Глава XI. § 62. Размещения — с. 326
1075. В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение:
1) физорга и культорга;
2) физорга, культорга и казначея?
1) физорга и культорга;
2) физорга, культорга и казначея?
Должности различны, один человек занимает одну должность, поэтому порядок выбора важен: размещения.
1) A₂₀² = 20 · 19 = 380.
2) A₂₀³ = 20 · 19 · 18 = 6840.
Ответ: 1) 380 способов; 2) 6840 способов.
1) A₂₀² = 20 · 19 = 380.
2) A₂₀³ = 20 · 19 · 18 = 6840.
Ответ: 1) 380 способов; 2) 6840 способов.
1076. Найти значение выражения:
1) (A₁₅⁹ − A₁₅⁸)/A₁₅⁷;
2) (A₁₈¹⁰ + A₁₈¹¹)/A₁₈⁹;
3) (A₉⁴ · A₄⁴)/A₈⁶;
4) (A₅⁵ · A₁₀³)/A₉⁷.
1) (A₁₅⁹ − A₁₅⁸)/A₁₅⁷;
2) (A₁₈¹⁰ + A₁₈¹¹)/A₁₈⁹;
3) (A₉⁴ · A₄⁴)/A₈⁶;
4) (A₅⁵ · A₁₀³)/A₉⁷.
Используем A(m,n) = m!/(m − n)!.
1) A₁₅⁹ = A₁₅⁷ · 8 · 7 = 56 A₁₅⁷ (так как A₁₅⁹ = 15!/6!, A₁₅⁷ = 15!/8!, отношение 8!/6! = 56); A₁₅⁸ = 15!/7! = 8 · A₁₅⁷. Тогда (56 − 8) A₁₅⁷ / A₁₅⁷ = 48.
2) A₁₈¹⁰ = 18!/8!, A₁₈¹¹ = 18!/7!, A₁₈⁹ = 18!/9!. A₁₈¹⁰/A₁₈⁹ = 9!/8! = 9; A₁₈¹¹/A₁₈⁹ = 9!/7! = 72. Сумма: 9 + 72 = 81.
3) A₉⁴ = 9 · 8 · 7 · 6 = 3024; A₄⁴ = 24; A₈⁶ = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20 160. Дробь: 3024 · 24/20 160 = 72 576/20 160 = 18/5 = 3,6.
4) A₅⁵ = 120; A₁₀³ = 720; A₉⁷ = 9!/2! = 181 440. Дробь: 120 · 720/181 440 = 86 400/181 440 = 10/21.
Ответ: 1) 48; 2) 81; 3) 18/5; 4) 10/21.
1) A₁₅⁹ = A₁₅⁷ · 8 · 7 = 56 A₁₅⁷ (так как A₁₅⁹ = 15!/6!, A₁₅⁷ = 15!/8!, отношение 8!/6! = 56); A₁₅⁸ = 15!/7! = 8 · A₁₅⁷. Тогда (56 − 8) A₁₅⁷ / A₁₅⁷ = 48.
2) A₁₈¹⁰ = 18!/8!, A₁₈¹¹ = 18!/7!, A₁₈⁹ = 18!/9!. A₁₈¹⁰/A₁₈⁹ = 9!/8! = 9; A₁₈¹¹/A₁₈⁹ = 9!/7! = 72. Сумма: 9 + 72 = 81.
3) A₉⁴ = 9 · 8 · 7 · 6 = 3024; A₄⁴ = 24; A₈⁶ = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20 160. Дробь: 3024 · 24/20 160 = 72 576/20 160 = 18/5 = 3,6.
4) A₅⁵ = 120; A₁₀³ = 720; A₉⁷ = 9!/2! = 181 440. Дробь: 120 · 720/181 440 = 86 400/181 440 = 10/21.
Ответ: 1) 48; 2) 81; 3) 18/5; 4) 10/21.
1077. Решить относительно m уравнение:
1) A_m² = 72;
2) A_m² = 56;
3) A_m³ = 12m;
4) A_m³ = 20m;
5) A_{m+1}² = 110;
6) A_{m+2}² = 90;
7) A_m⁵ = 18 A_{m−2}⁴;
8) (m − 4) · A_m⁴ = 21 (m − 5) · A_{m−2}³.
1) A_m² = 72;
2) A_m² = 56;
3) A_m³ = 12m;
4) A_m³ = 20m;
5) A_{m+1}² = 110;
6) A_{m+2}² = 90;
7) A_m⁵ = 18 A_{m−2}⁴;
8) (m − 4) · A_m⁴ = 21 (m − 5) · A_{m−2}³.
Везде m — натуральное число, не меньшее нижнего индекса размещения.
1) m(m − 1) = 72, m ≥ 2: m² − m − 72 = 0, m = 9 или m = −8 (не подходит). m = 9.
2) m(m − 1) = 56: m² − m − 56 = 0, m = 8 или m = −7 (не подходит). m = 8.
3) m(m − 1)(m − 2) = 12m, m ≥ 3; сокращаем на m: (m − 1)(m − 2) = 12, m² − 3m − 10 = 0, m = 5 или m = −2 (не подходит). m = 5.
4) (m − 1)(m − 2) = 20, m² − 3m − 18 = 0, m = 6 или m = −3 (не подходит). m = 6.
5) (m + 1)m = 110, m + 1 ≥ 2: m² + m − 110 = 0, m = 10 или m = −11 (не подходит). m = 10.
6) (m + 2)(m + 1) = 90: m² + 3m − 88 = 0, m = 8 или m = −11 (не подходит). m = 8.
