Глава XI. Упражнения к главе XI — с. 335
1107. Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте: 1) 75 солдат и 6 офицеров; 2) 78 солдат и 5 офицеров?
Двух солдат выбираем C(n,2) способами, одного офицера — C(m,1) способами; по правилу произведения перемножаем.
1) C(75,2) · 6 = (75 · 74/2) · 6 = 2775 · 6 = 16 650.
2) C(78,2) · 5 = (78 · 77/2) · 5 = 3003 · 5 = 15 015.
1) C(75,2) · 6 = (75 · 74/2) · 6 = 2775 · 6 = 16 650.
2) C(78,2) · 5 = (78 · 77/2) · 5 = 3003 · 5 = 15 015.
1108. Сколько диагоналей имеет выпуклый: 1) семиугольник; 2) восьмиугольник?
Любые две вершины n-угольника задают отрезок: C(n,2) отрезков. Из них n — стороны, остальные — диагонали: C(n,2) − n = n(n − 3)/2.
1) C(7,2) − 7 = 21 − 7 = 14.
2) C(8,2) − 8 = 28 − 8 = 20.
1) C(7,2) − 7 = 21 − 7 = 14.
2) C(8,2) − 8 = 28 − 8 = 20.
1109. Найти значение выражения, предварительно его упростив:
1) C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4);
2) C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4);
3) C(7,0) + C(7,7) + C(7,1) + C(7,6) + C(7,2) + C(7,5) + C(7,3) + C(7,4);
4) C(6,0) + C(6,6) + C(6,1) + C(6,5) + C(6,2) + C(6,4) + C(6,3);
5) C(12,2) + C(12,3) + C(13,4) + C(14,5);
6) C(9,3) + C(9,4) + C(10,5) + C(11,6);
7) C(21,7) − C(20,7);
8) C(25,9) − C(24,9);
9) C(15,10) − C(14,9);
10) C(13,8) − C(12,7).
1) C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4);
2) C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4);
3) C(7,0) + C(7,7) + C(7,1) + C(7,6) + C(7,2) + C(7,5) + C(7,3) + C(7,4);
4) C(6,0) + C(6,6) + C(6,1) + C(6,5) + C(6,2) + C(6,4) + C(6,3);
5) C(12,2) + C(12,3) + C(13,4) + C(14,5);
6) C(9,3) + C(9,4) + C(10,5) + C(11,6);
7) C(21,7) − C(20,7);
8) C(25,9) − C(24,9);
9) C(15,10) − C(14,9);
10) C(13,8) − C(12,7).
Используем: сумма элементов n-й строки равна 2^n; C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1); C(n,k) − C(n−1,k) = C(n−1,k−1).
1) 2^4 − C(4,0) = 16 − 1 = 15.
2) 2^5 − C(5,0) − C(5,5) = 32 − 2 = 30.
3) Все элементы седьмой строки: 2^7 = 128.
4) Слагаемые C(6,0), C(6,6), C(6,1), C(6,5), C(6,2), C(6,4), C(6,3) — вся строка: 2^6 = 64.
5) C(12,2) + C(12,3) = C(13,3); C(13,3) + C(13,4) = C(14,4); C(14,4) + C(14,5) = C(15,5) = 3003.
6) C(9,3) + C(9,4) = C(10,4); C(10,4) + C(10,5) = C(11,5); C(11,5) + C(11,6) = C(12,6) = 924.
7) C(21,7) − C(20,7) = C(20,6) = 38 760.
8) C(25,9) − C(24,9) = C(24,8) = 735 471.
9) C(15,10) − C(14,9) = C(14,10) = C(14,4) = 1001.
10) C(13,8) − C(12,7) = C(12,8) = C(12,4) = 495.
1) 2^4 − C(4,0) = 16 − 1 = 15.
2) 2^5 − C(5,0) − C(5,5) = 32 − 2 = 30.
3) Все элементы седьмой строки: 2^7 = 128.
4) Слагаемые C(6,0), C(6,6), C(6,1), C(6,5), C(6,2), C(6,4), C(6,3) — вся строка: 2^6 = 64.
5) C(12,2) + C(12,3) = C(13,3); C(13,3) + C(13,4) = C(14,4); C(14,4) + C(14,5) = C(15,5) = 3003.
6) C(9,3) + C(9,4) = C(10,4); C(10,4) + C(10,5) = C(11,5); C(11,5) + C(11,6) = C(12,6) = 924.
7) C(21,7) − C(20,7) = C(20,6) = 38 760.
8) C(25,9) − C(24,9) = C(24,8) = 735 471.
9) C(15,10) − C(14,9) = C(14,10) = C(14,4) = 1001.
