Глава X. Упражнения к главе X — с. 315
1033. Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M:
1) f(x) = cos x, M(0; −2);
2) f(x) = sin x, M(−π; 0);
3) f(x) = 1/√x, M(4; 5);
4) f(x) = e^x, M(0; 2);
5) f(x) = 3x² + 1, M(1; −2);
6) f(x) = 2 − 2x, M(2; 3).
1) f(x) = cos x, M(0; −2);
2) f(x) = sin x, M(−π; 0);
3) f(x) = 1/√x, M(4; 5);
4) f(x) = e^x, M(0; 2);
5) f(x) = 3x² + 1, M(1; −2);
6) f(x) = 2 − 2x, M(2; 3).
Общий вид первообразной F(x) + C; C находим из условия, что график проходит через M.
1) F = sin x + C; F(0) = C = −2. Ответ: F(x) = sin x − 2.
2) F = −cos x + C; F(−π) = 1 + C = 0, C = −1. Ответ: F(x) = −cos x − 1.
3) F = 2√x + C; F(4) = 4 + C = 5, C = 1. Ответ: F(x) = 2√x + 1.
4) F = e^x + C; F(0) = 1 + C = 2, C = 1. Ответ: F(x) = e^x + 1.
5) F = x³ + x + C; F(1) = 2 + C = −2, C = −4. Ответ: F(x) = x³ + x − 4.
6) F = 2x − x² + C; F(2) = 0 + C = 3, C = 3. Ответ: F(x) = 2x − x² + 3.
1) F = sin x + C; F(0) = C = −2. Ответ: F(x) = sin x − 2.
2) F = −cos x + C; F(−π) = 1 + C = 0, C = −1. Ответ: F(x) = −cos x − 1.
3) F = 2√x + C; F(4) = 4 + C = 5, C = 1. Ответ: F(x) = 2√x + 1.
4) F = e^x + C; F(0) = 1 + C = 2, C = 1. Ответ: F(x) = e^x + 1.
5) F = x³ + x + C; F(1) = 2 + C = −2, C = −4. Ответ: F(x) = x³ + x − 4.
6) F = 2x − x² + C; F(2) = 0 + C = 3, C = 3. Ответ: F(x) = 2x − x² + 3.
1034. Вычислить интеграл:
1) ∫_{−1}^{2} 2 dx;
2) ∫_{−2}^{2} (3 − x) dx;
3) ∫_1^3 (x² − 2x) dx;
4) ∫_{−1}^{1} (2x − 3x²) dx;
5) ∫_1^8 ∛x dx;
6) ∫_1^2 dx/x³;
7) ∫_{−π/2}^{π/2} cos x dx.
1) ∫_{−1}^{2} 2 dx;
2) ∫_{−2}^{2} (3 − x) dx;
3) ∫_1^3 (x² − 2x) dx;
4) ∫_{−1}^{1} (2x − 3x²) dx;
5) ∫_1^8 ∛x dx;
6) ∫_1^2 dx/x³;
7) ∫_{−π/2}^{π/2} cos x dx.
Применяем формулу Ньютона — Лейбница: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a).
1) 2x |_{−1}^{2} = 4 − (−2) = 6.
2) (3x − x²/2) |_{−2}^{2} = (6 − 2) − (−6 − 2) = 4 + 8 = 12.
3) (x³/3 − x²) |_1^3 = (9 − 9) − (1/3 − 1) = 2/3.
4) (x² − x³) |_{−1}^{1} = (1 − 1) − (1 + 1) = −2.
5) ∫ x^(1/3) dx = (3/4)x^(4/3); (3/4)(8^(4/3) − 1) = (3/4)(16 − 1) = 45/4 = 11,25.
6) ∫ x^(−3) dx = −1/(2x²); −1/8 + 1/2 = 3/8.
7) sin x |_{−π/2}^{π/2} = 1 − (−1) = 2.
1) 2x |_{−1}^{2} = 4 − (−2) = 6.
2) (3x − x²/2) |_{−2}^{2} = (6 − 2) − (−6 − 2) = 4 + 8 = 12.
3) (x³/3 − x²) |_1^3 = (9 − 9) − (1/3 − 1) = 2/3.
4) (x² − x³) |_{−1}^{1} = (1 − 1) − (1 + 1) = −2.
5) ∫ x^(1/3) dx = (3/4)x^(4/3); (3/4)(8^(4/3) − 1) = (3/4)(16 − 1) = 45/4 = 11,25.
6) ∫ x^(−3) dx = −1/(2x²); −1/8 + 1/2 = 3/8.
7) sin x |_{−π/2}^{π/2} = 1 − (−1) = 2.
1035. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = √x, x = 1, x = 4, y = 0;
2) y = cos x, x = 0, x = π/3, y = 0;
3) y = x², y = 2 − x;
4) y = 2x², y = 0,5x + 1,5.
1) y = √x, x = 1, x = 4, y = 0;
2) y = cos x, x = 0, x = π/3, y = 0;
3) y = x², y = 2 − x;
4) y = 2x², y = 0,5x + 1,5.
1) На [1; 4] функция √x ≥ 0: S = ∫_1^4 √x dx = (2/3)x^(3/2) |_1^4 = (2/3)(8 − 1) = 14/3.
2) На [0; π/3] cos x > 0: S = sin x |_0^(π/3) = √3/2.
