Глава X. § 58. Упражнения — с. 308
1013. На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Найти площадь каждой из них.
[рисунок 164: а) трапеция под графиком y = x² + 4 на отрезке [−1; 1]; б) трапеция под графиком y = √x + 1 на отрезке [0; 1]; в) трапеция под графиком y = 2/x на отрезке [1; 4]]
[рисунок 164: а) трапеция под графиком y = x² + 4 на отрезке [−1; 1]; б) трапеция под графиком y = √x + 1 на отрезке [0; 1]; в) трапеция под графиком y = 2/x на отрезке [1; 4]]
Площадь криволинейной трапеции под графиком непрерывной функции f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b] равна ∫_a^b f(x) dx.
а) S = ∫_{−1}^1 (x² + 4) dx = (x³/3 + 4x) |_{−1}^1 = (1/3 + 4) − (−1/3 − 4) = 26/3 = 8 2/3.
б) S = ∫_0^1 (√x + 1) dx = ((2/3)x√x + x) |_0^1 = 2/3 + 1 = 5/3 = 1 2/3.
в) S = ∫_1^4 (2/x) dx = 2ln x |_1^4 = 2ln 4 − 0 = 2ln 4 = 4ln 2.
Ответ: а) 26/3; б) 5/3; в) 2ln 4.
а) S = ∫_{−1}^1 (x² + 4) dx = (x³/3 + 4x) |_{−1}^1 = (1/3 + 4) − (−1/3 − 4) = 26/3 = 8 2/3.
б) S = ∫_0^1 (√x + 1) dx = ((2/3)x√x + x) |_0^1 = 2/3 + 1 = 5/3 = 1 2/3.
в) S = ∫_1^4 (2/x) dx = 2ln x |_1^4 = 2ln 4 − 0 = 2ln 4 = 4ln 2.
Ответ: а) 26/3; б) 5/3; в) 2ln 4.
1014. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = (x + 1)², прямой y = 1 − x и осью Ox;
2) параболой y = 4 − x², прямой y = x + 2 и осью Ox;
3) параболой y = 4x − x², прямой y = 4 − x и осью Ox;
4) параболой y = 3x², прямой y = 1,5x + 4,5 и осью Ox.
1) параболой y = (x + 1)², прямой y = 1 − x и осью Ox;
2) параболой y = 4 − x², прямой y = x + 2 и осью Ox;
3) параболой y = 4x − x², прямой y = 4 − x и осью Ox;
4) параболой y = 3x², прямой y = 1,5x + 4,5 и осью Ox.
1) Парабола касается оси Ox в точке (−1; 0); с прямой пересекается при (x + 1)² = 1 − x ⇔ x² + 3x = 0, то есть в точке (0;
1. (корень x = −3 лежит вне фигуры). Прямая пересекает Ox в точке (1; 0). Фигура: на [−1; 0] ограничена сверху параболой, на [0; 1] — прямой.
S = ∫_{−1}^0 (x + 1)² dx + ∫_0^1 (1 − x) dx = (x + 1)³/3 |_{−1}^0 + (x − x²/2) |_0^1 = 1/3 + 1/2 = 5/6.
2) Парабола пересекает Ox в точках x = ±2; прямая — в точке x = −2. Точки пересечения параболы и прямой: 4 − x² = x + 2 ⇔ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1 (точка (1; 3)). Фигура: на [−2; 1] ограничена сверху прямой, на [1; 2] — параболой.
S = ∫_{−2}^1 (x + 2) dx + ∫_1^2 (4 − x²) dx = (x²/2 + 2x) |_{−2}^1 + (4x − x³/3) |_1^2 = 9/2 + 5/3 = 37/6 = 6 1/6.
3) Парабола пересекает Ox в точках 0 и 4; 4x − x² = 4 − x ⇔ x² − 5x + 4 = 0, x = 1 и x = 4. Фигура: на [0; 1] ограничена сверху параболой, на [1; 4] — прямой y = 4 − x (она ниже параболы).
