Глава XI. § 61. Перестановки — с. 321
1059. Найти значение:
1) P₅;
2) P₇;
3) P₉;
4) P₈.
1) P₅;
2) P₇;
3) P₉;
4) P₈.
Pₙ = n!.
1) P₅ = 5! = 120.
2) P₇ = 7! = 5040.
3) P₉ = 9! = 362 880.
4) P₈ = 8! = 40 320.
1) P₅ = 5! = 120.
2) P₇ = 7! = 5040.
3) P₉ = 9! = 362 880.
4) P₈ = 8! = 40 320.
1060. Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырёх стульях в столовой детского сада?
Число способов равно числу перестановок из 4 элементов: P₄ = 4! = 24.
Ответ: 24 способа.
Ответ: 24 способа.
1061. Сколькими способами могут занять места 5 учащихся класса за пятью одноместными партами?
P₅ = 5! = 120.
Ответ: 120 способов.
Ответ: 120 способов.
1062. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день:
1) среди семи учащихся класса в течение 7 дней;
2) среди девяти учащихся класса в течение 9 дней?
1) среди семи учащихся класса в течение 7 дней;
2) среди девяти учащихся класса в течение 9 дней?
Каждый учащийся дежурит ровно один раз, поэтому порядок дежурств — перестановка.
1) P₇ = 7! = 5040.
2) P₉ = 9! = 362 880.
Ответ: 1) 5040; 2) 362 880.
Оговорка: принято, что каждый из учащихся дежурит ровно один раз.
1) P₇ = 7! = 5040.
2) P₉ = 9! = 362 880.
Ответ: 1) 5040; 2) 362 880.
Оговорка: принято, что каждый из учащихся дежурит ровно один раз.
1063. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:
1) последней была цифра 3;
2) первой была цифра 4;
3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1;
4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4;
5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;
6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?
1) последней была цифра 3;
2) первой была цифра 4;
3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1;
4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4;
5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;
6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?
Закреплённые цифры занимают свои места, остальные переставляются.
1) Остальные 4 цифры на 4 местах: 4! = 24.
2) 4! = 24.
3) Остаются 3 цифры на 3 местах: 3! = 6.
4) 3! = 6.
5) Две первые цифры 3 и 4 можно расставить 2! способами, остальные три цифры — 3! способами: 2 · 6 = 12.
6) Аналогично 2! · 3! = 12.
Ответ: 1) 24; 2) 24; 3) 6; 4) 6; 5) 12; 6) 12.
1) Остальные 4 цифры на 4 местах: 4! = 24.
2) 4! = 24.
3) Остаются 3 цифры на 3 местах: 3! = 6.
4) 3! = 6.
5) Две первые цифры 3 и 4 можно расставить 2! способами, остальные три цифры — 3! способами: 2 · 6 = 12.
6) Аналогично 2! · 3! = 12.
Ответ: 1) 24; 2) 24; 3) 6; 4) 6; 5) 12; 6) 12.