Глава XI. § 64. Бином Ньютона — с. 332
1092. Записать разложение бинома:
1) (1 + x)⁸;
2) (x + 1)⁷;
3) (a − 1)⁹;
4) (y − 1)^10;
5) (2x + 1)⁵;
6) (x + 2)⁶;
7) (3x + 2)⁴;
8) (2a + 3)⁵;
9) (2a − 1/2)⁵;
10) (3x − 1/3)⁴.
1) (1 + x)⁸;
2) (x + 1)⁷;
3) (a − 1)⁹;
4) (y − 1)^10;
5) (2x + 1)⁵;
6) (x + 2)⁶;
7) (3x + 2)⁴;
8) (2a + 3)⁵;
9) (2a − 1/2)⁵;
10) (3x − 1/3)⁴.
Применяем формулу бинома Ньютона (a + b)^m = Σ C(m,k) a^(m−k) b^k; коэффициенты берём из треугольника Паскаля.
1) Коэффициенты строки m = 8: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. (1 + x)⁸ = 1 + 8x + 28x² + 56x³ + 70x^4 + 56x^5 + 28x^6 + 8x^7 + x^8.
2) Строка m = 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. (x + 1)⁷ = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x³ + 21x² + 7x + 1.
3) Строка m = 9: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1; знаки чередуются. (a − 1)⁹ = a^9 − 9a^8 + 36a^7 − 84a^6 + 126a^5 − 126a^4 + 84a³ − 36a² + 9a − 1.
4) Строка m = 10: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. (y − 1)^10 = y^10 − 10y^9 + 45y^8 − 120y^7 + 210y^6 − 252y^5 + 210y^4 − 120y³ + 45y² − 10y + 1.
5) Строка m = 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. (2x + 1)⁵ = 32x^5 + 5 · 16x^4 + 10 · 8x³ + 10 · 4x² + 5 · 2x + 1 = 32x^5 + 80x^4 + 80x³ + 40x² + 10x + 1.
6) Строка m = 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. (x + 2)⁶ = x^6 + 6 · 2x^5 + 15 · 4x^4 + 20 · 8x³ + 15 · 16x² + 6 · 32x + 64 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x³ + 240x² + 192x + 64.
7) Строка m = 4: 1, 4, 6, 4, 1. (3x + 2)⁴ = 81x^4 + 4 · 27x³ · 2 + 6 · 9x² · 4 + 4 · 3x · 8 + 16 = 81x^4 + 216x³ + 216x² + 96x + 16.
8) (2a + 3)⁵ = 32a^5 + 5 · 16a^4 · 3 + 10 · 8a³ · 9 + 10 · 4a² · 27 + 5 · 2a · 81 + 243 = 32a^5 + 240a^4 + 720a³ + 1080a² + 810a + 243.
9) (2a − 1/2)⁵ = 32a^5 − 5 · 16a^4 · (1/2) + 10 · 8a³ · (1/4) − 10 · 4a² · (1/8) + 5 · 2a · (1/16) − 1/32 = 32a^5 − 40a^4 + 20a³ − 5a² + (5/8)a − 1/32.
10) (3x − 1/3)⁴ = 81x^4 − 4 · 27x³ · (1/3) + 6 · 9x² · (1/9) − 4 · 3x · (1/27) + 1/81 = 81x^4 − 36x³ + 6x² − (4/9)x + 1/81.
1) Коэффициенты строки m = 8: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. (1 + x)⁸ = 1 + 8x + 28x² + 56x³ + 70x^4 + 56x^5 + 28x^6 + 8x^7 + x^8.
2) Строка m = 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. (x + 1)⁷ = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x³ + 21x² + 7x + 1.
3) Строка m = 9: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1; знаки чередуются. (a − 1)⁹ = a^9 − 9a^8 + 36a^7 − 84a^6 + 126a^5 − 126a^4 + 84a³ − 36a² + 9a − 1.
4) Строка m = 10: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. (y − 1)^10 = y^10 − 10y^9 + 45y^8 − 120y^7 + 210y^6 − 252y^5 + 210y^4 − 120y³ + 45y² − 10y + 1.
5) Строка m = 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. (2x + 1)⁵ = 32x^5 + 5 · 16x^4 + 10 · 8x³ + 10 · 4x² + 5 · 2x + 1 = 32x^5 + 80x^4 + 80x³ + 40x² + 10x + 1.
6) Строка m = 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. (x + 2)⁶ = x^6 + 6 · 2x^5 + 15 · 4x^4 + 20 · 8x³ + 15 · 16x² + 6 · 32x + 64 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x³ + 240x² + 192x + 64.
