Глава X. § 59*. Применение производной и интеграла к решению практических задач — с. 314
1025. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t = t₁ до t = t₂:
1) v(t) = 3t² + 1, t₁ = 0, t₂ = 4;
2) v(t) = 2t² + t, t₁ = 1, t₂ = 3.
1) v(t) = 3t² + 1, t₁ = 0, t₂ = 4;
2) v(t) = 2t² + t, t₁ = 1, t₂ = 3.
Путь равен интегралу от скорости: S = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
1) S = ∫_0^4 (3t² + 1) dt = (t³ + t) |_0^4 = 64 + 4 = 68 (м).
2) S = ∫_1^3 (2t² + t) dt = (2t³/3 + t²/2) |_1^3 = (18 + 9/2) − (2/3 + 1/2) = 45/2 − 7/6 = 128/6 = 64/3 = 21 1/3 (м).
Ответ: 1) 68 м; 2) 64/3 м, то есть 21 1/3 м.
1) S = ∫_0^4 (3t² + 1) dt = (t³ + t) |_0^4 = 64 + 4 = 68 (м).
2) S = ∫_1^3 (2t² + t) dt = (2t³/3 + t²/2) |_1^3 = (18 + 9/2) − (2/3 + 1/2) = 45/2 − 7/6 = 128/6 = 64/3 = 21 1/3 (м).
Ответ: 1) 68 м; 2) 64/3 м, то есть 21 1/3 м.
1026. Скорость прямолинейно движущегося тела равна v(t) = 4t − t². Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
Начало движения: t = 0. Остановка: v(t) = 0, то есть t(4 − t) = 0, откуда t = 4 (на промежутке 0 < t < 4 скорость положительна, поэтому тело движется в одну сторону).
S = ∫_0^4 (4t − t²) dt = (2t² − t³/3) |_0^4 = 32 − 64/3 = 32/3 = 10 2/3.
Ответ: 32/3 (10 2/3) в единицах пути.
S = ∫_0^4 (4t − t²) dt = (2t² − t³/3) |_0^4 = 32 − 64/3 = 32/3 = 10 2/3.
Ответ: 32/3 (10 2/3) в единицах пути.
1027. Решить дифференциальное уравнение:
1) y′ = 3 − 4x;
2) y′ = 6x² − 8x + 1;
3) y′ = 3e^(2x);
4) y′ = 4 cos 2x;
5) y′ = 3 sin x;
6) y′ = cos x − sin x.
1) y′ = 3 − 4x;
2) y′ = 6x² − 8x + 1;
3) y′ = 3e^(2x);
4) y′ = 4 cos 2x;
5) y′ = 3 sin x;
6) y′ = cos x − sin x.
Решение уравнения y′ = f(x) — это все первообразные функции f, то есть y = F(x) + C.
1) y = 3x − 2x² + C.
2) y = 2x³ − 4x² + x + C.
3) y = (3/2)·e^(2x) + C.
4) y = 4 · (1/2) sin 2x + C = 2 sin 2x + C.
5) y = −3 cos x + C.
6) y = sin x + cos x + C.
Во всех случаях C — произвольная постоянная.
1) y = 3x − 2x² + C.
2) y = 2x³ − 4x² + x + C.
3) y = (3/2)·e^(2x) + C.
4) y = 4 · (1/2) sin 2x + C = 2 sin 2x + C.
5) y = −3 cos x + C.
6) y = sin x + cos x + C.
Во всех случаях C — произвольная постоянная.
1028. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:
1) y′ = sin x, y(0) = 0;
2) y′ = 2 cos x, y(π) = 1;
3) y′ = 3x² + 4x − 1, y(1) = −2;
4) y′ = 2 + 2x − 3x², y(−1) = 2;
5) y′ = e^x, y(1) = 1;
6) y′ = e^(−x), y(0) = 2.
1) y′ = sin x, y(0) = 0;
2) y′ = 2 cos x, y(π) = 1;
3) y′ = 3x² + 4x − 1, y(1) = −2;
4) y′ = 2 + 2x − 3x², y(−1) = 2;
5) y′ = e^x, y(1) = 1;
6) y′ = e^(−x), y(0) = 2.
Находим общее решение, затем C из начального условия.
1) y = −cos x + C; y(0) = −1 + C = 0, C = 1. Ответ: y = 1 − cos x.
2) y = 2 sin x + C; y(π) = 0 + C = 1, C = 1. Ответ: y = 2 sin x + 1.
