Глава XI. § 63. Сочетания и их свойства — с. 329
1080. Найти значение:
1) C₇¹;
2) C₆¹;
3) C₈²;
4) C₇²;
5) C₇³;
6) C₈³;
7) C₉⁸;
8) C₁₀⁹;
9) C₁₅¹⁵;
10) C₁₂¹²;
11) C₃₀⁰;
12) C₄₀⁰;
13) C₅₀⁴⁸;
14) C₄₀³⁸;
15) C₇₀²;
16) C₆₀².
1) C₇¹;
2) C₆¹;
3) C₈²;
4) C₇²;
5) C₇³;
6) C₈³;
7) C₉⁸;
8) C₁₀⁹;
9) C₁₅¹⁵;
10) C₁₂¹²;
11) C₃₀⁰;
12) C₄₀⁰;
13) C₅₀⁴⁸;
14) C₄₀³⁸;
15) C₇₀²;
16) C₆₀².
Используем C(m,n) = m!/(n! (m − n)!), C(m,m) = C(m,0) = 1, C(m,1) = m, C(m,n) = C(m,m − n).
1) C₇¹ = 7.
2) C₆¹ = 6.
3) C₈² = 8 · 7/2 = 28.
4) C₇² = 7 · 6/2 = 21.
5) C₇³ = 7 · 6 · 5/6 = 35.
6) C₈³ = 8 · 7 · 6/6 = 56.
7) C₉⁸ = C₉¹ = 9.
8) C₁₀⁹ = C₁₀¹ = 10.
9) C₁₅¹⁵ = 1.
10) C₁₂¹² = 1.
11) C₃₀⁰ = 1.
12) C₄₀⁰ = 1.
13) C₅₀⁴⁸ = C₅₀² = 50 · 49/2 = 1225.
14) C₄₀³⁸ = C₄₀² = 40 · 39/2 = 780.
15) C₇₀² = 70 · 69/2 = 2415.
16) C₆₀² = 60 · 59/2 = 1770.
Ответ: 1) 7; 2) 6; 3) 28; 4) 21; 5) 35; 6) 56; 7) 9; 8) 10; 9) 1; 10) 1; 11) 1; 12) 1; 13) 1225; 14) 780; 15) 2415; 16) 1770.
1) C₇¹ = 7.
2) C₆¹ = 6.
3) C₈² = 8 · 7/2 = 28.
4) C₇² = 7 · 6/2 = 21.
5) C₇³ = 7 · 6 · 5/6 = 35.
6) C₈³ = 8 · 7 · 6/6 = 56.
7) C₉⁸ = C₉¹ = 9.
8) C₁₀⁹ = C₁₀¹ = 10.
9) C₁₅¹⁵ = 1.
10) C₁₂¹² = 1.
11) C₃₀⁰ = 1.
12) C₄₀⁰ = 1.
13) C₅₀⁴⁸ = C₅₀² = 50 · 49/2 = 1225.
14) C₄₀³⁸ = C₄₀² = 40 · 39/2 = 780.
15) C₇₀² = 70 · 69/2 = 2415.
16) C₆₀² = 60 · 59/2 = 1770.
Ответ: 1) 7; 2) 6; 3) 28; 4) 21; 5) 35; 6) 56; 7) 9; 8) 10; 9) 1; 10) 1; 11) 1; 12) 1; 13) 1225; 14) 780; 15) 2415; 16) 1770.
1081. Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать:
1) троих студентов;
2) четверых студентов?
1) троих студентов;
2) четверых студентов?
Порядок выбора не важен — сочетания из 9 элементов.
1) C₉³ = 9 · 8 · 7/(1 · 2 · 3) = 84.
2) C₉⁴ = 9 · 8 · 7 · 6/(1 · 2 · 3 · 4) = 126.
Ответ: 1) 84 способа; 2) 126 способов.
1) C₉³ = 9 · 8 · 7/(1 · 2 · 3) = 84.
2) C₉⁴ = 9 · 8 · 7 · 6/(1 · 2 · 3 · 4) = 126.
Ответ: 1) 84 способа; 2) 126 способов.
1082. Сколько различных аккордов, содержащих:
1) 4 звука;
2) 3 звука,
можно образовать из 12 клавиш одной октавы?
1) 4 звука;
2) 3 звука,
можно образовать из 12 клавиш одной октавы?
Аккорд определяется набором звуков, порядок не важен — сочетания из 12.
1) C₁₂⁴ = 12 · 11 · 10 · 9/24 = 495.
2) C₁₂³ = 12 · 11 · 10/6 = 220.
