых и чёрных 5 шаров: P = 5/9.
5) Белых и красных 6 шаров: P = 6/9 = 2/3.
6) Чёрных и красных 7 шаров: P = 7/9.
7) Любой из имеющихся шаров: 9 шаров, событие достоверное, P = 1.
8) Синих шаров нет, событие невозможно: P = 0.
Ответ: 1) 2/9; 2) 1/3; 3) 4/9; 4) 5/9; 5) 2/3; 6) 7/9; 7) 1; 8) 0.
1128. В лотерее участвуют 100 билетов, среди которых: 1) 4 выигрышных; 2) 5 выигрышных. Наугад берут один билет. Какова вероятность того, что взятый билет выигрышный?
Число всех исходов n = 100.
1) m = 4, P = 4/100 = 1/25 = 0,04.
2) m = 5, P = 5/100 = 1/20 = 0,05.
Ответ: 1) 1/25; 2) 1/20.
1) m = 4, P = 4/100 = 1/25 = 0,04.
2) m = 5, P = 5/100 = 1/20 = 0,05.
Ответ: 1) 1/25; 2) 1/20.
1129. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что:
1) на обеих костях выпали числа 6;
2) на обеих костях выпали числа 5;
3) на первой кости выпало число 2, а на второй число 3;
4) на первой кости выпало число 6, а на второй число 1;
5) на первой кости выпало чётное число, а на второй число 3;
6) на первой кости выпало число 2, а на второй нечётное число;
7) на первой кости выпало нечётное число, а на второй чётное число;
8) на первой кости выпало чётное число, а на второй кратное трём;
9) на первой кости выпало число, большее 2, а на второй число, не меньшее 4;
10) на первой кости выпало число, не большее 4, а на второй число, большее 4;
11) сумма выпавших чисел равна 3;
12) сумма выпавших чисел равна 4;
13) сумма выпавших чисел не больше 4;
14) сумма выпавших чисел не меньше 10;
15) произведение выпавших чисел равно 10;
16) произведение выпавших чисел равно 5;
17) произведение выпавших чисел равно 6;
18) произведение выпавших чисел равно 4.
1) на обеих костях выпали числа 6;
2) на обеих костях выпали числа 5;
3) на первой кости выпало число 2, а на второй число 3;
4) на первой кости выпало число 6, а на второй число 1;
5) на первой кости выпало чётное число, а на второй число 3;
6) на первой кости выпало число 2, а на второй нечётное число;
7) на первой кости выпало нечётное число, а на второй чётное число;
8) на первой кости выпало чётное число, а на второй кратное трём;
9) на первой кости выпало число, большее 2, а на второй число, не меньшее 4;
10) на первой кости выпало число, не большее 4, а на второй число, большее 4;
11) сумма выпавших чисел равна 3;
12) сумма выпавших чисел равна 4;
13) сумма выпавших чисел не больше 4;
14) сумма выпавших чисел не меньше 10;
15) произведение выпавших чисел равно 10;
16) произведение выпавших чисел равно 5;
17) произведение выпавших чисел равно 6;
18) произведение выпавших чисел равно 4.
Исходы — упорядоченные пары (a; b), n = 6 · 6 = 36, все равновозможны.
1) Пара (6; 6): m = 1, P = 1/36.
2) Пара (5; 5): P = 1/36.
3) Пара (2; 3): P = 1/36.
4) Пара (6; 1): P = 1/36.
5) a ∈ {2, 4, 6}, b = 3: m = 3, P = 3/36 = 1/12.
6) a = 2, b ∈ {1, 3, 5}: m = 3, P = 1/12.
7) a — 3 нечётных значения, b — 3 чётных: m = 3 · 3 = 9, P = 9/36 = 1/4.
8) a ∈ {2, 4, 6}, b ∈ {3, 6}: m = 3 · 2 = 6, P = 6/36 = 1/6.
9) a ∈ {3, 4, 5, 6} (4 значения), b ∈ {4, 5, 6} (3 значения): m = 12, P = 12/36 = 1/3.