S = ∫_0^1 (4x − x²) dx + ∫_1^4 (4 − x) dx = (2x² − x³/3) |_0^1 + (4x − x²/2) |_1^4 = 5/3 + 9/2 = 37/6 = 6 1/6.
4) Прямая пересекает Ox в точке x = −3; 3x² = 1,5x + 4,5 ⇔ 2x² − x − 3 = 0, x = −1 и x = 1,5. Фигура, примыкающая к оси Ox, лежит на [−3; 0]: на [−3; −1] ограничена сверху прямой, на [−1; 0] — параболой.
S = ∫_{−3}^{−1} (1,5x + 4,5) dx + ∫_{−1}^0 3x² dx = (0,75x² + 4,5x) |_{−3}^{−1} + x³ |_{−1}^0 = 3 + 1 = 4.
Ответ: 1) 5/6; 2) 37/6; 3) 37/6; 4) 4.
S = ∫_{−1}^0 (x + 1)² dx + ∫_0^1 (1 − x) dx = (x + 1)³/3 |_{−1}^0 + (x − x²/2) |_0^1 = 1/3 + 1/2 = 5/6.
2) Парабола пересекает Ox в точках x = ±2; прямая — в точке x = −2. Точки пересечения параболы и прямой: 4 − x² = x + 2 ⇔ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1 (точка (1; 3)). Фигура: на [−2; 1] ограничена сверху прямой, на [1; 2] — параболой.
S = ∫_{−2}^1 (x + 2) dx + ∫_1^2 (4 − x²) dx = (x²/2 + 2x) |_{−2}^1 + (4x − x³/3) |_1^2 = 9/2 + 5/3 = 37/6 = 6 1/6.
3) Парабола пересекает Ox в точках 0 и 4; 4x − x² = 4 − x ⇔ x² − 5x + 4 = 0, x = 1 и x = 4. Фигура: на [0; 1] ограничена сверху параболой, на [1; 4] — прямой y = 4 − x (она ниже параболы).
S = ∫_0^1 (4x − x²) dx + ∫_1^4 (4 − x) dx = (2x² − x³/3) |_0^1 + (4x − x²/2) |_1^4 = 5/3 + 9/2 = 37/6 = 6 1/6.
4) Прямая пересекает Ox в точке x = −3; 3x² = 1,5x + 4,5 ⇔ 2x² − x − 3 = 0, x = −1 и x = 1,5. Фигура, примыкающая к оси Ox, лежит на [−3; 0]: на [−3; −1] ограничена сверху прямой, на [−1; 0] — параболой.
S = ∫_{−3}^{−1} (1,5x + 4,5) dx + ∫_{−1}^0 3x² dx = (0,75x² + 4,5x) |_{−3}^{−1} + x³ |_{−1}^0 = 3 + 1 = 4.
Ответ: 1) 5/6; 2) 37/6; 3) 37/6; 4) 4.
1015. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) графиками функций y = √x, y = (x − 2)² и осью Ox;
2) графиками функций y = x³, y = 2x − x² и осью Ox.
1) графиками функций y = √x, y = (x − 2)² и осью Ox;
2) графиками функций y = x³, y = 2x − x² и осью Ox.
1) Графики √x и (x − 2)² пересекаются в точке (1; 1): √1 = 1 = (1 − 2)². Парабола (x − 2)² касается оси Ox в точке x = 2. Фигура: на [0; 1] ограничена сверху графиком y = √x, на [1; 2] — параболой.
S = ∫_0^1 √x dx + ∫_1^2 (x − 2)² dx = (2/3)x√x |_0^1 + (x − 2)³/3 |_1^2 = 2/3 + 1/3 = 1.
2) x³ = 2x − x² ⇔ x(x² + x − 2) = 0 ⇔ x = 0, 1, −2; нужная точка пересечения — (1; 1). Парабола 2x − x² пересекает Ox в точках 0 и 2. Фигура: на [0; 1] ограничена сверху кубической параболой, на [1; 2] — параболой y = 2x − x².