3) y = x³ + 2x² − x + C; y(1) = 1 + 2 − 1 + C = 2 + C = −2, C = −4. Ответ: y = x³ + 2x² − x − 4.
4) y = 2x + x² − x³ + C; y(−1) = −2 + 1 + 1 + C = C = 2. Ответ: y = 2x + x² − x³ + 2.
5) y = e^x + C; y(1) = e + C = 1, C = 1 − e. Ответ: y = e^x + 1 − e.
6) y = −e^(−x) + C; y(0) = −1 + C = 2, C = 3. Ответ: y = 3 − e^(−x).
1) y = −cos x + C; y(0) = −1 + C = 0, C = 1. Ответ: y = 1 − cos x.
2) y = 2 sin x + C; y(π) = 0 + C = 1, C = 1. Ответ: y = 2 sin x + 1.
3) y = x³ + 2x² − x + C; y(1) = 1 + 2 − 1 + C = 2 + C = −2, C = −4. Ответ: y = x³ + 2x² − x − 4.
4) y = 2x + x² − x³ + C; y(−1) = −2 + 1 + 1 + C = C = 2. Ответ: y = 2x + x² − x³ + 2.
5) y = e^x + C; y(1) = e + C = 1, C = 1 − e. Ответ: y = e^x + 1 − e.
6) y = −e^(−x) + C; y(0) = −1 + C = 2, C = 3. Ответ: y = 3 − e^(−x).
1029. Показать, что функция y = C₁ cos ωx + C₂ sin ωx при любых значениях C₁ и C₂ является решением дифференциального уравнения y″ + ω²y = 0.
Дифференцируем: y′ = −C₁ω sin ωx + C₂ω cos ωx.
y″ = −C₁ω² cos ωx − C₂ω² sin ωx = −ω²(C₁ cos ωx + C₂ sin ωx) = −ω² y.
Следовательно, y″ + ω² y = −ω² y + ω² y = 0 при любых C₁ и C₂, что и требовалось показать.
y″ = −C₁ω² cos ωx − C₂ω² sin ωx = −ω²(C₁ cos ωx + C₂ sin ωx) = −ω² y.
Следовательно, y″ + ω² y = −ω² y + ω² y = 0 при любых C₁ и C₂, что и требовалось показать.
1030. Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г?
Скорость распада пропорциональна массе: m′ = −km, откуда m(t) = m₀e^(−kt), m₀ = 1.
Из условия m(10) = 0,999: e^(−10k) = 0,999, значит k = −ln 0,999 / 10 ≈ 0,00010005.
Нужно m(t) = 0,5: e^(−kt) = 0,5, kt = ln 2, t = ln 2 / k = 10 ln 2 / (−ln 0,999) = 10 ln 2 / ln(1/0,999) ≈ 6928.
Ответ: примерно через 6928 лет.
Оговорка: в ответах учебника указано 6927 лет; различие связано с округлением при вычислении логарифмов.
Из условия m(10) = 0,999: e^(−10k) = 0,999, значит k = −ln 0,999 / 10 ≈ 0,00010005.
Нужно m(t) = 0,5: e^(−kt) = 0,5, kt = ln 2, t = ln 2 / k = 10 ln 2 / (−ln 0,999) = 10 ln 2 / ln(1/0,999) ≈ 6928.
Ответ: примерно через 6928 лет.
Оговорка: в ответах учебника указано 6927 лет; различие связано с округлением при вычислении логарифмов.
1031. Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.
По закону Гука F = kx. При x = 0,01 м сила F = 2 Н, поэтому k = 2/0,01 = 200 Н/м, F(x) = 200x.
A = ∫_0^0,03 200x dx = 100x² |_0^0,03 = 100 · 0,0009 = 0,09 (Дж).
Ответ: 0,09 Дж.
A = ∫_0^0,03 200x dx = 100x² |_0^0,03 = 100 · 0,0009 = 0,09 (Дж).
Ответ: 0,09 Дж.
1032. Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.
По закону Гука F = kx. При x = 0,01 м сила F = 3 Н, поэтому k = 3/0,01 = 300 Н/м, F(x) = 300x.
A = ∫_0^0,08 300x dx = 150x² |_0^0,08 = 150 · 0,0064 = 0,96 (Дж).
Ответ: 0,96 Дж.
A = ∫_0^0,08 300x dx = 150x² |_0^0,08 = 150 · 0,0064 = 0,96 (Дж).
Ответ: 0,96 Дж.