Глава XI. Упражнения к главе XI — с. 334
1099. Найти значение выражения:
1) A(7,4)/P5;
2) A(6,3)/P4;
3) (C(11,7)/10 − C(7,2)/5) · P5/A(6,4);
4) (C(10,7)/3 + C(6,2)/6) · P4/A(5,4).
1) A(7,4)/P5;
2) A(6,3)/P4;
3) (C(11,7)/10 − C(7,2)/5) · P5/A(6,4);
4) (C(10,7)/3 + C(6,2)/6) · P4/A(5,4).
Формулы: A(n,k) = n!/(n − k)!, C(n,k) = n!/(k!(n − k)!), P(n) = n!.
1) A(7,4) = 7 · 6 · 5 · 4 = 840, P5 = 120; 840/120 = 7.
2) A(6,3) = 6 · 5 · 4 = 120, P4 = 24; 120/24 = 5.
3) C(11,7) = C(11,4) = 330, 330/10 = 33; C(7,2) = 21, 21/5 = 4,2. Разность: 33 − 4,2 = 28,8. P5/A(6,4) = 120/(6 · 5 · 4 · 3) = 120/360 = 1/3. Итог: 28,8 · 1/3 = 9,6.
4) C(10,7) = C(10,3) = 120, 120/3 = 40; C(6,2) = 15, 15/6 = 2,5. Сумма: 42,5. P4/A(5,4) = 24/120 = 1/5. Итог: 42,5 · 1/5 = 8,5.
Оговорка: в ответах учебника к п. 4) указано 42 1/2; это значение первой скобки, множитель P4/A(5,4) = 1/5 при этом не учтён. По условию, как оно напечатано, получается 8,5.
1) A(7,4) = 7 · 6 · 5 · 4 = 840, P5 = 120; 840/120 = 7.
2) A(6,3) = 6 · 5 · 4 = 120, P4 = 24; 120/24 = 5.
3) C(11,7) = C(11,4) = 330, 330/10 = 33; C(7,2) = 21, 21/5 = 4,2. Разность: 33 − 4,2 = 28,8. P5/A(6,4) = 120/(6 · 5 · 4 · 3) = 120/360 = 1/3. Итог: 28,8 · 1/3 = 9,6.
4) C(10,7) = C(10,3) = 120, 120/3 = 40; C(6,2) = 15, 15/6 = 2,5. Сумма: 42,5. P4/A(5,4) = 24/120 = 1/5. Итог: 42,5 · 1/5 = 8,5.
Оговорка: в ответах учебника к п. 4) указано 42 1/2; это значение первой скобки, множитель P4/A(5,4) = 1/5 при этом не учтён. По условию, как оно напечатано, получается 8,5.
1100. Решить уравнение:
1) P(x+1)/P(x−1) = 30;
2) P(x)/P(x−2) = 42;
3) 1/P(x−5) = 56/P(x−3);
4) 1/P(x−4) = 110/P(x−2);
5) A(x+1,3) = 72(x − 1);
6) A(x−1,4) = 40(x − 2)(x − 3);
7) 5C(n+1,3) = 8C(n,4);
8) C(n,3) = 4C(n−2,2).
1) P(x+1)/P(x−1) = 30;
2) P(x)/P(x−2) = 42;
3) 1/P(x−5) = 56/P(x−3);
4) 1/P(x−4) = 110/P(x−2);
5) A(x+1,3) = 72(x − 1);
6) A(x−1,4) = 40(x − 2)(x − 3);
7) 5C(n+1,3) = 8C(n,4);
8) C(n,3) = 4C(n−2,2).
Во всех уравнениях неизвестное — натуральное число, удовлетворяющее ограничениям из определений P, A, C.
1) x − 1 ≥ 0, x ≥ 1. P(x+1)/P(x−1) = (x + 1)x = 30, x² + x − 30 = 0, x = 5 или x = −6 (не подходит). Ответ: x = 5.
2) x ≥ 2. P(x)/P(x−2) = x(x − 1) = 42, x² − x − 42 = 0, x = 7 или x = −6 (не подходит). Ответ: x = 7.
