Глава X. § 58. Упражнения — с. 309
1019. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) графиком функции y = sin x, отрезком [0; π] оси Ox и прямой, проходящей через точки (0; 0) и (π/2; 1);
2) графиками функций y = sin x, y = cos x и отрезком [0; π/2] оси Ox.
1) графиком функции y = sin x, отрезком [0; π] оси Ox и прямой, проходящей через точки (0; 0) и (π/2; 1);
2) графиками функций y = sin x, y = cos x и отрезком [0; π/2] оси Ox.
1) Прямая через (0; 0) и (π/2; 1) задаётся уравнением y = 2x/π. Прямая проходит через вершину синусоиды (π/2; 1) и на [0; π/2] лежит не выше неё (sin x ≥ 2x/π, так как синусоида на этом отрезке выпукла вверх). Фигура ограничена слева-сверху прямой на [0; π/2], а справа-сверху синусоидой на [π/2; π].
S = ∫_0^{π/2} (2x/π) dx + ∫_{π/2}^π sin x dx = (x²/π) |_0^{π/2} + (−cos x) |_{π/2}^π = π/4 + (1 − 0) = π/4 + 1.
2) sin x = cos x при x = π/4. На [0; π/4] фигура ограничена сверху графиком sin x, на [π/4; π/2] — графиком cos x.
S = ∫_0^{π/4} sin x dx + ∫_{π/4}^{π/2} cos x dx = (−cos x) |_0^{π/4} + sin x |_{π/4}^{π/2} = (1 − √2/2) + (1 − √2/2) = 2 − √2.
Ответ: 1) π/4 + 1; 2) 2 − √2.
Оговорка: в первом пункте фигура понимается как область, примыкающая к отрезку [0; π] оси Ox и ограниченная слева прямой, а справа синусоидой; в ответах учебника этот пункт не приведён.
S = ∫_0^{π/2} (2x/π) dx + ∫_{π/2}^π sin x dx = (x²/π) |_0^{π/2} + (−cos x) |_{π/2}^π = π/4 + (1 − 0) = π/4 + 1.
2) sin x = cos x при x = π/4. На [0; π/4] фигура ограничена сверху графиком sin x, на [π/4; π/2] — графиком cos x.
S = ∫_0^{π/4} sin x dx + ∫_{π/4}^{π/2} cos x dx = (−cos x) |_0^{π/4} + sin x |_{π/4}^{π/2} = (1 − √2/2) + (1 − √2/2) = 2 − √2.
Ответ: 1) π/4 + 1; 2) 2 − √2.
Оговорка: в первом пункте фигура понимается как область, примыкающая к отрезку [0; π] оси Ox и ограниченная слева прямой, а справа синусоидой; в ответах учебника этот пункт не приведён.
1020. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = 6x − x² и прямой y = x + 4;
2) параболой y = 4 − x² и прямой y = x + 2.
1) параболой y = 6x − x² и прямой y = x + 4;
2) параболой y = 4 − x² и прямой y = x + 2.
1) 6x − x² = x + 4 ⇔ x² − 5x + 4 = 0, x = 1 и x = 4. На [1; 4] парабола лежит выше прямой (при x = 2: 8 > 6).
S = ∫_1^4 ((6x − x²) − (x + 4)) dx = ∫_1^4 (−x² + 5x − 4) dx = (−x³/3 + 5x²/2 − 4x) |_1^4 = 8/3 − (−11/6) = 27/6 = 9/2.
2) 4 − x² = x + 2 ⇔ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1. На [−2; 1] парабола выше прямой (при x = 0: 4 > 2).
S = ∫_{−2}^1 ((4 − x²) − (x + 2)) dx = ∫_{−2}^1 (2 − x − x²) dx = (2x − x²/2 − x³/3) |_{−2}^1 = 7/6 + 10/3 = 9/2.
Ответ: 1) 9/2; 2) 9/2.
S = ∫_1^4 ((6x − x²) − (x + 4)) dx = ∫_1^4 (−x² + 5x − 4) dx = (−x³/3 + 5x²/2 − 4x) |_1^4 = 8/3 − (−11/6) = 27/6 = 9/2.
2) 4 − x² = x + 2 ⇔ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1. На [−2; 1] парабола выше прямой (при x = 0: 4 > 2).
S = ∫_{−2}^1 ((4 − x²) − (x + 2)) dx = ∫_{−2}^1 (2 − x − x²) dx = (2x − x²/2 − x³/3) |_{−2}^1 = 7/6 + 10/3 = 9/2.
Ответ: 1) 9/2; 2) 9/2.
1021. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = 2 − x² и прямой y = −x;
2) прямой y = 1, осью Oy и графиком функции y = sin x при 0 ≤ x ≤ π/2.
