Глава XI. § 61. Перестановки — с. 322
1064. Упростить форму записи выражений (полагая, что k — натуральное число, k > 4):
1) 6! · 7;
2) 10! · 11;
3) 15 · 14!;
4) 12 · 11!;
5) k! (k + 1);
6) (k − 1)! k;
7) (k − 1)! k (k + 1);
8) (k − 2)! (k − 1) · k;
9) (k − 4)! (k² − 5k + 6);
10) (k − 3)! (k² − 3k + 2).
1) 6! · 7;
2) 10! · 11;
3) 15 · 14!;
4) 12 · 11!;
5) k! (k + 1);
6) (k − 1)! k;
7) (k − 1)! k (k + 1);
8) (k − 2)! (k − 1) · k;
9) (k − 4)! (k² − 5k + 6);
10) (k − 3)! (k² − 3k + 2).
Используем (n + 1)! = n! · (n + 1).
1) 6! · 7 = 7!.
2) 10! · 11 = 11!.
3) 15 · 14! = 15!.
4) 12 · 11! = 12!.
5) k! (k + 1) = (k + 1)!.
6) (k − 1)! k = k!.
7) (k − 1)! k (k + 1) = k! (k + 1) = (k + 1)!.
8) (k − 2)! (k − 1) k = (k − 1)! k = k!.
9) k² − 5k + 6 = (k − 2)(k − 3). (k − 4)! (k − 3)(k − 2) = (k − 3)! (k − 2) = (k − 2)!.
10) k² − 3k + 2 = (k − 1)(k − 2). (k − 3)! (k − 2)(k − 1) = (k − 2)! (k − 1) = (k − 1)!.
1) 6! · 7 = 7!.
2) 10! · 11 = 11!.
3) 15 · 14! = 15!.
4) 12 · 11! = 12!.
5) k! (k + 1) = (k + 1)!.
6) (k − 1)! k = k!.
7) (k − 1)! k (k + 1) = k! (k + 1) = (k + 1)!.
8) (k − 2)! (k − 1) k = (k − 1)! k = k!.
9) k² − 5k + 6 = (k − 2)(k − 3). (k − 4)! (k − 3)(k − 2) = (k − 3)! (k − 2) = (k − 2)!.
10) k² − 3k + 2 = (k − 1)(k − 2). (k − 3)! (k − 2)(k − 1) = (k − 2)! (k − 1) = (k − 1)!.
1065. Найти значение выражения:
1) 26!/25!;
2) 32!/31!;
3) 12!/10!;
4) 14!/12!;
5) 5! · 3!/7!;
6) 6! · 4!/8!;
7) 10!/(8! · 3!);
8) 11!/(9! · 2!).
1) 26!/25!;
2) 32!/31!;
3) 12!/10!;
4) 14!/12!;
5) 5! · 3!/7!;
6) 6! · 4!/8!;
7) 10!/(8! · 3!);
8) 11!/(9! · 2!).
1) 26!/25! = 26.
2) 32!/31! = 32.
3) 12!/10! = 12 · 11 = 132.
4) 14!/12! = 14 · 13 = 182.
5) 5! · 3!/7! = 3!/(6 · 7) = 6/42 = 1/7.
6) 6! · 4!/8! = 4!/(7 · 8) = 24/56 = 3/7.
7) 10!/(8! · 3!) = 10 · 9/6 = 15.
8) 11!/(9! · 2!) = 11 · 10/2 = 55.
Ответ: 1) 26; 2) 32; 3) 132; 4) 182; 5) 1/7; 6) 3/7; 7) 15; 8) 55.
2) 32!/31! = 32.
3) 12!/10! = 12 · 11 = 132.
4) 14!/12! = 14 · 13 = 182.
5) 5! · 3!/7! = 3!/(6 · 7) = 6/42 = 1/7.
6) 6! · 4!/8! = 4!/(7 · 8) = 24/56 = 3/7.
7) 10!/(8! · 3!) = 10 · 9/6 = 15.
8) 11!/(9! · 2!) = 11 · 10/2 = 55.
Ответ: 1) 26; 2) 32; 3) 132; 4) 182; 5) 1/7; 6) 3/7; 7) 15; 8) 55.
1066. Упростить выражение (буквами n и m обозначены натуральные числа):
1) Pₙ₊₁/Pₙ;
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁;
3) m! (m + 1)/(m + 2)!;
4) (m + 3)!/((m + 1)! (m + 2)).
1) Pₙ₊₁/Pₙ;
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁;
3) m! (m + 1)/(m + 2)!;
4) (m + 3)!/((m + 1)! (m + 2)).
1) Pₙ₊₁/Pₙ = (n + 1)!/n! = n + 1.
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁ = (n + 2)!/(n + 1)! = n + 2.
3) (m + 2)! = m! (m + 1)(m + 2), поэтому m! (m + 1)/(m + 2)! = 1/(m + 2).
4) (m + 3)! = (m + 1)! (m + 2)(m + 3), поэтому дробь равна (m + 3).
Ответ: 1) n + 1; 2) n + 2; 3) 1/(m + 2); 4) m + 3.
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁ = (n + 2)!/(n + 1)! = n + 2.
3) (m + 2)! = m! (m + 1)(m + 2), поэтому m! (m + 1)/(m + 2)! = 1/(m + 2).
4) (m + 3)! = (m + 1)! (m + 2)(m + 3), поэтому дробь равна (m + 3).