3) x ≥ 5. Равносильно P(x−3)/P(x−5) = 56, то есть (x − 3)(x − 4) = 56, x² − 7x − 44 = 0, x = 11 или x = −4 (не подходит). Ответ: x = 11.
4) x ≥ 4. P(x−2)/P(x−4) = 110, то есть (x − 2)(x − 3) = 110, x² − 5x − 104 = 0, x = 13 или x = −8 (не подходит). Ответ: x = 13.
5) A(x+1,3) = (x + 1)x(x − 1) при x + 1 ≥ 3, то есть x ≥ 2. Уравнение: (x + 1)x(x − 1) = 72(x − 1). Так как x − 1 ≠ 0, делим: x² + x − 72 = 0, x = 8 или x = −9 (не подходит). Ответ: x = 8.
6) A(x−1,4) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) при x − 1 ≥ 4, то есть x ≥ 5. Делим на (x − 2)(x − 3) ≠ 0: (x − 1)(x − 4) = 40, x² − 5x − 36 = 0, x = 9 или x = −4 (не подходит). Ответ: x = 9.
7) C(n+1,3) определено при n ≥ 2, C(n,4) — при n ≥ 4; значит, n ≥ 4. 5 · (n + 1)n(n − 1)/6 = 8 · n(n − 1)(n − 2)(n − 3)/24. Сокращаем на n(n − 1) ≠ 0: 5(n + 1)/6 = (n − 2)(n − 3)/3, 5(n + 1) = 2(n² − 5n + 6), 2n² − 15n + 7 = 0, n = 7 или n = 1/2 (не подходит). Ответ: n = 7.
8) C(n−2,2) определено при n ≥ 4. n(n − 1)(n − 2)/6 = 4 · (n − 2)(n − 3)/2. Делим на (n − 2) ≠ 0: n(n − 1)/6 = 2(n − 3), n² − n = 12n − 36, n² − 13n + 36 = 0, n = 4 или n = 9. Оба значения удовлетворяют n ≥ 4. Ответ: n = 4, n = 9.
1) x − 1 ≥ 0, x ≥ 1. P(x+1)/P(x−1) = (x + 1)x = 30, x² + x − 30 = 0, x = 5 или x = −6 (не подходит). Ответ: x = 5.
2) x ≥ 2. P(x)/P(x−2) = x(x − 1) = 42, x² − x − 42 = 0, x = 7 или x = −6 (не подходит). Ответ: x = 7.
3) x ≥ 5. Равносильно P(x−3)/P(x−5) = 56, то есть (x − 3)(x − 4) = 56, x² − 7x − 44 = 0, x = 11 или x = −4 (не подходит). Ответ: x = 11.
4) x ≥ 4. P(x−2)/P(x−4) = 110, то есть (x − 2)(x − 3) = 110, x² − 5x − 104 = 0, x = 13 или x = −8 (не подходит). Ответ: x = 13.
5) A(x+1,3) = (x + 1)x(x − 1) при x + 1 ≥ 3, то есть x ≥ 2. Уравнение: (x + 1)x(x − 1) = 72(x − 1). Так как x − 1 ≠ 0, делим: x² + x − 72 = 0, x = 8 или x = −9 (не подходит). Ответ: x = 8.
6) A(x−1,4) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) при x − 1 ≥ 4, то есть x ≥ 5. Делим на (x − 2)(x − 3) ≠ 0: (x − 1)(x − 4) = 40, x² − 5x − 36 = 0, x = 9 или x = −4 (не подходит). Ответ: x = 9.
7) C(n+1,3) определено при n ≥ 2, C(n,4) — при n ≥ 4; значит, n ≥ 4. 5 · (n + 1)n(n − 1)/6 = 8 · n(n − 1)(n − 2)(n − 3)/24. Сокращаем на n(n − 1) ≠ 0: 5(n + 1)/6 = (n − 2)(n − 3)/3, 5(n + 1) = 2(n² − 5n + 6), 2n² − 15n + 7 = 0, n = 7 или n = 1/2 (не подходит). Ответ: n = 7.