3) x² = 2 − x ⇒ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1; на [−2; 1] прямая выше параболы: S = ∫_{−2}^{1} (2 − x − x²) dx = (2x − x²/2 − x³/3) |_{−2}^{1} = (2 − 1/2 − 1/3) − (−4 − 2 + 8/3) = 7/6 + 10/3 = 27/6 = 9/2.
4) 2x² = 0,5x + 1,5 ⇒ 4x² − x − 3 = 0, x = 1 и x = −3/4; на [−3/4; 1] прямая выше параболы: S = ∫_{−3/4}^{1} (0,5x + 1,5 − 2x²) dx = (x²/4 + 3x/2 − 2x³/3) |_{−3/4}^{1}. F(1) = 1/4 + 3/2 − 2/3 = 13/12; F(−3/4) = 9/64 − 9/8 + 9/32 = −45/64. S = 13/12 + 45/64 = 343/192.
Ответ: 1) 14/3; 2) √3/2; 3) 9/2; 4) 343/192.
2) На [0; π/3] cos x > 0: S = sin x |_0^(π/3) = √3/2.
3) x² = 2 − x ⇒ x² + x − 2 = 0, x = −2 и x = 1; на [−2; 1] прямая выше параболы: S = ∫_{−2}^{1} (2 − x − x²) dx = (2x − x²/2 − x³/3) |_{−2}^{1} = (2 − 1/2 − 1/3) − (−4 − 2 + 8/3) = 7/6 + 10/3 = 27/6 = 9/2.
4) 2x² = 0,5x + 1,5 ⇒ 4x² − x − 3 = 0, x = 1 и x = −3/4; на [−3/4; 1] прямая выше параболы: S = ∫_{−3/4}^{1} (0,5x + 1,5 − 2x²) dx = (x²/4 + 3x/2 − 2x³/3) |_{−3/4}^{1}. F(1) = 1/4 + 3/2 − 2/3 = 13/12; F(−3/4) = 9/64 − 9/8 + 9/32 = −45/64. S = 13/12 + 45/64 = 343/192.
Ответ: 1) 14/3; 2) √3/2; 3) 9/2; 4) 343/192.
Проверь себя!
Задание 1. Показать, что функция F(x) = e^(2x) + x³ − cos x является первообразной для функции f(x) = 2e^(2x) + 3x² + sin x на всей числовой прямой.
F определена и дифференцируема на всей числовой прямой, и F′(x) = (e^(2x))′ + (x³)′ − (cos x)′ = 2e^(2x) + 3x² + sin x = f(x) для всех x. Значит, F — первообразная для f на R.
Проверь себя!
Задание 2. Для функции f(x) = 3x² + 2x − 3 найти первообразную, график которой проходит через точку M(1; −2).
Общий вид первообразных: F(x) = x³ + x² − 3x + C. Условие F(1) = −2: 1 + 1 − 3 + C = −2, откуда C = −1.
Ответ: F(x) = x³ + x² − 3x − 1.
Ответ: F(x) = x³ + x² − 3x − 1.
Проверь себя!
Задание 3. Вычислить:
1) ∫_1^2 3x³ dx;
2) ∫_2^4 dx/x²;
3) ∫_0^{π/2} cos x dx;
4) ∫_{π/2}^{π} sin 2x dx.
1) ∫_1^2 3x³ dx;
2) ∫_2^4 dx/x²;
3) ∫_0^{π/2} cos x dx;
4) ∫_{π/2}^{π} sin 2x dx.
1) (3x⁴/4) |_1^2 = 12 − 3/4 = 45/4 = 11,25.
2) (−1/x) |_2^4 = −1/4 + 1/2 = 1/4.
3) sin x |_0^(π/2) = 1 − 0 = 1.
4) (−cos 2x / 2) |_(π/2)^(π) = (−cos 2π / 2) − (−cos π / 2) = −1/2 − 1/2 = −1.
Ответ: 1) 45/4; 2) 1/4; 3) 1; 4) −1.
2) (−1/x) |_2^4 = −1/4 + 1/2 = 1/4.
3) sin x |_0^(π/2) = 1 − 0 = 1.
4) (−cos 2x / 2) |_(π/2)^(π) = (−cos 2π / 2) − (−cos π / 2) = −1/2 − 1/2 = −1.
Ответ: 1) 45/4; 2) 1/4; 3) 1; 4) −1.
Проверь себя!
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой y = x² + x − 6 и осью Ox;
2) графиками функций y = x² + 1 и y = 10.
1) параболой y = x² + x − 6 и осью Ox;
2) графиками функций y = x² + 1 и y = 10.
1) x² + x − 6 = 0 ⇒ x = −3 и x = 2. На (−3; 2) парабола лежит ниже оси Ox (ветви вверх), поэтому S = ∫_{−3}^{2} (−x² − x + 6) dx = (−x³/3 − x²/2 + 6x) |_{−3}^{2} = (−8/3 − 2 + 12) − (9 − 9/2 − 18) = 22/3 + 27/2 = 125/6.
2) x² + 1 = 10 ⇒ x = ±3; на [−3; 3] прямая y = 10 выше параболы: S = ∫_{−3}^{3} (9 − x²) dx = 2(9x − x³/3) |_0^3 = 2(27 − 9) = 36.
Ответ: 1) 125/6; 2) 36.
2) x² + 1 = 10 ⇒ x = ±3; на [−3; 3] прямая y = 10 выше параболы: S = ∫_{−3}^{3} (9 − x²) dx = 2(9x − x³/3) |_0^3 = 2(27 − 9) = 36.
Ответ: 1) 125/6; 2) 36.