Глава XIII. § 71. Случайные величины — с. 368
1184. Составить таблицу распределения по вероятностям P значений случайной величины X — числа очков, появившихся при бросании игрального кубика:
1) на двух гранях которого отмечены 3 очка, на одной — 4 очка, на трёх — 5 очков;
2) на одной грани которого отмечено 2 очка, на другой — 3 очка, на двух гранях — по 4 очка и на оставшихся двух — по 5 очков.
1) на двух гранях которого отмечены 3 очка, на одной — 4 очка, на трёх — 5 очков;
2) на одной грани которого отмечено 2 очка, на другой — 3 очка, на двух гранях — по 4 очка и на оставшихся двух — по 5 очков.
У кубика 6 граней, все грани выпадают равновероятно, поэтому вероятность значения равна (число граней с этим числом очков)/6.
1) Значение 3 — на 2 гранях, 4 — на 1 грани, 5 — на 3 гранях.
[таблица: X: 3, 4, 5; P: 2/6 = 1/3, 1/6, 3/6 = 1/2]
Проверка: 1/3 + 1/6 + 1/2 = 1.
2) Значения 2 и 3 — по одной грани, 4 — две грани, 5 — две грани (1 + 1 + 2 + 2 = 6).
[таблица: X: 2, 3, 4, 5; P: 1/6, 1/6, 2/6 = 1/3, 2/6 = 1/3]
Проверка: 1/6 + 1/6 + 1/3 + 1/3 = 1.
1) Значение 3 — на 2 гранях, 4 — на 1 грани, 5 — на 3 гранях.
[таблица: X: 3, 4, 5; P: 2/6 = 1/3, 1/6, 3/6 = 1/2]
Проверка: 1/3 + 1/6 + 1/2 = 1.
2) Значения 2 и 3 — по одной грани, 4 — две грани, 5 — две грани (1 + 1 + 2 + 2 = 6).
[таблица: X: 2, 3, 4, 5; P: 1/6, 1/6, 2/6 = 1/3, 2/6 = 1/3]
Проверка: 1/6 + 1/6 + 1/3 + 1/3 = 1.
1185. Составить таблицу распределения по вероятностям P значений случайной величины X — суммы чисел, появившихся при бросании двух игральных тетраэдров, грани которых пронумерованы натуральными числами от 1 до 4.
Каждый тетраэдр даёт числа 1, 2, 3, 4, всего 4 · 4 = 16 равновозможных пар. Число пар с данной суммой:
сумма 2: (1;1) — 1 пара;
сумма 3: (1;2), (2;1) — 2 пары;
сумма 4: (1;3), (2;2), (3;1) — 3 пары;
сумма 5: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1) — 4 пары;
сумма 6: (2;4), (3;3), (4;2) — 3 пары;
сумма 7: (3;4), (4;3) — 2 пары;
сумма 8: (4;4) — 1 пара.
[таблица: X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; P: 1/16, 2/16 = 1/8, 3/16, 4/16 = 1/4, 3/16, 2/16 = 1/8, 1/16]
Проверка: (1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1)/16 = 16/16 = 1.
сумма 2: (1;1) — 1 пара;
сумма 3: (1;2), (2;1) — 2 пары;
сумма 4: (1;3), (2;2), (3;1) — 3 пары;
сумма 5: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1) — 4 пары;
сумма 6: (2;4), (3;3), (4;2) — 3 пары;
сумма 7: (3;4), (4;3) — 2 пары;
сумма 8: (4;4) — 1 пара.
[таблица: X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; P: 1/16, 2/16 = 1/8, 3/16, 4/16 = 1/4, 3/16, 2/16 = 1/8, 1/16]
Проверка: (1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1)/16 = 16/16 = 1.
1186. На стол бросают обыкновенный игральный кубик и игральный октаэдр, грани которого пронумерованы числами от 1 до 8. Составить таблицу распределения значений случайной величины X — суммы выпавших чисел по их вероятностям P.
Пусть a — число на кубике (1…6), b — число на октаэдре (1…8). Всего 6 · 8 = 48 равновозможных пар. Сумма X = a + b принимает значения от 2 до 14. Для каждой суммы s считаем число a ∈ {1,…,6}, при которых b = s − a лежит в {1,…,8}:
s = 2: a = 1 — 1 пара;
s = 3: 2; s = 4: 3; s = 5: 4; s = 6: 5;
s = 7: a = 1…6 (b = 6…1) — 6 пар;
s = 8: a = 1…6 (b = 7…2) — 6 пар;
s = 9: a = 1…6 (b = 8…3) — 6 пар;
s = 10: a = 2…6 — 5 пар; s = 11: a = 3…6 — 4 пары; s = 12: 3 пары; s = 13: 2 пары; s = 14: a = 6, b = 8 — 1 пара.
[таблица: X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14; P: 1/48, 2/48, 3/48, 4/48, 5/48, 6/48, 6/48, 6/48, 5/48, 4/48, 3/48, 2/48, 1/48]
Проверка: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 48, сумма вероятностей равна 1. (Сокращённо: 2/48 = 1/24, 3/48 = 1/16, 4/48 = 1/12, 6/48 = 1/8.)
s = 2: a = 1 — 1 пара;
s = 3: 2; s = 4: 3; s = 5: 4; s = 6: 5;
s = 7: a = 1…6 (b = 6…1) — 6 пар;
s = 8: a = 1…6 (b = 7…2) — 6 пар;
s = 9: a = 1…6 (b = 8…3) — 6 пар;
s = 10: a = 2…6 — 5 пар; s = 11: a = 3…6 — 4 пары; s = 12: 3 пары; s = 13: 2 пары; s = 14: a = 6, b = 8 — 1 пара.
[таблица: X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14; P: 1/48, 2/48, 3/48, 4/48, 5/48, 6/48, 6/48, 6/48, 5/48, 4/48, 3/48, 2/48, 1/48]
Проверка: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 48, сумма вероятностей равна 1. (Сокращённо: 2/48 = 1/24, 3/48 = 1/16, 4/48 = 1/12, 6/48 = 1/8.)