Ответ: 1) 495 аккордов; 2) 220 аккордов.
1) C₁₂⁴ = 12 · 11 · 10 · 9/24 = 495.
2) C₁₂³ = 12 · 11 · 10/6 = 220.
Ответ: 1) 495 аккордов; 2) 220 аккордов.
1083. В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться:
1) 15 ламп;
2) 14 ламп?
1) 15 ламп;
2) 14 ламп?
Вариант освещения — набор включённых ламп, порядок не важен.
1) C₁₆¹⁵ = C₁₆¹ = 16.
2) C₁₆¹⁴ = C₁₆² = 16 · 15/2 = 120.
Ответ: 1) 16 вариантов; 2) 120 вариантов.
1) C₁₆¹⁵ = C₁₆¹ = 16.
2) C₁₆¹⁴ = C₁₆² = 16 · 15/2 = 120.
Ответ: 1) 16 вариантов; 2) 120 вариантов.
1084. На плоскости отмечено:
1) 16 точек;
2) 13 точек,
причём никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?
1) 16 точек;
2) 13 точек,
причём никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?
Отрезок определяется парой точек (порядок не важен), число пар — сочетания по 2. Условие про три точки гарантирует, что все отрезки различны.
1) C₁₆² = 16 · 15/2 = 120.
2) C₁₃² = 13 · 12/2 = 78.
Ответ: 1) 120 отрезков; 2) 78 отрезков.
1) C₁₆² = 16 · 15/2 = 120.
2) C₁₃² = 13 · 12/2 = 78.
Ответ: 1) 120 отрезков; 2) 78 отрезков.
1085. На окружности отмечено:
1) 10 точек;
2) 12 точек.
Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?
1) 10 точек;
2) 12 точек.
Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?
Любые три точки окружности не лежат на одной прямой, поэтому каждая тройка точек задаёт треугольник; порядок вершин не важен.
1) C₁₀³ = 10 · 9 · 8/6 = 120.
2) C₁₂³ = 12 · 11 · 10/6 = 220.
Ответ: 1) 120 треугольников; 2) 220 треугольников.
1) C₁₀³ = 10 · 9 · 8/6 = 120.
2) C₁₂³ = 12 · 11 · 10/6 = 220.
Ответ: 1) 120 треугольников; 2) 220 треугольников.
1086. На окружности отмечено:
1) 7 точек;
2) 8 точек.
Сколько различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?
1) 7 точек;
2) 8 точек.
Сколько различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?
Любые четыре точки окружности являются вершинами одного выпуклого четырёхугольника (вписанного), порядок выбора не важен.
1) C₇⁴ = C₇³ = 35.
2) C₈⁴ = 8 · 7 · 6 · 5/24 = 70.
Ответ: 1) 35 четырёхугольников; 2) 70 четырёхугольников.
1) C₇⁴ = C₇³ = 35.
2) C₈⁴ = 8 · 7 · 6 · 5/24 = 70.
Ответ: 1) 35 четырёхугольников; 2) 70 четырёхугольников.
1087. Из колоды карт, содержащей 36 листов, выбирают:
1) 3 карты бубновой масти и одну карту трефовой масти;
2) одну карту пиковой масти и две карты червовой масти.
Сколькими способами можно осуществить такой выбор?
1) 3 карты бубновой масти и одну карту трефовой масти;
2) одну карту пиковой масти и две карты червовой масти.
Сколькими способами можно осуществить такой выбор?
В колоде 4 масти по 9 карт. Выборы разных мастей независимы, применяем правило произведения.
1) C₉³ · C₉¹ = 84 · 9 = 756.
2) C₉¹ · C₉² = 9 · 36 = 324.
Ответ: 1) 756 способов; 2) 324 способа.
1) C₉³ · C₉¹ = 84 · 9 = 756.
2) C₉¹ · C₉² = 9 · 36 = 324.
Ответ: 1) 756 способов; 2) 324 способа.
1088. Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет:
1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов;
2) из 2 тюльпанов и 3 нарциссов?
1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов;
2) из 2 тюльпанов и 3 нарциссов?
Выбираем тюльпаны и нарциссы независимо (сочетания), затем применяем правило произведения.
1) C₅³ · C₆² = 10 · 15 = 150.
2) C₅² · C₆³ = 10 · 20 = 200.
Ответ: 1) 150 способов; 2) 200 способов.
1) C₅³ · C₆² = 10 · 15 = 150.
2) C₅² · C₆³ = 10 · 20 = 200.
Ответ: 1) 150 способов; 2) 200 способов.
