Глава X. § 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл — с. 301
1000. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x):
1) a = 2, b = 4, f(x) = x³;
2) a = 3, b = 4, f(x) = x²;
3) a = −2, b = 1, f(x) = x² + 1;
4) a = 0, b = 2, f(x) = x³ + 1;
5) a = π/3, b = 2π/3, f(x) = sin x;
6) a = −π/6, b = 0, f(x) = cos x.
1) a = 2, b = 4, f(x) = x³;
2) a = 3, b = 4, f(x) = x²;
3) a = −2, b = 1, f(x) = x² + 1;
4) a = 0, b = 2, f(x) = x³ + 1;
5) a = π/3, b = 2π/3, f(x) = sin x;
6) a = −π/6, b = 0, f(x) = cos x.
Во всех пунктах f(x) ≥ 0 на [a; b], поэтому S = ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
1) F(x) = x^4/4. S = (4^4 − 2^4)/4 = (256 − 16)/4 = 60 (кв. ед.).
2) F(x) = x³/3. S = (4³ − 3³)/3 = (64 − 27)/3 = 37/3 = 12 1/3 (кв. ед.).
3) F(x) = x³/3 + x. F(1) = 1/3 + 1 = 4/3; F(−2) = −8/3 − 2 = −14/3. S = 4/3 + 14/3 = 6 (кв. ед.).
4) F(x) = x^4/4 + x. F(2) = 4 + 2 = 6; F(0) = 0. S = 6 (кв. ед.).
5) F(x) = −cos x. S = −cos (2π/3) + cos (π/3) = 1/2 + 1/2 = 1 (кв. ед.).
6) F(x) = sin x. S = sin 0 − sin (−π/6) = 0 + 1/2 = 1/2 (кв. ед.).
1) F(x) = x^4/4. S = (4^4 − 2^4)/4 = (256 − 16)/4 = 60 (кв. ед.).
2) F(x) = x³/3. S = (4³ − 3³)/3 = (64 − 27)/3 = 37/3 = 12 1/3 (кв. ед.).
3) F(x) = x³/3 + x. F(1) = 1/3 + 1 = 4/3; F(−2) = −8/3 − 2 = −14/3. S = 4/3 + 14/3 = 6 (кв. ед.).
4) F(x) = x^4/4 + x. F(2) = 4 + 2 = 6; F(0) = 0. S = 6 (кв. ед.).
5) F(x) = −cos x. S = −cos (2π/3) + cos (π/3) = 1/2 + 1/2 = 1 (кв. ед.).
6) F(x) = sin x. S = sin 0 − sin (−π/6) = 0 + 1/2 = 1/2 (кв. ед.).
1001. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox и параболой:
1) y = 4 − x²;
2) y = 1 − x²;
3) y = −x² + 4x − 3.
1) y = 4 − x²;
2) y = 1 − x²;
3) y = −x² + 4x − 3.
Находим точки пересечения параболы с осью Ox; между ними ветви параболы (направленные вниз) лежат над осью, поэтому S = ∫ f(x) dx по отрезку между корнями.
1) 4 − x² = 0, x = ±2. F(x) = 4x − x³/3. S = F(2) − F(−2) = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3 = 10 2/3 (кв. ед.).
2) 1 − x² = 0, x = ±1. F(x) = x − x³/3. S = F(1) − F(−1) = 2/3 − (−2/3) = 4/3 = 1 1/3 (кв. ед.).
3) −x² + 4x − 3 = 0 ⇔ x² − 4x + 3 = 0, x = 1 или x = 3. F(x) = −x³/3 + 2x² − 3x. F(3) = −9 + 18 − 9 = 0; F(1) = −1/3 + 2 − 3 = −4/3. S = 0 + 4/3 = 4/3 = 1 1/3 (кв. ед.).
1) 4 − x² = 0, x = ±2. F(x) = 4x − x³/3. S = F(2) − F(−2) = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3 = 10 2/3 (кв. ед.).
2) 1 − x² = 0, x = ±1. F(x) = x − x³/3. S = F(1) − F(−1) = 2/3 − (−2/3) = 4/3 = 1 1/3 (кв. ед.).
