Глава X. § 57. Вычисление интегралов — с. 303
1004. Вычислить интеграл:
1) ∫_0^1 x dx;
2) ∫_0^3 x² dx;
3) ∫_{−1}^2 3x² dx;
4) ∫_{−2}^3 2x dx;
5) ∫_2^3 (1/x²) dx;
6) ∫_1^2 (1/x³) dx;
7) ∫_1^4 √x dx;
8) ∫_4^9 (1/√x) dx.
1) ∫_0^1 x dx;
2) ∫_0^3 x² dx;
3) ∫_{−1}^2 3x² dx;
4) ∫_{−2}^3 2x dx;
5) ∫_2^3 (1/x²) dx;
6) ∫_1^2 (1/x³) dx;
7) ∫_1^4 √x dx;
8) ∫_4^9 (1/√x) dx.
Применяем формулу Ньютона — Лейбница: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), где F — первообразная f.
1) F(x) = x²/2. Интеграл = 1/2 − 0 = 1/2.
2) F(x) = x³/3. Интеграл = 27/3 − 0 = 9.
3) F(x) = x³. Интеграл = 8 − (−1) = 9.
4) F(x) = x². Интеграл = 9 − 4 = 5.
5) 1/x² = x^(−2), F(x) = −1/x. Интеграл = −1/3 + 1/2 = 1/6.
6) 1/x³ = x^(−3), F(x) = −1/(2x²). Интеграл = −1/8 + 1/2 = 3/8.
7) √x = x^(1/2), F(x) = (2/3)x√x. Интеграл = (2/3)·8 − (2/3)·1 = 14/3.
8) 1/√x = x^(−1/2), F(x) = 2√x. Интеграл = 2·3 − 2·2 = 2.
Ответ: 1) 1/2; 2) 9; 3) 9; 4) 5; 5) 1/6; 6) 3/8; 7) 14/3; 8) 2.
1) F(x) = x²/2. Интеграл = 1/2 − 0 = 1/2.
2) F(x) = x³/3. Интеграл = 27/3 − 0 = 9.
3) F(x) = x³. Интеграл = 8 − (−1) = 9.
4) F(x) = x². Интеграл = 9 − 4 = 5.
5) 1/x² = x^(−2), F(x) = −1/x. Интеграл = −1/3 + 1/2 = 1/6.
6) 1/x³ = x^(−3), F(x) = −1/(2x²). Интеграл = −1/8 + 1/2 = 3/8.
7) √x = x^(1/2), F(x) = (2/3)x√x. Интеграл = (2/3)·8 − (2/3)·1 = 14/3.
8) 1/√x = x^(−1/2), F(x) = 2√x. Интеграл = 2·3 − 2·2 = 2.
Ответ: 1) 1/2; 2) 9; 3) 9; 4) 5; 5) 1/6; 6) 3/8; 7) 14/3; 8) 2.
1005. Вычислить интеграл:
1) ∫_1^e (1/x) dx;
2) ∫_0^{ln 2} e^x dx;
3) ∫_{−π}^{2π} cos x dx;
4) ∫_{−2π}^π sin x dx;
5) ∫_{−2π}^π sin 2x dx;
6) ∫_{−3π}^0 cos 3x dx.
1) ∫_1^e (1/x) dx;
2) ∫_0^{ln 2} e^x dx;
3) ∫_{−π}^{2π} cos x dx;
4) ∫_{−2π}^π sin x dx;
5) ∫_{−2π}^π sin 2x dx;
6) ∫_{−3π}^0 cos 3x dx.
1) F(x) = ln x. Интеграл = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
2) F(x) = e^x. Интеграл = e^(ln 2) − e^0 = 2 − 1 = 1.
3) F(x) = sin x. Интеграл = sin 2π − sin(−π) = 0 − 0 = 0.
4) F(x) = −cos x. Интеграл = −cos π + cos(−2π) = 1 + 1 = 2.
5) F(x) = −(cos 2x)/2. Интеграл = −(cos 2π)/2 + (cos(−4π))/2 = −1/2 + 1/2 = 0.
6) F(x) = (sin 3x)/3. Интеграл = (sin 0)/3 − (sin(−9π))/3 = 0 − 0 = 0.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 2; 5) 0; 6) 0.
2) F(x) = e^x. Интеграл = e^(ln 2) − e^0 = 2 − 1 = 1.