8) C(n−2,2) определено при n ≥ 4. n(n − 1)(n − 2)/6 = 4 · (n − 2)(n − 3)/2. Делим на (n − 2) ≠ 0: n(n − 1)/6 = 2(n − 3), n² − n = 12n − 36, n² − 13n + 36 = 0, n = 4 или n = 9. Оба значения удовлетворяют n ≥ 4. Ответ: n = 4, n = 9.
1101. Сколькими способами можно составить график очерёдности дежурства (по одному человеку в день) в школьной столовой среди: 1) восьми учащихся на восемь дней; 2) семи учащихся на семь дней?
Каждый график — перестановка учащихся по дням.
1) P8 = 8! = 40 320 способов.
2) P7 = 7! = 5040 способов.
1) P8 = 8! = 40 320 способов.
2) P7 = 7! = 5040 способов.
1102. Сколько существует способов выбора троих учёных из числа: 1) десяти; 2) девяти сотрудников кафедры?
Порядок выбора не важен, поэтому число способов — число сочетаний.
1) C(10,3) = 10 · 9 · 8/(1 · 2 · 3) = 120.
2) C(9,3) = 9 · 8 · 7/6 = 84.
1) C(10,3) = 10 · 9 · 8/(1 · 2 · 3) = 120.
2) C(9,3) = 9 · 8 · 7/6 = 84.
1103. Сколькими способами могут распределиться одно первое, одно второе и одно третье места среди: 1) десяти; 2) восьми участников соревнования?
Места различны, порядок важен, поэтому число способов — число размещений из n по 3.
1) A(10,3) = 10 · 9 · 8 = 720.
2) A(8,3) = 8 · 7 · 6 = 336.
1) A(10,3) = 10 · 9 · 8 = 720.
2) A(8,3) = 8 · 7 · 6 = 336.
1104. Сколькими способами можно рассадить: 1) четверых; 2) троих учащихся на имеющихся в классе 20 стульях?
Важно, кто на каком стуле сидит, поэтому это размещения из 20 элементов.
1) A(20,4) = 20 · 19 · 18 · 17 = 116 280.
2) A(20,3) = 20 · 19 · 18 = 6840.
1) A(20,4) = 20 · 19 · 18 · 17 = 116 280.
2) A(20,3) = 20 · 19 · 18 = 6840.
1105. Найти значение выражения, предварительно его упростив:
1) C(12,10) + C(12,11);
2) C(11,9) + C(11,10);
3) C(8,6) + C(8,7) + C(9,8);
4) C(9,5) + C(9,6) + C(10,7).
1) C(12,10) + C(12,11);
2) C(11,9) + C(11,10);
3) C(8,6) + C(8,7) + C(9,8);
4) C(9,5) + C(9,6) + C(10,7).
Используем свойство C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1).
1) C(12,10) + C(12,11) = C(13,11) = C(13,2) = 13 · 12/2 = 78.
2) C(11,9) + C(11,10) = C(12,10) = C(12,2) = 12 · 11/2 = 66.
3) C(8,6) + C(8,7) = C(9,7); C(9,7) + C(9,8) = C(10,8) = C(10,2) = 45.
4) C(9,5) + C(9,6) = C(10,6); C(10,6) + C(10,7) = C(11,7) = C(11,4) = 11 · 10 · 9 · 8/24 = 330.
1) C(12,10) + C(12,11) = C(13,11) = C(13,2) = 13 · 12/2 = 78.
2) C(11,9) + C(11,10) = C(12,10) = C(12,2) = 12 · 11/2 = 66.
3) C(8,6) + C(8,7) = C(9,7); C(9,7) + C(9,8) = C(10,8) = C(10,2) = 45.
4) C(9,5) + C(9,6) = C(10,6); C(10,6) + C(10,7) = C(11,7) = C(11,4) = 11 · 10 · 9 · 8/24 = 330.
1106. Записать разложение бинома:
1) (2 − x)^5;
2) (x − 2)^4;
3) (a + 3)^4;
4) (3 + a)^5;
5) (x − 1)^8;
6) (1 − x)^7;
7) (x + 1/x)^6;
8) (2a + 1/2)^6.
