Глава X. Проверь себя! — с. 316
1036. Вычислить интеграл:
1) ∫_0^1 (5x⁴ − 8x³) dx;
2) ∫_{−1}^{2} (6x³ − 5x) dx;
3) ∫_1^4 √x (3 − 7/x) dx;
4) ∫_1^8 4∛x (1 − 4/x) dx;
5) ∫_0^3 √(x + 1) dx;
6) ∫_2^6 √(2x − 3) dx.
1) ∫_0^1 (5x⁴ − 8x³) dx;
2) ∫_{−1}^{2} (6x³ − 5x) dx;
3) ∫_1^4 √x (3 − 7/x) dx;
4) ∫_1^8 4∛x (1 − 4/x) dx;
5) ∫_0^3 √(x + 1) dx;
6) ∫_2^6 √(2x − 3) dx.
1) (x⁵ − 2x⁴) |_0^1 = 1 − 2 = −1.
2) (3x⁴/2 − 5x²/2) |_{−1}^{2} = (24 − 10) − (3/2 − 5/2) = 14 + 1 = 15.
3) √x(3 − 7/x) = 3x^(1/2) − 7x^(−1/2); первообразная 2x^(3/2) − 14x^(1/2). При x = 4: 16 − 28 = −12; при x = 1: 2 − 14 = −12. Интеграл равен 0.
4) 4x^(1/3)(1 − 4/x) = 4x^(1/3) − 16x^(−2/3); первообразная 3x^(4/3) − 48x^(1/3). При x = 8: 48 − 96 = −48; при x = 1: 3 − 48 = −45. Интеграл равен −48 + 45 = −3.
5) (2/3)(x + 1)^(3/2) |_0^3 = (2/3)(8 − 1) = 14/3.
6) (1/3)(2x − 3)^(3/2) |_2^6 = (1/3)(27 − 1) = 26/3.
2) (3x⁴/2 − 5x²/2) |_{−1}^{2} = (24 − 10) − (3/2 − 5/2) = 14 + 1 = 15.
3) √x(3 − 7/x) = 3x^(1/2) − 7x^(−1/2); первообразная 2x^(3/2) − 14x^(1/2). При x = 4: 16 − 28 = −12; при x = 1: 2 − 14 = −12. Интеграл равен 0.
4) 4x^(1/3)(1 − 4/x) = 4x^(1/3) − 16x^(−2/3); первообразная 3x^(4/3) − 48x^(1/3). При x = 8: 48 − 96 = −48; при x = 1: 3 − 48 = −45. Интеграл равен −48 + 45 = −3.
5) (2/3)(x + 1)^(3/2) |_0^3 = (2/3)(8 − 1) = 14/3.
6) (1/3)(2x − 3)^(3/2) |_2^6 = (1/3)(27 − 1) = 26/3.
1037. Вычислить интеграл:
1) ∫_0^{π/4} (1/2) cos(x + π/4) dx;
2) ∫_0^{π/3} (1/3) sin(x − π/3) dx;
3) ∫_1^3 3 sin(3x − 6) dx;
4) ∫_0^3 8 cos(4x − 12) dx.
1) ∫_0^{π/4} (1/2) cos(x + π/4) dx;
2) ∫_0^{π/3} (1/3) sin(x − π/3) dx;
3) ∫_1^3 3 sin(3x − 6) dx;
4) ∫_0^3 8 cos(4x − 12) dx.
1) (1/2) sin(x + π/4) |_0^(π/4) = (1/2)(sin(π/2) − sin(π/4)) = (1/2)(1 − √2/2) = (2 − √2)/4.
2) −(1/3) cos(x − π/3) |_0^(π/3) = −(1/3)(cos 0 − cos(−π/3)) = −(1/3)(1 − 1/2) = −1/6.
3) −cos(3x − 6) |_1^3 = −cos 3 + cos(−3) = −cos 3 + cos 3 = 0.
4) 2 sin(4x − 12) |_0^3 = 2 sin 0 − 2 sin(−12) = 2 sin 12 (≈ −1,07).
Ответ: 1. (2 − √2)/4; 2) −1/6; 3) 0; 4) 2 sin 12.
2) −(1/3) cos(x − π/3) |_0^(π/3) = −(1/3)(cos 0 − cos(−π/3)) = −(1/3)(1 − 1/2) = −1/6.
3) −cos(3x − 6) |_1^3 = −cos 3 + cos(−3) = −cos 3 + cos 3 = 0.
4) 2 sin(4x − 12) |_0^3 = 2 sin 0 − 2 sin(−12) = 2 sin 12 (≈ −1,07).
Ответ: 1. (2 − √2)/4; 2) −1/6; 3) 0; 4) 2 sin 12.
1038. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = 1/x, y = 4x, x = 1, y = 0;
2) y = 1/x², y = x, x = 2, y = 0;
3) y = x² + 1, y = x + 1;
4) y = x² + 2, y = 2x + 2.
