Глава X. § 57. Вычисление интегралов; § 58. Вычисление площадей с помощью интегралов — с. 304
1008. Вычислить интеграл:
1) ∫_{−2}^1 x(x + 3)(2x − 1) dx;
2) ∫_{−1}^0 (x + 1)(x² − 2) dx;
3) ∫_1^2 (x + 1/x)² dx;
4) ∫_{−2}^{−1} (4/x²)(1 − 2/x) dx.
1) ∫_{−2}^1 x(x + 3)(2x − 1) dx;
2) ∫_{−1}^0 (x + 1)(x² − 2) dx;
3) ∫_1^2 (x + 1/x)² dx;
4) ∫_{−2}^{−1} (4/x²)(1 − 2/x) dx.
1) Раскроем скобки: x(x + 3)(2x − 1) = x(2x² + 5x − 3) = 2x³ + 5x² − 3x. F(x) = x⁴/2 + 5x³/3 − 3x²/2. F(1) = 1/2 + 5/3 − 3/2 = 2/3; F(−2) = 8 − 40/3 − 6 = −34/3. Интеграл = 2/3 + 34/3 = 12.
2) (x + 1)(x² − 2) = x³ + x² − 2x − 2. F(x) = x⁴/4 + x³/3 − x² − 2x. F(0) = 0; F(−1) = 1/4 − 1/3 − 1 + 2 = 11/12. Интеграл = 0 − 11/12 = −11/12.
3) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². F(x) = x³/3 + 2x − 1/x. F(2) = 8/3 + 4 − 1/2 = 37/6; F(1) = 1/3 + 2 − 1 = 4/3. Интеграл = 37/6 − 8/6 = 29/6.
4) (4/x²)(1 − 2/x) = 4x^(−2) − 8x^(−3). F(x) = −4/x + 4/x². F(−1) = 4 + 4 = 8; F(−2) = 2 + 1 = 3. Интеграл = 8 − 3 = 5.
Ответ: 1) 12; 2) −11/12; 3) 29/6; 4) 5.
2) (x + 1)(x² − 2) = x³ + x² − 2x − 2. F(x) = x⁴/4 + x³/3 − x² − 2x. F(0) = 0; F(−1) = 1/4 − 1/3 − 1 + 2 = 11/12. Интеграл = 0 − 11/12 = −11/12.
3) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². F(x) = x³/3 + 2x − 1/x. F(2) = 8/3 + 4 − 1/2 = 37/6; F(1) = 1/3 + 2 − 1 = 4/3. Интеграл = 37/6 − 8/6 = 29/6.
4) (4/x²)(1 − 2/x) = 4x^(−2) − 8x^(−3). F(x) = −4/x + 4/x². F(−1) = 4 + 4 = 8; F(−2) = 2 + 1 = 3. Интеграл = 8 − 3 = 5.
Ответ: 1) 12; 2) −11/12; 3) 29/6; 4) 5.
1009. Вычислить интеграл:
1) ∫_1^2 (5x − 2)/∛x dx;
2) ∫_1^3 (3x − 1)/√x dx;
3) ∫_2^7 4/√(x + 2) dx.
1) ∫_1^2 (5x − 2)/∛x dx;
2) ∫_1^3 (3x − 1)/√x dx;
3) ∫_2^7 4/√(x + 2) dx.
1) (5x − 2)/x^(1/3) = 5x^(2/3) − 2x^(−1/3). F(x) = 3x^(5/3) − 3x^(2/3). F(2) = 3·2^(2/3)(2 − 1) = 3∛4; F(1) = 3 − 3 = 0. Интеграл = 3∛4.
2) (3x − 1)/√x = 3x^(1/2) − x^(−1/2). F(x) = 2x√x − 2√x. F(3) = 6√3 − 2√3 = 4√3; F(1) = 0. Интеграл = 4√3.
3) 4/√(x + 2) = 4(x + 2)^(−1/2). F(x) = 8√(x + 2). F(7) = 24; F(2) = 16. Интеграл = 8.