3) −x² + 4x − 3 = 0 ⇔ x² − 4x + 3 = 0, x = 1 или x = 3. F(x) = −x³/3 + 2x² − 3x. F(3) = −9 + 18 − 9 = 0; F(1) = −1/3 + 2 − 3 = −4/3. S = 0 + 4/3 = 4/3 = 1 1/3 (кв. ед.).
1002. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x):
1) a = 1, b = 8, f(x) = ∛x;
2) a = 4, b = 9, f(x) = √x.
1) a = 1, b = 8, f(x) = ∛x;
2) a = 4, b = 9, f(x) = √x.
На заданных отрезках f(x) > 0, поэтому S = F(b) − F(a).
1) F(x) = (3/4)x^(4/3). S = (3/4)(8^(4/3) − 1) = (3/4)(16 − 1) = 45/4 = 11,25 (кв. ед.).
2) F(x) = (2/3)x^(3/2). S = (2/3)(9^(3/2) − 4^(3/2)) = (2/3)(27 − 8) = 38/3 = 12 2/3 (кв. ед.).
1) F(x) = (3/4)x^(4/3). S = (3/4)(8^(4/3) − 1) = (3/4)(16 − 1) = 45/4 = 11,25 (кв. ед.).
2) F(x) = (2/3)x^(3/2). S = (2/3)(9^(3/2) − 4^(3/2)) = (2/3)(27 − 8) = 38/3 = 12 2/3 (кв. ед.).
1003. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x):
1) b = 2, f(x) = 5x − x², 2 ≤ x ≤ 5;
2) b = 3, f(x) = x² + 2x;
3) b = 1, f(x) = e^x − 1;
4) b = 2, f(x) = 1 − 1/x.
1) b = 2, f(x) = 5x − x², 2 ≤ x ≤ 5;
2) b = 3, f(x) = x² + 2x;
3) b = 1, f(x) = e^x − 1;
4) b = 2, f(x) = 1 − 1/x.
Вторую границу фигуры задаёт точка пересечения графика с осью Ox.
1) По условию 2 ≤ x ≤ 5: слева прямая x = 2, справа график пересекает ось Ox в точке x = 5 (5x − x² = x(5 − x)). На [2; 5] функция неотрицательна. F(x) = 5x²/2 − x³/3. F(5) = 125/2 − 125/3 = 125/6; F(2) = 10 − 8/3 = 22/3 = 44/6. S = 125/6 − 44/6 = 81/6 = 27/2 = 13,5 (кв. ед.).
2) x² + 2x = 0 при x = 0 (и x = −2), на [0; 3] функция положительна. F(x) = x³/3 + x². S = F(3) − F(0) = 9 + 9 = 18 (кв. ед.).
3) e^x − 1 = 0 при x = 0; на [0; 1] функция неотрицательна. F(x) = e^x − x. S = (e − 1) − (1 − 0) = e − 2 (кв. ед.).
4) 1 − 1/x = 0 при x = 1; на [1; 2] функция неотрицательна. F(x) = x − ln x. S = (2 − ln 2) − (1 − 0) = 1 − ln 2 (кв. ед.).
Оговорка: в пункте 1 условие «2 ≤ x ≤ 5» понято как отрезок, на котором рассматривается фигура.
1) По условию 2 ≤ x ≤ 5: слева прямая x = 2, справа график пересекает ось Ox в точке x = 5 (5x − x² = x(5 − x)). На [2; 5] функция неотрицательна. F(x) = 5x²/2 − x³/3. F(5) = 125/2 − 125/3 = 125/6; F(2) = 10 − 8/3 = 22/3 = 44/6. S = 125/6 − 44/6 = 81/6 = 27/2 = 13,5 (кв. ед.).
2) x² + 2x = 0 при x = 0 (и x = −2), на [0; 3] функция положительна. F(x) = x³/3 + x². S = F(3) − F(0) = 9 + 9 = 18 (кв. ед.).
3) e^x − 1 = 0 при x = 0; на [0; 1] функция неотрицательна. F(x) = e^x − x. S = (e − 1) − (1 − 0) = e − 2 (кв. ед.).
4) 1 − 1/x = 0 при x = 1; на [1; 2] функция неотрицательна. F(x) = x − ln x. S = (2 − ln 2) − (1 − 0) = 1 − ln 2 (кв. ед.).
Оговорка: в пункте 1 условие «2 ≤ x ≤ 5» понято как отрезок, на котором рассматривается фигура.