10) C(13,8) − C(12,7) = C(12,8) = C(12,4) = 495.
1110. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать: 1) две карты чёрной масти; 2) две карты червовой масти?
1) В колоде 36 карт по 4 масти, в каждой масти 9 карт. Чёрных мастей две (пики и трефы), поэтому чёрных карт 18. Выбор двух карт: C(18,2) = 18 · 17/2 = 153.
2) Червовых карт 9: C(9,2) = 9 · 8/2 = 36.
Оговорка: в п. 1) условие можно понять и как «две карты одной чёрной масти» (тогда 36 способов для каждой масти, 72 для обеих); принято прочтение «две карты любой чёрной масти из всех чёрных карт».
2) Червовых карт 9: C(9,2) = 9 · 8/2 = 36.
Оговорка: в п. 1) условие можно понять и как «две карты одной чёрной масти» (тогда 36 способов для каждой масти, 72 для обеих); принято прочтение «две карты любой чёрной масти из всех чёрных карт».
1111. Шифр в камере хранения состоит из двух букв, выбираемых из 10 гласных русского алфавита, и четырёхзначного числового кода (буквы и цифры в шифре могут повторяться; числовой код 0000 также возможен). Сколько различных шифров можно использовать в этой камере хранения?
Каждую из двух букв выбираем 10 способами, каждую из четырёх цифр — 10 способами (повторения допускаются, код 0000 разрешён). По правилу произведения: 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10^6.
Ответ: 1 000 000 шифров.
Ответ: 1 000 000 шифров.
1112. В некотором государстве автомобильный номер составляется из трёх различных букв алфавита, состоящего из 25 букв, и трёх цифр (с их возможными повторами). Скольким автомобилям можно присвоить получаемые таким образом номера?
Три различные буквы с учётом порядка: A(25,3) = 25 · 24 · 23 = 13 800. Три цифры с повторами: 10^3 = 1000. По правилу произведения: 13 800 · 1000 = 13 800 000.
Ответ: 13 800 000 автомобилям.
Ответ: 13 800 000 автомобилям.
1113. Записать разложение бинома:
1) (3a + 1)^5;
2) (x + 3)^6;
3) (x − 1/3)^7;
4) (a/3 − 1)^5;
5) (10x − 0,1)^6;
6) (0,1b − 10)^7;
7) (2/a + a/2)^7;
8) (2/c + c/2)^8.
1) (3a + 1)^5;
2) (x + 3)^6;
3) (x − 1/3)^7;
4) (a/3 − 1)^5;
5) (10x − 0,1)^6;
6) (0,1b − 10)^7;
7) (2/a + a/2)^7;
8) (2/c + c/2)^8.
Применяем формулу бинома Ньютона, коэффициенты C(n,k).
1) (3a + 1)^5 = 243a^5 + 405a^4 + 270a³ + 90a² + 15a + 1.
2) (x + 3)^6 = x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x³ + 1215x² + 1458x + 729 (6 · 3^5 = 1458; проверка при x = 1: 4^6 = 4096).
3) (x − 1/3)^7 = x^7 − (7/3)x^6 + (7/3)x^5 − (35/27)x^4 + (35/81)x³ − (7/81)x² + (7/729)x − 1/2187.
4) (a/3 − 1)^5 = a^5/243 − 5a^4/81 + 10a³/27 − 10a²/9 + 5a/3 − 1.
5) (10x − 0,1)^6 = 1 000 000x^6 − 60 000x^5 + 1500x^4 − 20x³ + 0,15x² − 0,0006x + 0,000001.
6) (0,1b − 10)^7 = b^7/10 000 000 − 7b^6/100 000 + 21b^5/1000 − 3,5b^4 + 350b³ − 21 000b² + 700 000b − 10 000 000.
7) (2/a + a/2)^7 = 128/a^7 + 224/a^5 + 168/a³ + 70/a + (35/2)a + (21/8)a³ + (7/32)a^5 + a^7/128.
8) (2/c + c/2)^8 = 256/c^8 + 512/c^6 + 448/c^4 + 224/c² + 70 + 14c² + (7/4)c^4 + c^6/8 + c^8/256 (проверка при c = 2: (1 + 1)^8 = 256).
Оговорка: в ответах учебника в п. 2) указан коэффициент 2430 при x, а в п. 8) — 7/64 при c^6; при проверке получается 1458 и 1/8 соответственно (проверено подстановкой значений переменной).
1) (3a + 1)^5 = 243a^5 + 405a^4 + 270a³ + 90a² + 15a + 1.
2) (x + 3)^6 = x^6 + 18x^5 + 135x^4 + 540x³ + 1215x² + 1458x + 729 (6 · 3^5 = 1458; проверка при x = 1: 4^6 = 4096).