1) y = 1/x, y = 4x, x = 1, y = 0;
2) y = 1/x², y = x, x = 2, y = 0;
3) y = x² + 1, y = x + 1;
4) y = x² + 2, y = 2x + 2.
1) 1/x = 4x ⇒ x = 1/2 (x > 0). Фигура: на [0; 1/2] сверху прямая y = 4x, на [1/2; 1] сверху гипербола. S = ∫_0^(1/2) 4x dx + ∫_(1/2)^1 dx/x = 2x² |_0^(1/2) + ln x |_(1/2)^1 = 1/2 + ln 2.
2) 1/x² = x ⇒ x = 1. На [0; 1] сверху y = x, на [1; 2] сверху y = 1/x². S = ∫_0^1 x dx + ∫_1^2 x^(−2) dx = 1/2 + (−1/x)|_1^2 = 1/2 + 1/2 = 1.
3) x² + 1 = x + 1 ⇒ x = 0 и x = 1; на [0; 1] прямая выше. S = ∫_0^1 (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.
4) x² + 2 = 2x + 2 ⇒ x = 0 и x = 2; на [0; 2] прямая выше. S = ∫_0^2 (2x − x²) dx = (x² − x³/3) |_0^2 = 4 − 8/3 = 4/3.
Ответ: 1) 1/2 + ln 2; 2) 1; 3) 1/6; 4) 4/3.
2) 1/x² = x ⇒ x = 1. На [0; 1] сверху y = x, на [1; 2] сверху y = 1/x². S = ∫_0^1 x dx + ∫_1^2 x^(−2) dx = 1/2 + (−1/x)|_1^2 = 1/2 + 1/2 = 1.
3) x² + 1 = x + 1 ⇒ x = 0 и x = 1; на [0; 1] прямая выше. S = ∫_0^1 (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.
4) x² + 2 = 2x + 2 ⇒ x = 0 и x = 2; на [0; 2] прямая выше. S = ∫_0^2 (2x − x²) dx = (x² − x³/3) |_0^2 = 4 − 8/3 = 4/3.
Ответ: 1) 1/2 + ln 2; 2) 1; 3) 1/6; 4) 4/3.
1039. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x² − 6x + 9, y = x² + 4x + 4, y = 0;
2) y = x² + 1, y = 3 − x²;
3) y = x², y = 2√(2x);
4) y = √x, y = √(4 − 3x), y = 0.
1) y = x² − 6x + 9, y = x² + 4x + 4, y = 0;
2) y = x² + 1, y = 3 − x²;
3) y = x², y = 2√(2x);
4) y = √x, y = √(4 − 3x), y = 0.
1) y = (x − 3)² и y = (x + 2)²; обе параболы касаются оси Ox в точках x = 3 и x = −2. Пересечение: x² − 6x + 9 = x² + 4x + 4 ⇒ x = 1/2. Фигура: на [−2; 1/2] сверху y = (x + 2)², на [1/2; 3] сверху y = (x − 3)². S = ∫_{−2}^{1/2} (x + 2)² dx + ∫_{1/2}^{3} (x − 3)² dx = (5/2)³/3 + (5/2)³/3 = 2 · 125/24 = 125/12.
2) x² + 1 = 3 − x² ⇒ x = ±1; на [−1; 1] выше y = 3 − x². S = ∫_{−1}^{1} (2 − 2x²) dx = 2(2 − 2/3) = 8/3.
3) x² = 2√(2x) ⇒ x⁴ = 8x ⇒ x = 0 и x = 2. На [0; 2] выше y = 2√(2x). S = ∫_0^2 (2√2 · x^(1/2) − x²) dx = 2√2 · (2/3) · 2√2 − 8/3 = 16/3 − 8/3 = 8/3.
4) Графики y = √x и y = √(4 − 3x) пересекаются при x = 4 − 3x, x = 1. Область определения второй функции x ≤ 4/3. S = ∫_0^1 √x dx + ∫_1^(4/3) √(4 − 3x) dx = 2/3 + [−(2/9)(4 − 3x)^(3/2)]_1^(4/3) = 2/3 + 2/9 = 8/9.
Ответ: 1) 125/12; 2) 8/3; 3) 8/3; 4) 8/9.
2) x² + 1 = 3 − x² ⇒ x = ±1; на [−1; 1] выше y = 3 − x². S = ∫_{−1}^{1} (2 − 2x²) dx = 2(2 − 2/3) = 8/3.
3) x² = 2√(2x) ⇒ x⁴ = 8x ⇒ x = 0 и x = 2. На [0; 2] выше y = 2√(2x). S = ∫_0^2 (2√2 · x^(1/2) − x²) dx = 2√2 · (2/3) · 2√2 − 8/3 = 16/3 − 8/3 = 8/3.
4) Графики y = √x и y = √(4 − 3x) пересекаются при x = 4 − 3x, x = 1. Область определения второй функции x ≤ 4/3. S = ∫_0^1 √x dx + ∫_1^(4/3) √(4 − 3x) dx = 2/3 + [−(2/9)(4 − 3x)^(3/2)]_1^(4/3) = 2/3 + 2/9 = 8/9.