1) параболой y = 2 − x² и прямой y = −x;
2) прямой y = 1, осью Oy и графиком функции y = sin x при 0 ≤ x ≤ π/2.
1) 2 − x² = −x ⇔ x² − x − 2 = 0, x = −1 и x = 2. На [−1; 2] парабола выше прямой (при x = 0: 2 > 0).
S = ∫_{−1}^2 (2 − x² + x) dx = (2x − x³/3 + x²/2) |_{−1}^2 = (4 − 8/3 + 2) − (−2 + 1/3 + 1/2) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2.
2) На [0; π/2] выполнено sin x ≤ 1; прямая y = 1 и синусоида касаются в точке (π/2; 1), а слева фигура ограничена осью Oy (x = 0).
S = ∫_0^{π/2} (1 − sin x) dx = (x + cos x) |_0^{π/2} = (π/2 + 0) − (0 + 1) = π/2 − 1.
Ответ: 1) 9/2; 2) π/2 − 1.
S = ∫_{−1}^2 (2 − x² + x) dx = (2x − x³/3 + x²/2) |_{−1}^2 = (4 − 8/3 + 2) − (−2 + 1/3 + 1/2) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2.
2) На [0; π/2] выполнено sin x ≤ 1; прямая y = 1 и синусоида касаются в точке (π/2; 1), а слева фигура ограничена осью Oy (x = 0).
S = ∫_0^{π/2} (1 − sin x) dx = (x + cos x) |_0^{π/2} = (π/2 + 0) − (0 + 1) = π/2 − 1.
Ответ: 1) 9/2; 2) π/2 − 1.
1022. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = −x² + 4x − 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; −3);
2) параболой y = −x² и прямой y = −2;
3) параболами y = 1 − x² и y = x² − 1;
4) графиком функции y = x³ и прямыми y = 1, x = −2.
1) параболой y = −x² + 4x − 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; −3);
2) параболой y = −x² и прямой y = −2;
3) параболами y = 1 − x² и y = x² − 1;
4) графиком функции y = x³ и прямыми y = 1, x = −2.
1) Прямая через (1; 0) и (0; −3): y = 3x − 3. Из −x² + 4x − 3 = 3x − 3 ⇔ x − x² = 0 получаем x = 0 и x = 1. На [0; 1] парабола выше прямой (при x = 0,5: −0,25 + 2 − 3 = −1,25 > −1,5).
S = ∫_0^1 (x − x²) dx = (x²/2 − x³/3) |_0^1 = 1/2 − 1/3 = 1/6.
2) −x² = −2 ⇔ x = ±√2. На [−√2; √2] парабола выше прямой.
S = ∫_{−√2}^{√2} (2 − x²) dx = 2∫_0^{√2} (2 − x²) dx = 2(2x − x³/3) |_0^{√2} = 2(2√2 − 2√2/3) = 8√2/3.
3) 1 − x² = x² − 1 ⇔ x² = 1, x = ±1. На [−1; 1] выше график y = 1 − x².
S = ∫_{−1}^1 (2 − 2x²) dx = 2(2x − 2x³/3)|_0^1 = 2(2 − 2/3) = 8/3.
4) Прямая y = 1 пересекает кубическую параболу при x = 1. Фигура лежит на [−2; 1]: сверху y = 1, снизу y = x³ (слева ограничена прямой x = −2).
S = ∫_{−2}^1 (1 − x³) dx = (x − x⁴/4) |_{−2}^1 = 3/4 − (−2 − 4) = 3/4 + 6 = 27/4 = 6,75.
Ответ: 1) 1/6; 2) 8√2/3; 3) 8/3; 4) 27/4.
S = ∫_0^1 (x − x²) dx = (x²/2 − x³/3) |_0^1 = 1/2 − 1/3 = 1/6.
2) −x² = −2 ⇔ x = ±√2. На [−√2; √2] парабола выше прямой.
S = ∫_{−√2}^{√2} (2 − x²) dx = 2∫_0^{√2} (2 − x²) dx = 2(2x − x³/3) |_0^{√2} = 2(2√2 − 2√2/3) = 8√2/3.
3) 1 − x² = x² − 1 ⇔ x² = 1, x = ±1. На [−1; 1] выше график y = 1 − x².
S = ∫_{−1}^1 (2 − 2x²) dx = 2(2x − 2x³/3)|_0^1 = 2(2 − 2/3) = 8/3.
4) Прямая y = 1 пересекает кубическую параболу при x = 1. Фигура лежит на [−2; 1]: сверху y = 1, снизу y = x³ (слева ограничена прямой x = −2).
S = ∫_{−2}^1 (1 − x³) dx = (x − x⁴/4) |_{−2}^1 = 3/4 − (−2 − 4) = 3/4 + 6 = 27/4 = 6,75.
Ответ: 1) 1/6; 2) 8√2/3; 3) 8/3; 4) 27/4.