Ответ: 1) n + 1; 2) n + 2; 3) 1/(m + 2); 4) m + 3.
1067. Решить уравнение относительно n:
1) Pₙ/Pₙ₊₁ = 1/4;
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁ = 5;
3) Pₙ/Pₙ₋₂ = 20;
4) Pₙ₋₁/Pₙ₊₁ = 1/12.
1) Pₙ/Pₙ₊₁ = 1/4;
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁ = 5;
3) Pₙ/Pₙ₋₂ = 20;
4) Pₙ₋₁/Pₙ₊₁ = 1/12.
Здесь n — натуральное число.
1) Pₙ/Pₙ₊₁ = n!/(n + 1)! = 1/(n + 1) = 1/4 ⇒ n = 3.
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁ = n + 2 = 5 ⇒ n = 3.
3) Pₙ/Pₙ₋₂ = n!/(n − 2)! = n(n − 1) = 20 ⇒ n² − n − 20 = 0 ⇒ n = 5 или n = −4; n = −4 не подходит (n ≥ 2). Ответ: n = 5.
4) Pₙ₋₁/Pₙ₊₁ = (n − 1)!/(n + 1)! = 1/(n(n + 1)) = 1/12 ⇒ n² + n − 12 = 0 ⇒ n = 3 или n = −4; подходит n = 3.
Ответ: 1) 3; 2) 3; 3) 5; 4) 3.
1) Pₙ/Pₙ₊₁ = n!/(n + 1)! = 1/(n + 1) = 1/4 ⇒ n = 3.
2) Pₙ₊₂/Pₙ₊₁ = n + 2 = 5 ⇒ n = 3.
3) Pₙ/Pₙ₋₂ = n!/(n − 2)! = n(n − 1) = 20 ⇒ n² − n − 20 = 0 ⇒ n = 5 или n = −4; n = −4 не подходит (n ≥ 2). Ответ: n = 5.
4) Pₙ₋₁/Pₙ₊₁ = (n − 1)!/(n + 1)! = 1/(n(n + 1)) = 1/12 ⇒ n² + n − 12 = 0 ⇒ n = 3 или n = −4; подходит n = 3.
Ответ: 1) 3; 2) 3; 3) 5; 4) 3.
1068. Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове: 1) гипотенуза; 2) треугольник?
Все буквы в каждом слове различны, поэтому слова отличаются порядком букв — это перестановки.
1) В слове «гипотенуза» 10 различных букв (г, и, п, о, т, е, н, у, з, а): P₁₀ = 10! = 3 628 800.
2) В слове «треугольник» 11 различных букв (т, р, е, у, г, о, л, ь, н, и, к): P₁₁ = 11! = 39 916 800.
Ответ: 1) 10! = 3 628 800; 2) 11! = 39 916 800.
1) В слове «гипотенуза» 10 различных букв (г, и, п, о, т, е, н, у, з, а): P₁₀ = 10! = 3 628 800.
2) В слове «треугольник» 11 различных букв (т, р, е, у, г, о, л, ь, н, и, к): P₁₁ = 11! = 39 916 800.
Ответ: 1) 10! = 3 628 800; 2) 11! = 39 916 800.
1069. Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 5, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6?
Число кратно 5, если оканчивается на 5 (0 среди цифр нет). Последняя цифра — 5, остальные пять цифр 1, 2, 3, 4, 6 переставляются: P₅ = 5! = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120.
1070. Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 4, можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7 и 9?
Число кратно 4, если число из двух последних цифр кратно 4. Чётная цифра только одна — 6, поэтому она стоит на последнем месте. Тогда предпоследняя цифра d нечётная, и двузначное число 10d + 6 при d = 2m + 1 равно 20m + 16 = 4(5m + 4), то есть кратно 4 при любой нечётной d (проверка: 16, 36, 56, 76, 96 делятся на 4). Значит подходит любая из пяти нечётных цифр 1, 3, 5, 7, 9.
Осталось расставить четыре оставшиеся цифры на первых четырёх местах: 4! = 24 способа. Всего 5 · 24 = 120.
Ответ: 120.
Осталось расставить четыре оставшиеся цифры на первых четырёх местах: 4! = 24 способа. Всего 5 · 24 = 120.
Ответ: 120.
1071. Имеются 8 книг, среди которых: 1) 6 книг различных авторов и двухтомник одного автора, книг которого не было среди предыдущих шести книг; 2) 5 книг различных пяти авторов и трёхтомник шестого автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Книги одного автора объединяем в один блок; блок переставляется, и внутри блока тома могут стоять в любом порядке.
1) Шесть отдельных книг и один блок (двухтомник) — всего 7 объектов: P₇ = 7! способов; внутри блока P₂ = 2! способа. 7! · 2! = 5040 · 2 = 10 080.
2) Пять отдельных книг и один блок (трёхтомник) — всего 6 объектов: P₆ = 720; внутри блока P₃ = 6. 720 · 6 = 4320.
Ответ: 1. P₇ · P₂ = 10 080; 2. P₆ · P₃ = 4320.
1) Шесть отдельных книг и один блок (двухтомник) — всего 7 объектов: P₇ = 7! способов; внутри блока P₂ = 2! способа. 7! · 2! = 5040 · 2 = 10 080.
2) Пять отдельных книг и один блок (трёхтомник) — всего 6 объектов: P₆ = 720; внутри блока P₃ = 6. 720 · 6 = 4320.
Ответ: 1. P₇ · P₂ = 10 080; 2. P₆ · P₃ = 4320.