1) (2 − x)^5;
2) (x − 2)^4;
3) (a + 3)^4;
4) (3 + a)^5;
5) (x − 1)^8;
6) (1 − x)^7;
7) (x + 1/x)^6;
8) (2a + 1/2)^6.
Применяем формулу бинома Ньютона (a + b)^n = Σ C(n,k) a^(n−k) b^k.
1) (2 − x)^5 = 32 − 80x + 80x² − 40x³ + 10x^4 − x^5.
2) (x − 2)^4 = x^4 − 8x³ + 24x² − 32x + 16.
3) (a + 3)^4 = a^4 + 12a³ + 54a² + 108a + 81.
4) (3 + a)^5 = 243 + 405a + 270a² + 90a³ + 15a^4 + a^5.
5) (x − 1)^8 = x^8 − 8x^7 + 28x^6 − 56x^5 + 70x^4 − 56x³ + 28x² − 8x + 1.
6) (1 − x)^7 = 1 − 7x + 21x² − 35x³ + 35x^4 − 21x^5 + 7x^6 − x^7.
7) (x + 1/x)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x² + 20 + 15/x² + 6/x^4 + 1/x^6.
8) (2a + 1/2)^6 = 64a^6 + 96a^5 + 60a^4 + 20a³ + (15/4)a² + (3/8)a + 1/64.
1) (2 − x)^5 = 32 − 80x + 80x² − 40x³ + 10x^4 − x^5.
2) (x − 2)^4 = x^4 − 8x³ + 24x² − 32x + 16.
3) (a + 3)^4 = a^4 + 12a³ + 54a² + 108a + 81.
4) (3 + a)^5 = 243 + 405a + 270a² + 90a³ + 15a^4 + a^5.
5) (x − 1)^8 = x^8 − 8x^7 + 28x^6 − 56x^5 + 70x^4 − 56x³ + 28x² − 8x + 1.
6) (1 − x)^7 = 1 − 7x + 21x² − 35x³ + 35x^4 − 21x^5 + 7x^6 − x^7.
7) (x + 1/x)^6 = x^6 + 6x^4 + 15x² + 20 + 15/x² + 6/x^4 + 1/x^6.
8) (2a + 1/2)^6 = 64a^6 + 96a^5 + 60a^4 + 20a³ + (15/4)a² + (3/8)a + 1/64.
Проверь себя!
Задание 1. В вазе лежат 7 разных пирожных. Сколько существует вариантов выбора из них двух пирожных?
Порядок выбора не важен, поэтому число вариантов — число сочетаний из 7 по 2: C(7,2) = 7 · 6/2 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21.
Проверь себя!
Задание 2. Сколькими способами можно подарить 6 различных по окраске мячей шести малышам, вручая каждому по одному мячу?
Каждый способ — перестановка 6 мячей между 6 малышами: P6 = 6! = 720.
Ответ: 720 способов.
Ответ: 720 способов.
Проверь себя!
Задание 3. Сколько существует способов занять 3 одноместные парты в первом ряду класса, если в выборе мест участвуют 22 школьника?
Партам важно, кто на какую сядет, поэтому число способов — число размещений из 22 по 3: A(22,3) = 22 · 21 · 20 = 9240.
Ответ: 9240.
Ответ: 9240.
Проверь себя!
Задание 4. Найти значение выражения C(8,3) · P6/A(7,4).
C(8,3) = 8 · 7 · 6/6 = 56; P6 = 720; A(7,4) = 7 · 6 · 5 · 4 = 840.
56 · 720/840 = 56 · 6/7 = 48.
Ответ: 48.
56 · 720/840 = 56 · 6/7 = 48.
Ответ: 48.
Проверь себя!
Задание 5. Записать разложение бинома (1 − x)^6.
(1 − x)^6 = Σ C(6,k) · (−x)^k, биномиальные коэффициенты 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
(1 − x)^6 = 1 − 6x + 15x² − 20x³ + 15x^4 − 6x^5 + x^6.
(1 − x)^6 = 1 − 6x + 15x² − 20x³ + 15x^4 − 6x^5 + x^6.