7) Строка m = 4: 1, 4, 6, 4, 1. (3x + 2)⁴ = 81x^4 + 4 · 27x³ · 2 + 6 · 9x² · 4 + 4 · 3x · 8 + 16 = 81x^4 + 216x³ + 216x² + 96x + 16.
8) (2a + 3)⁵ = 32a^5 + 5 · 16a^4 · 3 + 10 · 8a³ · 9 + 10 · 4a² · 27 + 5 · 2a · 81 + 243 = 32a^5 + 240a^4 + 720a³ + 1080a² + 810a + 243.
9) (2a − 1/2)⁵ = 32a^5 − 5 · 16a^4 · (1/2) + 10 · 8a³ · (1/4) − 10 · 4a² · (1/8) + 5 · 2a · (1/16) − 1/32 = 32a^5 − 40a^4 + 20a³ − 5a² + (5/8)a − 1/32.
10) (3x − 1/3)⁴ = 81x^4 − 4 · 27x³ · (1/3) + 6 · 9x² · (1/9) − 4 · 3x · (1/27) + 1/81 = 81x^4 − 36x³ + 6x² − (4/9)x + 1/81.
1093. Записать разложение бинома:
1) (1 + √2)⁶;
2) (1 + √3)⁵;
3) (a − 1/(3a))⁷;
4) (b − 1/(2b))⁶.
1) (1 + √2)⁶;
2) (1 + √3)⁵;
3) (a − 1/(3a))⁷;
4) (b − 1/(2b))⁶.
1) Строка m = 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. (√2)² = 2, (√2)³ = 2√2, (√2)^4 = 4, (√2)^5 = 4√2, (√2)^6 = 8. (1 + √2)⁶ = 1 + 6√2 + 15 · 2 + 20 · 2√2 + 15 · 4 + 6 · 4√2 + 8 = 1 + 6√2 + 30 + 40√2 + 60 + 24√2 + 8 (= 99 + 70√2).
2) Строка m = 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. (√3)² = 3, (√3)³ = 3√3, (√3)^4 = 9, (√3)^5 = 9√3. (1 + √3)⁵ = 1 + 5√3 + 10 · 3 + 10 · 3√3 + 5 · 9 + 9√3 = 1 + 5√3 + 30 + 30√3 + 45 + 9√3 (= 76 + 44√3).
3) Общий член C(7,k) a^(7−k) (−1/(3a))^k = C(7,k) (−1/3)^k a^(7−2k). Строка m = 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. (a − 1/(3a))⁷ = a^7 − (7/3)a^5 + (21/9)a³ − (35/27)a + (35/81)·(1/a) − (21/243)·(1/a³) + (7/729)·(1/a^5) − 1/(2187 a^7) = a^7 − (7/3)a^5 + (7/3)a³ − (35/27)a + 35/(81a) − 7/(81a³) + 7/(729a^5) − 1/(2187a^7).
4) Общий член C(6,k) (−1/2)^k b^(6−2k). Строка m = 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. (b − 1/(2b))⁶ = b^6 − 6 · (1/2) b^4 + 15 · (1/4) b² − 20 · (1/8) + 15 · (1/16) b^(−2) − 6 · (1/32) b^(−4) + 1/64 b^(−6) = b^6 − 3b^4 + (15/4)b² − 5/2 + 15/(16b²) − 3/(16b^4) + 1/(64b^6).
2) Строка m = 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. (√3)² = 3, (√3)³ = 3√3, (√3)^4 = 9, (√3)^5 = 9√3. (1 + √3)⁵ = 1 + 5√3 + 10 · 3 + 10 · 3√3 + 5 · 9 + 9√3 = 1 + 5√3 + 30 + 30√3 + 45 + 9√3 (= 76 + 44√3).
3) Общий член C(7,k) a^(7−k) (−1/(3a))^k = C(7,k) (−1/3)^k a^(7−2k). Строка m = 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. (a − 1/(3a))⁷ = a^7 − (7/3)a^5 + (21/9)a³ − (35/27)a + (35/81)·(1/a) − (21/243)·(1/a³) + (7/729)·(1/a^5) − 1/(2187 a^7) = a^7 − (7/3)a^5 + (7/3)a³ − (35/27)a + 35/(81a) − 7/(81a³) + 7/(729a^5) − 1/(2187a^7).
4) Общий член C(6,k) (−1/2)^k b^(6−2k). Строка m = 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. (b − 1/(2b))⁶ = b^6 − 6 · (1/2) b^4 + 15 · (1/4) b² − 20 · (1/8) + 15 · (1/16) b^(−2) − 6 · (1/32) b^(−4) + 1/64 b^(−6) = b^6 − 3b^4 + (15/4)b² − 5/2 + 15/(16b²) − 3/(16b^4) + 1/(64b^6).