3) F(x) = sin x. Интеграл = sin 2π − sin(−π) = 0 − 0 = 0.
4) F(x) = −cos x. Интеграл = −cos π + cos(−2π) = 1 + 1 = 2.
5) F(x) = −(cos 2x)/2. Интеграл = −(cos 2π)/2 + (cos(−4π))/2 = −1/2 + 1/2 = 0.
6) F(x) = (sin 3x)/3. Интеграл = (sin 0)/3 − (sin(−9π))/3 = 0 − 0 = 0.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 2; 5) 0; 6) 0.
1006. Вычислить интеграл:
1) ∫_{−3}^2 (2x − 3) dx;
2) ∫_{−2}^{−1} (5 − 4x) dx;
3) ∫_{−1}^2 (1 − 3x²) dx;
4) ∫_{−1}^1 (x² + 1) dx;
5) ∫_0^2 (3x² − 4x + 5) dx.
1) ∫_{−3}^2 (2x − 3) dx;
2) ∫_{−2}^{−1} (5 − 4x) dx;
3) ∫_{−1}^2 (1 − 3x²) dx;
4) ∫_{−1}^1 (x² + 1) dx;
5) ∫_0^2 (3x² − 4x + 5) dx.
1) F(x) = x² − 3x. F(2) = 4 − 6 = −2; F(−3) = 9 + 9 = 18. Интеграл = −2 − 18 = −20.
2) F(x) = 5x − 2x². F(−1) = −5 − 2 = −7; F(−2) = −10 − 8 = −18. Интеграл = −7 + 18 = 11.
3) F(x) = x − x³. F(2) = 2 − 8 = −6; F(−1) = −1 + 1 = 0. Интеграл = −6.
4) F(x) = x³/3 + x. F(1) = 1/3 + 1 = 4/3; F(−1) = −4/3. Интеграл = 8/3.
5) F(x) = x³ − 2x² + 5x. F(2) = 8 − 8 + 10 = 10; F(0) = 0. Интеграл = 10.
Ответ: 1) −20; 2) 11; 3) −6; 4) 8/3; 5) 10.
2) F(x) = 5x − 2x². F(−1) = −5 − 2 = −7; F(−2) = −10 − 8 = −18. Интеграл = −7 + 18 = 11.
3) F(x) = x − x³. F(2) = 2 − 8 = −6; F(−1) = −1 + 1 = 0. Интеграл = −6.
4) F(x) = x³/3 + x. F(1) = 1/3 + 1 = 4/3; F(−1) = −4/3. Интеграл = 8/3.
5) F(x) = x³ − 2x² + 5x. F(2) = 8 − 8 + 10 = 10; F(0) = 0. Интеграл = 10.
Ответ: 1) −20; 2) 11; 3) −6; 4) 8/3; 5) 10.
1007. Вычислить интеграл:
1) ∫_0^4 (x − 3√x) dx;
2) ∫_1^9 (2x − 3/√x) dx;
3) ∫_0^2 e^(3x) dx;
4) ∫_1^3 2e^(2x) dx.
1) ∫_0^4 (x − 3√x) dx;
2) ∫_1^9 (2x − 3/√x) dx;
3) ∫_0^2 e^(3x) dx;
4) ∫_1^3 2e^(2x) dx.
1) F(x) = x²/2 − 2x√x (так как первообразная √x равна (2/3)x√x). F(4) = 8 − 16 = −8; F(0) = 0. Интеграл = −8.
2) F(x) = x² − 6√x. F(9) = 81 − 18 = 63; F(1) = 1 − 6 = −5. Интеграл = 63 + 5 = 68.
3) F(x) = e^(3x)/3. Интеграл = (e⁶ − 1)/3.
4) F(x) = e^(2x). Интеграл = e⁶ − e².
Ответ: 1) −8; 2) 68; 3. (e⁶ − 1)/3; 4) e⁶ − e².
2) F(x) = x² − 6√x. F(9) = 81 − 18 = 63; F(1) = 1 − 6 = −5. Интеграл = 63 + 5 = 68.
3) F(x) = e^(3x)/3. Интеграл = (e⁶ − 1)/3.
4) F(x) = e^(2x). Интеграл = e⁶ − e².
Ответ: 1) −8; 2) 68; 3. (e⁶ − 1)/3; 4) e⁶ − e².