1089. В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре:
1) 5 девочек и 2 мальчиков;
2) 4 девочек и 3 мальчиков?
1) 5 девочек и 2 мальчиков;
2) 4 девочек и 3 мальчиков?
Девочек и мальчиков выбираем независимо; порядок не важен.
1) C₇⁵ · C₄² = 21 · 6 = 126.
2) C₇⁴ · C₄³ = 35 · 4 = 140.
Ответ: 1) 126 способов; 2) 140 способов.
1) C₇⁵ · C₄² = 21 · 6 = 126.
2) C₇⁴ · C₄³ = 35 · 4 = 140.
Ответ: 1) 126 способов; 2) 140 способов.
1090. Найти значение выражения, предварительно его упростив:
1) C₁₃¹⁰ + C₁₃¹¹;
2) C₁₄¹² + C₁₄¹³;
3) C₁₉⁴ − C₁₈⁴;
4) C₂₁³ − C₂₀³;
5) C₆₁³ − C₆₀²;
6) C₇₁³ − C₇₀².
1) C₁₃¹⁰ + C₁₃¹¹;
2) C₁₄¹² + C₁₄¹³;
3) C₁₉⁴ − C₁₈⁴;
4) C₂₁³ − C₂₀³;
5) C₆₁³ − C₆₀²;
6) C₇₁³ − C₇₀².
Используем свойство C(m,n) + C(m,n+1) = C(m+1,n+1) и симметрию C(m,n) = C(m,m − n).
1) C₁₃¹⁰ + C₁₃¹¹ = C₁₄¹¹ = C₁₄³ = 14 · 13 · 12/6 = 364.
2) C₁₄¹² + C₁₄¹³ = C₁₅¹³ = C₁₅² = 15 · 14/2 = 105.
3) C₁₈³ + C₁₈⁴ = C₁₉⁴, поэтому C₁₉⁴ − C₁₈⁴ = C₁₈³ = 18 · 17 · 16/6 = 816.
4) C₂₀² + C₂₀³ = C₂₁³, поэтому C₂₁³ − C₂₀³ = C₂₀² = 20 · 19/2 = 190.
5) C₆₀² + C₆₀³ = C₆₁³, поэтому C₆₁³ − C₆₀² = C₆₀³ = 60 · 59 · 58/6 = 34 220.
6) C₇₀² + C₇₀³ = C₇₁³, поэтому C₇₁³ − C₇₀² = C₇₀³ = 70 · 69 · 68/6 = 54 740.
Ответ: 1) 364; 2) 105; 3) 816; 4) 190; 5) 34 220; 6) 54 740.
1) C₁₃¹⁰ + C₁₃¹¹ = C₁₄¹¹ = C₁₄³ = 14 · 13 · 12/6 = 364.
2) C₁₄¹² + C₁₄¹³ = C₁₅¹³ = C₁₅² = 15 · 14/2 = 105.
3) C₁₈³ + C₁₈⁴ = C₁₉⁴, поэтому C₁₉⁴ − C₁₈⁴ = C₁₈³ = 18 · 17 · 16/6 = 816.
4) C₂₀² + C₂₀³ = C₂₁³, поэтому C₂₁³ − C₂₀³ = C₂₀² = 20 · 19/2 = 190.
5) C₆₀² + C₆₀³ = C₆₁³, поэтому C₆₁³ − C₆₀² = C₆₀³ = 60 · 59 · 58/6 = 34 220.
6) C₇₀² + C₇₀³ = C₇₁³, поэтому C₇₁³ − C₇₀² = C₇₀³ = 70 · 69 · 68/6 = 54 740.
Ответ: 1) 364; 2) 105; 3) 816; 4) 190; 5) 34 220; 6) 54 740.
1091. Решить уравнение:
1) C_{x+1}² + C_{x+1}³ = 7x;
2) C_{x−1}³ + C_{x−1}² = 4 (x − 1);
3) C_x³ = (4/15) C_{x+2}⁴;
4) 5 C_x³ = C_{x+2}⁴;
5) C_{3x+1}^{3x−1} = 120;
6) C_{2x+1}^{2x−1} = 36.
1) C_{x+1}² + C_{x+1}³ = 7x;
2) C_{x−1}³ + C_{x−1}² = 4 (x − 1);
3) C_x³ = (4/15) C_{x+2}⁴;
4) 5 C_x³ = C_{x+2}⁴;
5) C_{3x+1}^{3x−1} = 120;
6) C_{2x+1}^{2x−1} = 36.
Во всех уравнениях x — натуральное число, верхний индекс не больше нижнего.
