Алгебра Алимов 10-11 класс, страница 333 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава XI. § 64. Бином Ньютона — с. 333

1094. Найти четвёртый член разложения бинома:
1) (√x + x)^12;
2) (x − √x)^14;
3) (x − 1/x)^13;
4) (1/x + x)^11;
5) (a^0,1 + a^0,2)^9;
6) (b^0,3 + b^0,4)^8.

Общий член разложения (a + b)^n: T(k+1) = C(n,k) · a^(n−k) · b^k. Четвёртый член получается при k = 3.
1) C(12,3) = 220; T4 = 220 · (√x)^9 · x³ = 220 · x^(9/2) · x³ = 220x^(15/2) = 220x^7·√x.
2) C(14,3) = 364; T4 = 364 · x^11 · (−√x)³ = −364 · x^11 · x^(3/2) = −364x^(25/2).
3) C(13,3) = 286; T4 = 286 · x^10 · (−1/x)³ = −286 · x^10 · x^(−3) = −286x^7.
4) C(11,3) = 165; T4 = 165 · (1/x)^8 · x³ = 165x^(−8) · x³ = 165x^(−5).
5) C(9,3) = 84; T4 = 84 · (a^0,1)^6 · (a^0,2)³ = 84 · a^0,6 · a^0,6 = 84a^1,2.
6) C(8,3) = 56; T4 = 56 · (b^0,3)^5 · (b^0,4)³ = 56 · b^1,5 · b^1,2 = 56b^2,7.

1095. С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:
1) C(7,0) + C(7,1) + C(7,2) + C(7,3) + C(7,4) + C(7,5) + C(7,6) + C(7,7);
2) C(6,6) + C(6,5) + C(6,4) + C(6,3) + C(6,2) + C(6,0);
3) C(6,1) + C(6,2) + C(6,3) + C(6,4) + C(6,5);
4) C(7,6) + C(7,5) + C(7,4) + C(7,3) + C(7,2) + C(7,1);
5) C(9,0) + C(9,1) + C(9,2) + C(9,3) + C(9,4);
6) C(11,5) + C(11,4) + C(11,3) + C(11,2) + C(11,1) + C(11,0).

Сумма всех элементов n-й строки треугольника Паскаля равна 2^n: C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2^n. Кроме того, C(n,k) = C(n,n−k), поэтому элементы строки симметричны.
1) Сумма всех элементов седьмой строки: 2^7 = 128.
2) В условии записаны C(6,6), C(6,5), C(6,4), C(6,3), C(6,2), C(6,0), то есть вся строка без C(6,1) = 6. Сумма равна 2^6 − 6 = 64 − 6 = 58.
3) Это вся шестая строка без крайних элементов C(6,0) = 1 и C(6,6) = 1: 2^6 − 2 = 62.
4) Вся седьмая строка без C(7,0) = 1 и C(7,7) = 1: 2^7 − 2 = 126.
5) Для n = 9 слагаемые C(9,0), …, C(9,4) — это ровно половина всех элементов строки (всего их 10, и C(9,k) = C(9,9−k)). Значит, сумма равна 2^9/2 = 2^8 = 256.
6) Для n = 11 слагаемые C(11,0), …, C(11,5) — половина из 12 элементов, поэтому сумма равна 2^11/2 = 2^10 = 1024.
Оговорка: в ответах учебника к п. 2) указано 64, что получилось бы при слагаемом C(6,1) вместо C(6,0); для выражения, напечатанного в условии, сумма равна 58.

1096. Найти член разложения бинома:
1) (∛x + 1/√x)^12, содержащий x^(−1);
2) (√x + 1/∛x)^16, содержащий x³.

Используем общий член T(k+1) = C(n,k) · a^(n−k) · b^k.
1) T(k+1) = C(12,k) · (x^(1/3))^(12−k) · (x^(−1/2))^k = C(12,k) · x^((12−k)/3 − k/2). Показатель: (12 − k)/3 − k/2 = 4 − 5k/6. Приравниваем к −1: 4 − 5k/6 = −1, 5k/6 = 5, k = 6. Член: C(12,6) · x^(−1) = 924x^(−1) (это седьмой член).
2) T(k+1) = C(16,k) · (x^(1/2))^(16−k) · (x^(−1/3))^k = C(16,k) · x^((16−k)/2 − k/3). Показатель: 8 − 5k/6 = 3, откуда 5k/6 = 5, k = 6. Член: C(16,6) · x³ = 8008x³ (седьмой член).

1097. Вычислить:
1) (7! − 5!)/5!;
2) (6! − 4!)/5!;
3) 149!/148! − 36!/35!;
4) 97!/96! + 35!/34!;
5) (4! · 8!)/(6! · 7!);
6) (9! · 5!)/(7! · 6!).

1) (7! − 5!)/5! = 7!/5! − 1 = 6 · 7 − 1 = 41.
2) (6! − 4!)/5! = (720 − 24)/120 = 696/120 = 29/5 = 5,8.
3) 149!/148! = 149, 36!/35! = 36; 149 − 36 = 113.
4) 97!/96! = 97, 35!/34! = 35; 97 + 35 = 132.
5) (4! · 8!)/(6! · 7!) = (8!/7!) · (4!/6!) = 8 · 1/(5 · 6) = 8/30 = 4/15.
6) (9! · 5!)/(7! · 6!) = (9!/7!) · (5!/6!) = 9 · 8 · 1/6 = 12.

1098. Упростить:
1) (n + 3)!/(n + 1)!;
2) (n + 2)!/(n − 1)!;
3) (1/(n + 1)! + 1/n!) · n!;
4) (1/n! − 1/(n + 1)!) · n!;
5) (1/n! − 1/(n + 2)!) · (n + 1)!;
6) (1/(n + 2)! + 1/n!) · (n + 1)!.

Используем (m + 1)! = (m + 1) · m!.
1) (n + 3)!/(n + 1)! = (n + 2)(n + 3).
2) (n + 2)!/(n − 1)! = n(n + 1)(n + 2).
3) n!/(n + 1)! + n!/n! = 1/(n + 1) + 1 = (n + 2)/(n + 1).
4) n!/n! − n!/(n + 1)! = 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1).
5) (n + 1)!/n! − (n + 1)!/(n + 2)! = (n + 1) − 1/(n + 2) = ((n + 1)(n + 2) − 1)/(n + 2) = (n² + 3n + 1)/(n + 2).
6) (n + 1)!/(n + 2)! + (n + 1)!/n! = 1/(n + 2) + (n + 1) = (1 + (n + 1)(n + 2))/(n + 2) = (n² + 3n + 3)/(n + 2).