10) a ∈ {1, 2, 3, 4} (4 значения), b ∈ {5, 6} (2 значения): m = 8, P = 8/36 = 2/9.
11) Сумма 3: (1; 2), (2; 1): m = 2, P = 2/36 = 1/18.
12) Сумма 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1): m = 3, P = 3/36 = 1/12.
13) Сумма не больше 4: суммы 2, 3, 4: (1; 1), два исхода с суммой 3 и три с суммой 4, всего 6 исходов, P = 6/36 = 1/6.
14) Сумма не меньше 10: сумма 10 — (4; 6), (5; 5), (6; 4); сумма 11 — (5; 6), (6; 5); сумма 12 — (6; 6); m = 6, P = 6/36 = 1/6.
15) Произведение 10 = 2 · 5: пары (2; 5), (5; 2); m = 2, P = 2/36 = 1/18.
16) Произведение 5: (1; 5), (5; 1); m = 2, P = 1/18.
17) Произведение 6: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1); m = 4, P = 4/36 = 1/9.
18) Произведение 4: (1; 4), (2; 2), (4; 1); m = 3, P = 3/36 = 1/12.
Ответ: 1) 1/36; 2) 1/36; 3) 1/36; 4) 1/36; 5) 1/12; 6) 1/12; 7) 1/4; 8) 1/6; 9) 1/3; 10) 2/9; 11) 1/18; 12) 1/12; 13) 1/6; 14) 1/6; 15) 1/18; 16) 1/18; 17) 1/9; 18) 1/12.
1) Пара (6; 6): m = 1, P = 1/36.
2) Пара (5; 5): P = 1/36.
3) Пара (2; 3): P = 1/36.
4) Пара (6; 1): P = 1/36.
5) a ∈ {2, 4, 6}, b = 3: m = 3, P = 3/36 = 1/12.
6) a = 2, b ∈ {1, 3, 5}: m = 3, P = 1/12.
7) a — 3 нечётных значения, b — 3 чётных: m = 3 · 3 = 9, P = 9/36 = 1/4.
8) a ∈ {2, 4, 6}, b ∈ {3, 6}: m = 3 · 2 = 6, P = 6/36 = 1/6.
9) a ∈ {3, 4, 5, 6} (4 значения), b ∈ {4, 5, 6} (3 значения): m = 12, P = 12/36 = 1/3.
10) a ∈ {1, 2, 3, 4} (4 значения), b ∈ {5, 6} (2 значения): m = 8, P = 8/36 = 2/9.
11) Сумма 3: (1; 2), (2; 1): m = 2, P = 2/36 = 1/18.
12) Сумма 4: (1; 3), (2; 2), (3; 1): m = 3, P = 3/36 = 1/12.
13) Сумма не больше 4: суммы 2, 3, 4: (1; 1), два исхода с суммой 3 и три с суммой 4, всего 6 исходов, P = 6/36 = 1/6.
14) Сумма не меньше 10: сумма 10 — (4; 6), (5; 5), (6; 4); сумма 11 — (5; 6), (6; 5); сумма 12 — (6; 6); m = 6, P = 6/36 = 1/6.
15) Произведение 10 = 2 · 5: пары (2; 5), (5; 2); m = 2, P = 2/36 = 1/18.
16) Произведение 5: (1; 5), (5; 1); m = 2, P = 1/18.
17) Произведение 6: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1); m = 4, P = 4/36 = 1/9.
18) Произведение 4: (1; 4), (2; 2), (4; 1); m = 3, P = 3/36 = 1/12.
Ответ: 1) 1/36; 2) 1/36; 3) 1/36; 4) 1/36; 5) 1/12; 6) 1/12; 7) 1/4; 8) 1/6; 9) 1/3; 10) 2/9; 11) 1/18; 12) 1/12; 13) 1/6; 14) 1/6; 15) 1/18; 16) 1/18; 17) 1/9; 18) 1/12.