S = ∫_0^1 x³ dx + ∫_1^2 (2x − x²) dx = x⁴/4 |_0^1 + (x² − x³/3) |_1^2 = 1/4 + (4/3 − 2/3) = 1/4 + 2/3 = 11/12.
Ответ: 1) 1; 2) 11/12.
S = ∫_0^1 √x dx + ∫_1^2 (x − 2)² dx = (2/3)x√x |_0^1 + (x − 2)³/3 |_1^2 = 2/3 + 1/3 = 1.
2) x³ = 2x − x² ⇔ x(x² + x − 2) = 0 ⇔ x = 0, 1, −2; нужная точка пересечения — (1; 1). Парабола 2x − x² пересекает Ox в точках 0 и 2. Фигура: на [0; 1] ограничена сверху кубической параболой, на [1; 2] — параболой y = 2x − x².
S = ∫_0^1 x³ dx + ∫_1^2 (2x − x²) dx = x⁴/4 |_0^1 + (x² − x³/3) |_1^2 = 1/4 + (4/3 − 2/3) = 1/4 + 2/3 = 11/12.
Ответ: 1) 1; 2) 11/12.
1016. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = x² + 3x и осью Ox;
2) параболой y = x² − 4x + 3 и осью Ox.
1) параболой y = x² + 3x и осью Ox;
2) параболой y = x² − 4x + 3 и осью Ox.
1) x² + 3x = 0 при x = −3 и x = 0. На (−3; 0) парабола лежит ниже оси Ox, поэтому S = ∫_{−3}^0 (0 − (x² + 3x)) dx = −(x³/3 + 3x²/2) |_{−3}^0 = −(0 − (−9 + 27/2)) = 9/2 = 4,5.
2) x² − 4x + 3 = 0 при x = 1 и x = 3. На (1; 3) парабола ниже оси Ox, поэтому S = ∫_1^3 (−x² + 4x − 3) dx = (−x³/3 + 2x² − 3x) |_1^3 = (−9 + 18 − 9) − (−1/3 + 2 − 3) = 0 + 4/3 = 4/3.
Ответ: 1) 9/2; 2) 4/3.
2) x² − 4x + 3 = 0 при x = 1 и x = 3. На (1; 3) парабола ниже оси Ox, поэтому S = ∫_1^3 (−x² + 4x − 3) dx = (−x³/3 + 2x² − 3x) |_1^3 = (−9 + 18 − 9) − (−1/3 + 2 − 3) = 0 + 4/3 = 4/3.
Ответ: 1) 9/2; 2) 4/3.
1017. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = x² + 1 и прямой y = 3 − x;
2) параболой y = (x + 2)² и прямой y = x + 2;
3) графиком функции y = √x и прямой y = x.
1) параболой y = x² + 1 и прямой y = 3 − x;
2) параболой y = (x + 2)² и прямой y = x + 2;
3) графиком функции y = √x и прямой y = x.
1) x² + 1 = 3 − x ⇔ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1. На [−2; 1] прямая лежит выше параболы (при x = 0: 3 > 1).
S = ∫_{−2}^1 ((3 − x) − (x² + 1)) dx = ∫_{−2}^1 (2 − x − x²) dx = (2x − x²/2 − x³/3) |_{−2}^1 = 7/6 − (−10/3) = 27/6 = 9/2.
2) (x + 2)² = x + 2 ⇔ (x + 2)(x + 1) = 0, x = −2 и x = −1. На [−2; −1] прямая выше параболы (при x = −1,5: 0,5 > 0,25).
S = ∫_{−2}^{−1} ((x + 2) − (x + 2)²) dx. Замена t = x + 2: S = ∫_0^1 (t − t²) dt = (t²/2 − t³/3) |_0^1 = 1/2 − 1/3 = 1/6.
3) √x = x ⇔ x = 0 или x = 1. На [0; 1] √x ≥ x.
S = ∫_0^1 (√x − x) dx = ((2/3)x√x − x²/2) |_0^1 = 2/3 − 1/2 = 1/6.
Ответ: 1) 9/2; 2) 1/6; 3) 1/6.
