Глава XII. § 67. Вероятность события — с. 346
1130. Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что:
1) обе детали оказались бракованными;
2) одна деталь бракованная, а другая нет;
3) обе детали не бракованные?
1) обе детали оказались бракованными;
2) одна деталь бракованная, а другая нет;
3) обе детали не бракованные?
Число способов выбрать 2 детали из 20: n = C(20,2) = 190.
1) Обе бракованные: m = C(3,2) = 3, P = 3/190.
2) Одна бракованная из 3 и одна годная из 17: m = 3 · 17 = 51, P = 51/190.
3) Обе годные: m = C(17,2) = 136, P = 136/190 = 68/95.
Проверка: 3 + 51 + 136 = 190.
Ответ: 1) 3/190; 2) 51/190; 3) 68/95.
1) Обе бракованные: m = C(3,2) = 3, P = 3/190.
2) Одна бракованная из 3 и одна годная из 17: m = 3 · 17 = 51, P = 51/190.
3) Обе годные: m = C(17,2) = 136, P = 136/190 = 68/95.
Проверка: 3 + 51 + 136 = 190.
Ответ: 1) 3/190; 2) 51/190; 3) 68/95.
1131. Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут 2 лампочки. Какова вероятность того, что:
1) обе выбранные лампочки испорчены;
2) одна лампочка исправная, а одна — испорченная;
3) обе лампочки исправные?
1) обе выбранные лампочки испорчены;
2) одна лампочка исправная, а одна — испорченная;
3) обе лампочки исправные?
Число способов выбрать 2 лампочки из 15: n = C(15,2) = 105. Исправных лампочек 11.
1) m = C(4,2) = 6, P = 6/105 = 2/35.
2) m = 11 · 4 = 44, P = 44/105.
3) m = C(11,2) = 55, P = 55/105 = 11/21.
Проверка: 6 + 44 + 55 = 105.
Ответ: 1) 2/35; 2) 44/105; 3) 11/21.
1) m = C(4,2) = 6, P = 6/105 = 2/35.
2) m = 11 · 4 = 44, P = 44/105.
3) m = C(11,2) = 55, P = 55/105 = 11/21.
Проверка: 6 + 44 + 55 = 105.
Ответ: 1) 2/35; 2) 44/105; 3) 11/21.
1132. Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что:
1) на каждой кости выпало число 3;
2) выпали одинаковые числа;
3) сумма чисел на всех костях равна 4;
4) произведение всех выпавших чисел равно 2?
1) на каждой кости выпало число 3;
2) выпали одинаковые числа;
3) сумма чисел на всех костях равна 4;
4) произведение всех выпавших чисел равно 2?
Число исходов n = 6 · 6 · 6 = 216 (упорядоченные тройки).
1) Тройка (3; 3; 3): m = 1, P = 1/216.
2) Одинаковые числа: (k; k; k), k = 1, ..., 6: m = 6, P = 6/216 = 1/36.
3) Сумма 4 = 1 + 1 + 2: тройки (1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1): m = 3, P = 3/216 = 1/72.
4) Произведение 2 = 1 · 1 · 2: те же три перестановки, m = 3, P = 1/72.
Ответ: 1) 1/216; 2) 1/36; 3) 1/72; 4) 1/72.
1) Тройка (3; 3; 3): m = 1, P = 1/216.
2) Одинаковые числа: (k; k; k), k = 1, ..., 6: m = 6, P = 6/216 = 1/36.
3) Сумма 4 = 1 + 1 + 2: тройки (1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1): m = 3, P = 3/216 = 1/72.
4) Произведение 2 = 1 · 1 · 2: те же три перестановки, m = 3, P = 1/72.
Ответ: 1) 1/216; 2) 1/36; 3) 1/72; 4) 1/72.
1133. Из полного набора домино, не глядя, извлекают две костяшки. Найти вероятность того, что:
1) обе костяшки окажутся дублями;
2) на каждой из костяшек одна половинка будет «пустой».
1) обе костяшки окажутся дублями;
2) на каждой из костяшек одна половинка будет «пустой».
В полном наборе 28 костяшек (пары (i; j), 0 ≤ i ≤ j ≤ 6). Число способов выбрать две: n = C(28,2) = 378.
1) Дублей 7 (0-0, 1-1, ..., 6-6): m = C(7,2) = 21, P = 21/378 = 1/18.
2) Костяшки, у которых есть пустая половинка: 0-0, 0-1, ..., 0-6, их 7. Нужно, чтобы обе выбранные костяшки были из этих семи: m = C(7,2) = 21, P = 21/378 = 1/18.
Ответ: 1) 1/18; 2) 1/18.
Оговорка: в п. 2 костяшка 0-0 (обе половинки пустые) считается подходящей, так как у неё есть пустая половинка; это согласуется с ответом учебника.
1) Дублей 7 (0-0, 1-1, ..., 6-6): m = C(7,2) = 21, P = 21/378 = 1/18.
2) Костяшки, у которых есть пустая половинка: 0-0, 0-1, ..., 0-6, их 7. Нужно, чтобы обе выбранные костяшки были из этих семи: m = C(7,2) = 21, P = 21/378 = 1/18.
Ответ: 1) 1/18; 2) 1/18.
Оговорка: в п. 2 костяшка 0-0 (обе половинки пустые) считается подходящей, так как у неё есть пустая половинка; это согласуется с ответом учебника.