1023. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
1) параболой y = x² + 10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1);
2) гиперболой y = 1/x, прямой x = 1 и касательной к кривой y = 1/x в точке с абсциссой x = 2.
1) параболой y = x² + 10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1);
2) гиперболой y = 1/x, прямой x = 1 и касательной к кривой y = 1/x в точке с абсциссой x = 2.
1) Пусть касательная касается параболы в точке с абсциссой x₀: y = x₀² + 10 + 2x₀(x − x₀) = 2x₀x + 10 − x₀². Она проходит через (0; 1): 1 = 10 − x₀², x₀ = ±3. Касательные: y = 6x + 1 (точка касания (3; 19)) и y = −6x + 1 (точка касания (−3; 19)). Парабола лежит выше обеих касательных; фигура симметрична относительно оси Oy.
S = 2∫_0^3 ((x² + 10) − (6x + 1)) dx = 2∫_0^3 (x − 3)² dx = 2·(x − 3)³/3 |_0^3 = 2·9 = 18.
2) Для y = 1/x: y(2) = 1/2, y′(x) = −1/x², y′(2) = −1/4. Касательная: y = 1/2 − (x − 2)/4 = 1 − x/4. Гипербола выпукла вниз при x > 0, поэтому она лежит выше касательной; фигура расположена на [1; 2] между прямой x = 1 слева и точкой касания справа.
S = ∫_1^2 (1/x − 1 + x/4) dx = (ln x − x + x²/8) |_1^2 = (ln 2 − 2 + 1/2) − (0 − 1 + 1/8) = ln 2 − 3/2 + 7/8 = ln 2 − 5/8.
Ответ: 1) 18; 2) ln 2 − 5/8.
S = 2∫_0^3 ((x² + 10) − (6x + 1)) dx = 2∫_0^3 (x − 3)² dx = 2·(x − 3)³/3 |_0^3 = 2·9 = 18.
2) Для y = 1/x: y(2) = 1/2, y′(x) = −1/x², y′(2) = −1/4. Касательная: y = 1/2 − (x − 2)/4 = 1 − x/4. Гипербола выпукла вниз при x > 0, поэтому она лежит выше касательной; фигура расположена на [1; 2] между прямой x = 1 слева и точкой касания справа.
S = ∫_1^2 (1/x − 1 + x/4) dx = (ln x − x + x²/8) |_1^2 = (ln 2 − 2 + 1/2) − (0 − 1 + 1/8) = ln 2 − 3/2 + 7/8 = ln 2 − 5/8.
Ответ: 1) 18; 2) ln 2 − 5/8.
1024. Фигура ограничена линиями y = x² + 1, y = 0, x = 0, x = 1. Найти точку (x₀; y₀) графика функции y = x² + 1, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.
Точка касания (x₀; x₀² + 1), где 0 ≤ x₀ ≤ 1. Уравнение касательной: y = x₀² + 1 + 2x₀(x − x₀) = 2x₀x + 1 − x₀².
На [0; 1] касательная лежит ниже параболы и выше оси Ox (при x = 0 имеем y = 1 − x₀² ≥ 0), поэтому отсекаемая трапеция ограничена осью Ox, прямыми x = 0, x = 1 и касательной. Её площадь:
S(x₀) = ∫_0^1 (2x₀x + 1 − x₀²) dx = (x₀x² + (1 − x₀²)x) |_0^1 = x₀ + 1 − x₀².
Исследуем S(x₀) = −x₀² + x₀ + 1 на [0; 1]. S′(x₀) = −2x₀ + 1 = 0 при x₀ = 1/2; на [0; 1/2] производная положительна, на [1/2; 1] отрицательна, значит, x₀ = 1/2 — точка максимума. S(1/2) = 5/4; на концах S(0) = S(1) = 1 < 5/4.
Тогда y₀ = 1/4 + 1 = 5/4.
Ответ: (0,5; 1,25).
На [0; 1] касательная лежит ниже параболы и выше оси Ox (при x = 0 имеем y = 1 − x₀² ≥ 0), поэтому отсекаемая трапеция ограничена осью Ox, прямыми x = 0, x = 1 и касательной. Её площадь:
S(x₀) = ∫_0^1 (2x₀x + 1 − x₀²) dx = (x₀x² + (1 − x₀²)x) |_0^1 = x₀ + 1 − x₀².
Исследуем S(x₀) = −x₀² + x₀ + 1 на [0; 1]. S′(x₀) = −2x₀ + 1 = 0 при x₀ = 1/2; на [0; 1/2] производная положительна, на [1/2; 1] отрицательна, значит, x₀ = 1/2 — точка максимума. S(1/2) = 5/4; на концах S(0) = S(1) = 1 < 5/4.
Тогда y₀ = 1/4 + 1 = 5/4.
Ответ: (0,5; 1,25).