Ответ: 1) 3∛4; 2) 4√3; 3) 8.
2) (3x − 1)/√x = 3x^(1/2) − x^(−1/2). F(x) = 2x√x − 2√x. F(3) = 6√3 − 2√3 = 4√3; F(1) = 0. Интеграл = 4√3.
3) 4/√(x + 2) = 4(x + 2)^(−1/2). F(x) = 8√(x + 2). F(7) = 24; F(2) = 16. Интеграл = 8.
Ответ: 1) 3∛4; 2) 4√3; 3) 8.
1010. Вычислить интеграл:
1) ∫_1^2 3/(2x − 1) dx;
2) ∫_0^1 4/(3x + 2) dx;
3) ∫_0^{π/2} sin(2x + π/3) dx.
1) ∫_1^2 3/(2x − 1) dx;
2) ∫_0^1 4/(3x + 2) dx;
3) ∫_0^{π/2} sin(2x + π/3) dx.
1) F(x) = (3/2)·ln(2x − 1). Интеграл = (3/2)(ln 3 − ln 1) = (3/2)ln 3.
2) F(x) = (4/3)·ln(3x + 2). Интеграл = (4/3)(ln 5 − ln 2) = (4/3)ln 2,5.
3) F(x) = −(1/2)cos(2x + π/3). F(π/2) = −(1/2)cos(4π/3) = −(1/2)(−1/2) = 1/4; F(0) = −(1/2)cos(π/3) = −1/4. Интеграл = 1/4 + 1/4 = 1/2.
Ответ: 1. (3/2)ln 3; 2. (4/3)ln 2,5; 3) 1/2.
2) F(x) = (4/3)·ln(3x + 2). Интеграл = (4/3)(ln 5 − ln 2) = (4/3)ln 2,5.
3) F(x) = −(1/2)cos(2x + π/3). F(π/2) = −(1/2)cos(4π/3) = −(1/2)(−1/2) = 1/4; F(0) = −(1/2)cos(π/3) = −1/4. Интеграл = 1/4 + 1/4 = 1/2.
Ответ: 1. (3/2)ln 3; 2. (4/3)ln 2,5; 3) 1/2.
1011. Вычислить интеграл:
1) ∫_{−π}^π sin² x dx;
2) ∫_0^{π/2} sin x cos x dx;
3) ∫_0^{π/4} (cos² x − sin² x) dx;
4) ∫_0^π (sin⁴ x + cos⁴ x) dx;
5) ∫_0^3 x² √(x + 1) dx;
6) ∫_3^4 (x² − 4x + 5)/(x − 2) dx.
1) ∫_{−π}^π sin² x dx;
2) ∫_0^{π/2} sin x cos x dx;
3) ∫_0^{π/4} (cos² x − sin² x) dx;
4) ∫_0^π (sin⁴ x + cos⁴ x) dx;
5) ∫_0^3 x² √(x + 1) dx;
6) ∫_3^4 (x² − 4x + 5)/(x − 2) dx.
1) sin² x = (1 − cos 2x)/2, F(x) = x/2 − (sin 2x)/4. F(π) = π/2; F(−π) = −π/2. Интеграл = π.
2) sin x cos x = (sin 2x)/2, F(x) = −(cos 2x)/4. F(π/2) = 1/4; F(0) = −1/4. Интеграл = 1/2.
3) cos² x − sin² x = cos 2x, F(x) = (sin 2x)/2. F(π/4) = 1/2; F(0) = 0. Интеграл = 1/2.
4) sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² − 2sin² x cos² x = 1 − (sin² 2x)/2 = 1 − (1 − cos 4x)/4 = 3/4 + (cos 4x)/4. F(x) = 3x/4 + (sin 4x)/16. F(π) = 3π/4, F(0) = 0. Интеграл = 3π/4.