7) Область: m − 2 ≥ 4, т.е. m ≥ 6. m(m − 1)(m − 2)(m − 3)(m − 4) = 18 (m − 2)(m − 3)(m − 4)(m − 5). Сокращаем на (m − 2)(m − 3)(m − 4) ≠ 0: m(m − 1) = 18 (m − 5), m² − 19m + 90 = 0, m = 9 или m = 10; оба удовлетворяют m ≥ 6. m = 9 или m = 10.
8) Область: m − 2 ≥ 3, т.е. m ≥ 5. A_m⁴ = m(m − 1)(m − 2)(m − 3), A_{m−2}³ = (m − 2)(m − 3)(m − 4). Уравнение: (m − 4) m (m − 1)(m − 2)(m − 3) = 21 (m − 5)(m − 2)(m − 3)(m − 4). При m = 5 левая часть равна 120, правая 0 — не корень; при m = 4 уравнение не рассматривается (m ≥ 5). Сокращаем на (m − 2)(m − 3)(m − 4) ≠ 0: m(m − 1) = 21 (m − 5), m² − 22m + 105 = 0, m = 7 или m = 15.
Ответ: 1) 9; 2) 8; 3) 5; 4) 6; 5) 10; 6) 8; 7) 9 и 10; 8) 7 и 15.
1) m(m − 1) = 72, m ≥ 2: m² − m − 72 = 0, m = 9 или m = −8 (не подходит). m = 9.
2) m(m − 1) = 56: m² − m − 56 = 0, m = 8 или m = −7 (не подходит). m = 8.
3) m(m − 1)(m − 2) = 12m, m ≥ 3; сокращаем на m: (m − 1)(m − 2) = 12, m² − 3m − 10 = 0, m = 5 или m = −2 (не подходит). m = 5.
4) (m − 1)(m − 2) = 20, m² − 3m − 18 = 0, m = 6 или m = −3 (не подходит). m = 6.
5) (m + 1)m = 110, m + 1 ≥ 2: m² + m − 110 = 0, m = 10 или m = −11 (не подходит). m = 10.
6) (m + 2)(m + 1) = 90: m² + 3m − 88 = 0, m = 8 или m = −11 (не подходит). m = 8.
7) Область: m − 2 ≥ 4, т.е. m ≥ 6. m(m − 1)(m − 2)(m − 3)(m − 4) = 18 (m − 2)(m − 3)(m − 4)(m − 5). Сокращаем на (m − 2)(m − 3)(m − 4) ≠ 0: m(m − 1) = 18 (m − 5), m² − 19m + 90 = 0, m = 9 или m = 10; оба удовлетворяют m ≥ 6. m = 9 или m = 10.
8) Область: m − 2 ≥ 3, т.е. m ≥ 5. A_m⁴ = m(m − 1)(m − 2)(m − 3), A_{m−2}³ = (m − 2)(m − 3)(m − 4). Уравнение: (m − 4) m (m − 1)(m − 2)(m − 3) = 21 (m − 5)(m − 2)(m − 3)(m − 4). При m = 5 левая часть равна 120, правая 0 — не корень; при m = 4 уравнение не рассматривается (m ≥ 5). Сокращаем на (m − 2)(m − 3)(m − 4) ≠ 0: m(m − 1) = 21 (m − 5), m² − 22m + 105 = 0, m = 7 или m = 15.
Ответ: 1) 9; 2) 8; 3) 5; 4) 6; 5) 10; 6) 8; 7) 9 и 10; 8) 7 и 15.
1078. Упростить выражение:
1) (A₉ⁿ · P_{10−n})/P₈, где n ≤ 9;
2) P₁₂/(A₁₃ⁿ · P_{14−n}), где n ≤ 13.
1) (A₉ⁿ · P_{10−n})/P₈, где n ≤ 9;
2) P₁₂/(A₁₃ⁿ · P_{14−n}), где n ≤ 13.
1) A₉ⁿ = 9!/(9 − n)!, P_{10−n} = (10 − n)! = (10 − n)(9 − n)!, P₈ = 8!. Тогда выражение равно 9! (10 − n)(9 − n)!/((9 − n)! · 8!) = 9 (10 − n) = 90 − 9n.
2) A₁₃ⁿ = 13!/(13 − n)!, P_{14−n} = (14 − n)! = (14 − n)(13 − n)!. Знаменатель: 13! (14 − n). Выражение равно 12!/(13! (14 − n)) = 1/(13 (14 − n)) = 1/(182 − 13n).
Ответ: 1) 90 − 9n; 2) 1/(182 − 13n).
2) A₁₃ⁿ = 13!/(13 − n)!, P_{14−n} = (14 − n)! = (14 − n)(13 − n)!. Знаменатель: 13! (14 − n). Выражение равно 12!/(13! (14 − n)) = 1/(13 (14 − n)) = 1/(182 − 13n).
Ответ: 1) 90 − 9n; 2) 1/(182 − 13n).
1079. В шахматном турнире участвуют:
1) 6 юношей и 2 девушки;
2) 5 юношей и 3 девушки.
Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники турнира набирают разное количество очков.
1) 6 юношей и 2 девушки;
2) 5 юношей и 3 девушки.
Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники турнира набирают разное количество очков.
В обоих случаях участников 8, места различны (нет одинаковых результатов). Места девушек — это упорядоченный выбор мест из 8 для каждой девушки, т.е. размещения.
1) Две девушки: A₈² = 8 · 7 = 56.
2) Три девушки: A₈³ = 8 · 7 · 6 = 336.
Ответ: 1) 56 способов; 2) 336 способов.
1) Две девушки: A₈² = 8 · 7 = 56.
2) Три девушки: A₈³ = 8 · 7 · 6 = 336.
Ответ: 1) 56 способов; 2) 336 способов.