S = ∫_{−2}^1 ((3 − x) − (x² + 1)) dx = ∫_{−2}^1 (2 − x − x²) dx = (2x − x²/2 − x³/3) |_{−2}^1 = 7/6 − (−10/3) = 27/6 = 9/2.
2) (x + 2)² = x + 2 ⇔ (x + 2)(x + 1) = 0, x = −2 и x = −1. На [−2; −1] прямая выше параболы (при x = −1,5: 0,5 > 0,25).
S = ∫_{−2}^{−1} ((x + 2) − (x + 2)²) dx. Замена t = x + 2: S = ∫_0^1 (t − t²) dt = (t²/2 − t³/3) |_0^1 = 1/2 − 1/3 = 1/6.
3) √x = x ⇔ x = 0 или x = 1. На [0; 1] √x ≥ x.
S = ∫_0^1 (√x − x) dx = ((2/3)x√x − x²/2) |_0^1 = 2/3 − 1/2 = 1/6.
Ответ: 1) 9/2; 2) 1/6; 3) 1/6.
1018. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболами y = 6x², y = (x − 3)(x − 4) и осью Ox;
2) параболами y = 4 − x², y = (x − 2)² и осью Ox.
1) параболами y = 6x², y = (x − 3)(x − 4) и осью Ox;
2) параболами y = 4 − x², y = (x − 2)² и осью Ox.
1) Парабола y = (x − 3)(x − 4) = x² − 7x + 12 пересекает Ox в точках 3 и 4. Точки пересечения парабол: 6x² = x² − 7x + 12 ⇔ 5x² + 7x − 12 = 0, x = 1 и x = −12/5; нужная — x = 1 (точка (1; 6)). Фигура: на [0; 1] ограничена сверху параболой y = 6x², на [1; 3] — параболой y = x² − 7x + 12.
S = ∫_0^1 6x² dx + ∫_1^3 (x² − 7x + 12) dx = 2x³ |_0^1 + (x³/3 − 7x²/2 + 12x) |_1^3 = 2 + (27/2 − 53/6) = 2 + 14/3 = 20/3.
(Проверка: F(3) = 9 − 31,5 + 36 = 13,5; F(1) = 1/3 − 3,5 + 12 = 53/6; 13,5 − 53/6 = 28/6 = 14/3.)
2) 4 − x² = (x − 2)² ⇔ 2x² − 4x = 0, x = 0 и x = 2; точка пересечения парабол (0; 4). Парабола 4 − x² пересекает Ox в точках ±2, парабола (x − 2)² касается Ox в точке 2. Фигура: на [−2; 0] ограничена сверху параболой y = 4 − x², на [0; 2] — параболой y = (x − 2)².
S = ∫_{−2}^0 (4 − x²) dx + ∫_0^2 (x − 2)² dx = (4x − x³/3) |_{−2}^0 + (x − 2)³/3 |_0^2 = 16/3 + 8/3 = 8.
Ответ: 1) 20/3; 2) 8.
S = ∫_0^1 6x² dx + ∫_1^3 (x² − 7x + 12) dx = 2x³ |_0^1 + (x³/3 − 7x²/2 + 12x) |_1^3 = 2 + (27/2 − 53/6) = 2 + 14/3 = 20/3.
(Проверка: F(3) = 9 − 31,5 + 36 = 13,5; F(1) = 1/3 − 3,5 + 12 = 53/6; 13,5 − 53/6 = 28/6 = 14/3.)
2) 4 − x² = (x − 2)² ⇔ 2x² − 4x = 0, x = 0 и x = 2; точка пересечения парабол (0; 4). Парабола 4 − x² пересекает Ox в точках ±2, парабола (x − 2)² касается Ox в точке 2. Фигура: на [−2; 0] ограничена сверху параболой y = 4 − x², на [0; 2] — параболой y = (x − 2)².
S = ∫_{−2}^0 (4 − x²) dx + ∫_0^2 (x − 2)² dx = (4x − x³/3) |_{−2}^0 + (x − 2)³/3 |_0^2 = 16/3 + 8/3 = 8.
Ответ: 1) 20/3; 2) 8.