5) Запишем x² = ((x + 1) − 1)² = (x + 1)² − 2(x + 1) + 1. Тогда x²√(x + 1) = (x + 1)^(5/2) − 2(x + 1)^(3/2) + (x + 1)^(1/2). F(x) = (2/7)(x + 1)^(7/2) − (4/5)(x + 1)^(5/2) + (2/3)(x + 1)^(3/2). F(3) = (2/7)·128 − (4/5)·32 + (2/3)·8 = 256/7 − 128/5 + 16/3; F(0) = 2/7 − 4/5 + 2/3. Разность: 254/7 − 124/5 + 14/3 = (3810 − 2604 + 490)/105 = 1696/105 = 16 16/105.
6) Разделим числитель на x − 2: x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1, поэтому дробь равна (x − 2) + 1/(x − 2). F(x) = (x − 2)²/2 + ln|x − 2|. F(4) = 2 + ln 2; F(3) = 1/2 + 0. Интеграл = 3/2 + ln 2.
Ответ: 1) π; 2) 1/2; 3) 1/2; 4) 3π/4; 5) 1696/105 = 16 16/105; 6) 3/2 + ln 2.
2) sin x cos x = (sin 2x)/2, F(x) = −(cos 2x)/4. F(π/2) = 1/4; F(0) = −1/4. Интеграл = 1/2.
3) cos² x − sin² x = cos 2x, F(x) = (sin 2x)/2. F(π/4) = 1/2; F(0) = 0. Интеграл = 1/2.
4) sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² − 2sin² x cos² x = 1 − (sin² 2x)/2 = 1 − (1 − cos 4x)/4 = 3/4 + (cos 4x)/4. F(x) = 3x/4 + (sin 4x)/16. F(π) = 3π/4, F(0) = 0. Интеграл = 3π/4.
5) Запишем x² = ((x + 1) − 1)² = (x + 1)² − 2(x + 1) + 1. Тогда x²√(x + 1) = (x + 1)^(5/2) − 2(x + 1)^(3/2) + (x + 1)^(1/2). F(x) = (2/7)(x + 1)^(7/2) − (4/5)(x + 1)^(5/2) + (2/3)(x + 1)^(3/2). F(3) = (2/7)·128 − (4/5)·32 + (2/3)·8 = 256/7 − 128/5 + 16/3; F(0) = 2/7 − 4/5 + 2/3. Разность: 254/7 − 124/5 + 14/3 = (3810 − 2604 + 490)/105 = 1696/105 = 16 16/105.
6) Разделим числитель на x − 2: x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1, поэтому дробь равна (x − 2) + 1/(x − 2). F(x) = (x − 2)²/2 + ln|x − 2|. F(4) = 2 + ln 2; F(3) = 1/2 + 0. Интеграл = 3/2 + ln 2.
Ответ: 1) π; 2) 1/2; 3) 1/2; 4) 3π/4; 5) 1696/105 = 16 16/105; 6) 3/2 + ln 2.
1012. Найти все числа b > 1, для которых выполняется равенство ∫_1^b (b − 4x) dx ≥ 6 − 5b.
Здесь b — параметр, x — переменная интегрирования. ∫_1^b (b − 4x) dx = (bx − 2x²) |_1^b = (b² − 2b²) − (b − 2) = −b² − b + 2.
Неравенство: −b² − b + 2 ≥ 6 − 5b ⇔ −b² + 4b − 4 ≥ 0 ⇔ (b − 2)² ≤ 0 ⇔ b = 2.
Значение b = 2 удовлетворяет условию b > 1. (Проверка: ∫_1^2 (2 − 4x) dx = −4 и 6 − 10 = −4, равенство выполняется.)
Ответ: b = 2.
Неравенство: −b² − b + 2 ≥ 6 − 5b ⇔ −b² + 4b − 4 ≥ 0 ⇔ (b − 2)² ≤ 0 ⇔ b = 2.
Значение b = 2 удовлетворяет условию b > 1. (Проверка: ∫_1^2 (2 − 4x) dx = −4 и 6 − 10 = −4, равенство выполняется.)
Ответ: b = 2.