Глава X. § 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл — с. 300
999. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:
1) графиком функции y = (x − 1)², осью Ox и прямой x = 2;
2) графиком функции y = 2x − x² и осью Ox;
3) графиком функции y = 2/x, осью Ox и прямыми x = 1, x = 4;
4) графиком функции y = √x, осью Ox и прямой x = 4.
1) графиком функции y = (x − 1)², осью Ox и прямой x = 2;
2) графиком функции y = 2x − x² и осью Ox;
3) графиком функции y = 2/x, осью Ox и прямыми x = 1, x = 4;
4) графиком функции y = √x, осью Ox и прямой x = 4.
1) Парабола y = (x − 1)² имеет вершину (1; 0) и касается оси Ox. Фигура лежит над отрезком [1; 2]: слева она ограничена точкой касания, справа прямой x = 2, при x = 2 высота равна 1. Основание — отрезок [1; 2].
2) Парабола y = 2x − x² = x(2 − x) пересекает ось Ox в точках x = 0 и x = 2, ветви вниз, вершина (1; 1). Трапеция лежит над отрезком [0; 2].
3) Гипербола y = 2/x при x > 0 положительна; фигура лежит над отрезком [1; 4] между вертикальными прямыми x = 1 (высота 2) и x = 4 (высота 1/2).
4) График y = √x выходит из начала координат; фигура лежит над отрезком [0; 4], справа ограничена прямой x = 4 (высота 2).
Рисунок: искомые фигуры закрашены, график показан красным.
2) Парабола y = 2x − x² = x(2 − x) пересекает ось Ox в точках x = 0 и x = 2, ветви вниз, вершина (1; 1). Трапеция лежит над отрезком [0; 2].
3) Гипербола y = 2/x при x > 0 положительна; фигура лежит над отрезком [1; 4] между вертикальными прямыми x = 1 (высота 2) и x = 4 (высота 1/2).
4) График y = √x выходит из начала координат; фигура лежит над отрезком [0; 4], справа ограничена прямой x = 4 (высота 2).
Рисунок: искомые фигуры закрашены, график показан красным.