1) C_{x+1}² + C_{x+1}³ = C_{x+2}³ (x + 1 ≥ 3, т.е. x ≥ 2). (x + 2)(x + 1)x/6 = 7x; при x ≠ 0: (x + 2)(x + 1) = 42, x² + 3x − 40 = 0, x = 5 или x = −8 (не подходит). x = 5.
2) C_{x−1}³ + C_{x−1}² = C_x³ (x − 1 ≥ 3, т.е. x ≥ 4). x(x − 1)(x − 2)/6 = 4 (x − 1); при x ≠ 1: x(x − 2) = 24, x² − 2x − 24 = 0, x = 6 или x = −4 (не подходит). x = 6.
3) x ≥ 3. x(x − 1)(x − 2)/6 = (4/15) · (x + 2)(x + 1)x(x − 1)/24. Сокращаем на x(x − 1) ≠ 0: (x − 2)/6 = (x + 2)(x + 1)/90, 15 (x − 2) = x² + 3x + 2, x² − 12x + 32 = 0, x = 4 или x = 8; оба ≥ 3. Проверка: x = 4: C₄³ = 4, (4/15) C₆⁴ = (4/15) · 15 = 4; x = 8: C₈³ = 56, (4/15) C₁₀⁴ = (4/15) · 210 = 56.
4) x ≥ 3. 5 x(x − 1)(x − 2)/6 = (x + 2)(x + 1)x(x − 1)/24. Сокращаем на x(x − 1): 20 (x − 2) = (x + 2)(x + 1), x² − 17x + 42 = 0, x = 3 или x = 14. Оба подходят.
5) Условие: 3x − 1 ≥ 0, x натуральное. C_{3x+1}^{3x−1} = C_{3x+1}² = (3x + 1)(3x)/2 = 120, 3x (3x + 1) = 240. Пусть t = 3x: t² + t − 240 = 0, t = 15 или t = −16 (не подходит). 3x = 15, x = 5.
6) C_{2x+1}^{2x−1} = C_{2x+1}² = (2x + 1)(2x)/2 = x (2x + 1) = 36, 2x² + x − 36 = 0, D = 289, x = 4 или x = −4,5 (не подходит). x = 4.
Ответ: 1) 5; 2) 6; 3) 4 и 8; 4) 3 и 14; 5) 5; 6) 4.
1) C_{x+1}² + C_{x+1}³ = C_{x+2}³ (x + 1 ≥ 3, т.е. x ≥ 2). (x + 2)(x + 1)x/6 = 7x; при x ≠ 0: (x + 2)(x + 1) = 42, x² + 3x − 40 = 0, x = 5 или x = −8 (не подходит). x = 5.
2) C_{x−1}³ + C_{x−1}² = C_x³ (x − 1 ≥ 3, т.е. x ≥ 4). x(x − 1)(x − 2)/6 = 4 (x − 1); при x ≠ 1: x(x − 2) = 24, x² − 2x − 24 = 0, x = 6 или x = −4 (не подходит). x = 6.
3) x ≥ 3. x(x − 1)(x − 2)/6 = (4/15) · (x + 2)(x + 1)x(x − 1)/24. Сокращаем на x(x − 1) ≠ 0: (x − 2)/6 = (x + 2)(x + 1)/90, 15 (x − 2) = x² + 3x + 2, x² − 12x + 32 = 0, x = 4 или x = 8; оба ≥ 3. Проверка: x = 4: C₄³ = 4, (4/15) C₆⁴ = (4/15) · 15 = 4; x = 8: C₈³ = 56, (4/15) C₁₀⁴ = (4/15) · 210 = 56.
4) x ≥ 3. 5 x(x − 1)(x − 2)/6 = (x + 2)(x + 1)x(x − 1)/24. Сокращаем на x(x − 1): 20 (x − 2) = (x + 2)(x + 1), x² − 17x + 42 = 0, x = 3 или x = 14. Оба подходят.
5) Условие: 3x − 1 ≥ 0, x натуральное. C_{3x+1}^{3x−1} = C_{3x+1}² = (3x + 1)(3x)/2 = 120, 3x (3x + 1) = 240. Пусть t = 3x: t² + t − 240 = 0, t = 15 или t = −16 (не подходит). 3x = 15, x = 5.
6) C_{2x+1}^{2x−1} = C_{2x+1}² = (2x + 1)(2x)/2 = x (2x + 1) = 36, 2x² + x − 36 = 0, D = 289, x = 4 или x = −4,5 (не подходит). x = 4.
Ответ: 1) 5; 2) 6; 3) 4 и 8; 4) 3 и 14; 5) 5; 6) 4.