3) (x − 1/3)^7 = x^7 − (7/3)x^6 + (7/3)x^5 − (35/27)x^4 + (35/81)x³ − (7/81)x² + (7/729)x − 1/2187.
4) (a/3 − 1)^5 = a^5/243 − 5a^4/81 + 10a³/27 − 10a²/9 + 5a/3 − 1.
5) (10x − 0,1)^6 = 1 000 000x^6 − 60 000x^5 + 1500x^4 − 20x³ + 0,15x² − 0,0006x + 0,000001.
6) (0,1b − 10)^7 = b^7/10 000 000 − 7b^6/100 000 + 21b^5/1000 − 3,5b^4 + 350b³ − 21 000b² + 700 000b − 10 000 000.
7) (2/a + a/2)^7 = 128/a^7 + 224/a^5 + 168/a³ + 70/a + (35/2)a + (21/8)a³ + (7/32)a^5 + a^7/128.
8) (2/c + c/2)^8 = 256/c^8 + 512/c^6 + 448/c^4 + 224/c² + 70 + 14c² + (7/4)c^4 + c^6/8 + c^8/256 (проверка при c = 2: (1 + 1)^8 = 256).
Оговорка: в ответах учебника в п. 2) указан коэффициент 2430 при x, а в п. 8) — 7/64 при c^6; при проверке получается 1458 и 1/8 соответственно (проверено подстановкой значений переменной).
1114. Найти член разложения бинома:
1) (∛x + 1/∛x)^15, содержащий x^(1/3);
2) (1/√x + √x)^14, содержащий x²;
3) (1/(корень 4-й степени из x) + ∛x)^16, содержащий x^(−13/12);
4) (корень 5-й степени из x + 1/∛x)^13, содержащий x^(−0,6).
1) (∛x + 1/∛x)^15, содержащий x^(1/3);
2) (1/√x + √x)^14, содержащий x²;
3) (1/(корень 4-й степени из x) + ∛x)^16, содержащий x^(−13/12);
4) (корень 5-й степени из x + 1/∛x)^13, содержащий x^(−0,6).
Общий член T(k+1) = C(n,k) · a^(n−k) · b^k; найдём k из условия на показатель x.
1) T(k+1) = C(15,k) · x^((15−k)/3) · x^(−k/3) = C(15,k) · x^((15−2k)/3). Условие (15 − 2k)/3 = 1/3, 15 − 2k = 1, k = 7. Член: C(15,7) · x^(1/3) = 6435x^(1/3).
2) T(k+1) = C(14,k) · x^(−(14−k)/2) · x^(k/2) = C(14,k) · x^(k − 7). Условие k − 7 = 2, k = 9. Член: C(14,9) · x² = 2002x².
3) T(k+1) = C(16,k) · x^(−(16−k)/4) · x^(k/3). Показатель: −(16 − k)/4 + k/3 = (−48 + 3k + 4k)/12 = (7k − 48)/12. Условие (7k − 48)/12 = −13/12, 7k = 35, k = 5. Член: C(16,5) · x^(−13/12) = 4368x^(−13/12).
4) T(k+1) = C(13,k) · x^((13−k)/5) · x^(−k/3). Показатель: (39 − 3k − 5k)/15 = (39 − 8k)/15. Условие (39 − 8k)/15 = −0,6 = −9/15, 8k = 48, k = 6. Член: C(13,6) · x^(−0,6) = 1716x^(−0,6).
1) T(k+1) = C(15,k) · x^((15−k)/3) · x^(−k/3) = C(15,k) · x^((15−2k)/3). Условие (15 − 2k)/3 = 1/3, 15 − 2k = 1, k = 7. Член: C(15,7) · x^(1/3) = 6435x^(1/3).
2) T(k+1) = C(14,k) · x^(−(14−k)/2) · x^(k/2) = C(14,k) · x^(k − 7). Условие k − 7 = 2, k = 9. Член: C(14,9) · x² = 2002x².
3) T(k+1) = C(16,k) · x^(−(16−k)/4) · x^(k/3). Показатель: −(16 − k)/4 + k/3 = (−48 + 3k + 4k)/12 = (7k − 48)/12. Условие (7k − 48)/12 = −13/12, 7k = 35, k = 5. Член: C(16,5) · x^(−13/12) = 4368x^(−13/12).
4) T(k+1) = C(13,k) · x^((13−k)/5) · x^(−k/3). Показатель: (39 − 3k − 5k)/15 = (39 − 8k)/15. Условие (39 − 8k)/15 = −0,6 = −9/15, 8k = 48, k = 6. Член: C(13,6) · x^(−0,6) = 1716x^(−0,6).