Ответ: 1) 125/12; 2) 8/3; 3) 8/3; 4) 8/9.
1040. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой y = x² − 2x + 2, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Oy, и прямой x = 1;
2) гиперболой y = 4/x, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой x = 2, и прямыми y = 0, x = 6.
1) параболой y = x² − 2x + 2, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Oy, и прямой x = 1;
2) гиперболой y = 4/x, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой x = 2, и прямыми y = 0, x = 6.
1) Парабола пересекает Oy в точке (0; 2). y′ = 2x − 2, y′(0) = −2, касательная: y = 2 − 2x. Разность: (x² − 2x + 2) − (2 − 2x) = x² ≥ 0, парабола выше. S = ∫_0^1 x² dx = 1/3.
2) Точка касания (2; 2); y′ = −4/x², y′(2) = −1; касательная y = 2 − (x − 2) = 4 − x, она пересекает ось Ox в точке x = 4. Гипербола выпукла вниз и лежит выше касательной. Фигура ограничена сверху гиперболой на [2; 6], снизу касательной на [2; 4] и осью Ox на [4; 6]. S = ∫_2^6 4/x dx − ∫_2^4 (4 − x) dx = 4 ln 3 − (4x − x²/2) |_2^4 = 4 ln 3 − (8 − 6) = 4 ln 3 − 2.
Ответ: 1) 1/3; 2) 4 ln 3 − 2.
2) Точка касания (2; 2); y′ = −4/x², y′(2) = −1; касательная y = 2 − (x − 2) = 4 − x, она пересекает ось Ox в точке x = 4. Гипербола выпукла вниз и лежит выше касательной. Фигура ограничена сверху гиперболой на [2; 6], снизу касательной на [2; 4] и осью Ox на [4; 6]. S = ∫_2^6 4/x dx − ∫_2^4 (4 − x) dx = 4 ln 3 − (4x − x²/2) |_2^4 = 4 ln 3 − (8 − 6) = 4 ln 3 − 2.
Ответ: 1) 1/3; 2) 4 ln 3 − 2.
1041. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x³ − 3x² − 9x + 1, x = 0, y = 6 (при x < 0);
2) y = x⁴ − 2x² + 5, y = 1, x = 0, x = 1.
1) y = x³ − 3x² − 9x + 1, x = 0, y = 6 (при x < 0);
2) y = x⁴ − 2x² + 5, y = 1, x = 0, x = 1.
1) Решаем x³ − 3x² − 9x + 1 = 6: x³ − 3x² − 9x − 5 = (x + 1)²(x − 5) = 0, x = −1 (двойной корень) и x = 5. При x < 0 прямая y = 6 касается кривой в точке (−1; 6), это локальный максимум, и на [−1; 0] кривая ниже прямой. S = ∫_{−1}^{0} (6 − x³ + 3x² + 9x − 1) dx = (5x − x⁴/4 + x³ + 9x²/2) |_{−1}^{0} = 0 − (−5 − 1/4 − 1 + 9/2) = 7/4 = 1,75.
2) x⁴ − 2x² + 5 − 1 = x⁴ − 2x² + 4 = (x² − 1)² + 3 > 0, значит кривая выше y = 1. S = ∫_0^1 (x⁴ − 2x² + 4) dx = 1/5 − 2/3 + 4 = 53/15 = 3 8/15.
Ответ: 1) 7/4; 2) 53/15.
2) x⁴ − 2x² + 5 − 1 = x⁴ − 2x² + 4 = (x² − 1)² + 3 > 0, значит кривая выше y = 1. S = ∫_0^1 (x⁴ − 2x² + 4) dx = 1/5 − 2/3 + 4 = 53/15 = 3 8/15.
Ответ: 1) 7/4; 2) 53/15.
1042. При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² + px, где p — заданное число, и прямой y = kx + 1, наименьшая?
Абсциссы точек пересечения: x² + px = kx + 1 ⇒ x² + (p − k)x − 1 = 0. Дискриминант D = (p − k)² + 4 > 0, поэтому два корня x₁ < x₂, x₂ − x₁ = √D. Прямая выше параболы между корнями.
S = ∫_{x₁}^{x₂} (kx + 1 − x² − px) dx = ∫_{x₁}^{x₂} (−(x − x₁)(x − x₂)) dx = (x₂ − x₁)³/6 = ((p − k)² + 4)^(3/2) / 6.
Это выражение наименьшее, когда (p − k)² = 0, то есть k = p; тогда S = 8/6 = 4/3.
Ответ: k = p.
S = ∫_{x₁}^{x₂} (kx + 1 − x² − px) dx = ∫_{x₁}^{x₂} (−(x − x₁)(x − x₂)) dx = (x₂ − x₁)³/6 = ((p − k)² + 4)^(3/2) / 6.
Это выражение наименьшее, когда (p − k)² = 0, то есть k = p; тогда S = 8/6 = 4/3.
Ответ: k = p.