Глава X. § 55. Правила нахождения первообразных — с. 295
988. Найти одну из первообразных функции:
1) 2x^5 − 3x²;
2) 5x^4 + 2x³;
3) 2/x + 3/x²;
4) 2/x³ − 3/x;
5) 6x² − 4x + 3;
6) 4 · ∛x − 6√x.
1) 2x^5 − 3x²;
2) 5x^4 + 2x³;
3) 2/x + 3/x²;
4) 2/x³ − 3/x;
5) 6x² − 4x + 3;
6) 4 · ∛x − 6√x.
Первообразную суммы находим почленно: для ax^p берём a · x^(p+1)/(p + 1), для 1/x берём ln|x|.
1) 2x^6/6 − 3x³/3 = x^6/3 − x³.
2) 5x^5/5 + 2x^4/4 = x^5 + x^4/2.
3) 2 ln|x| + 3 · x^(−1)/(−1) = 2 ln|x| − 3/x.
4) 2/x³ = 2x^(−3), первообразная 2 · x^(−2)/(−2) = −1/x²; для −3/x получаем −3 ln|x|. Итого: −1/x² − 3 ln|x|.
5) 6x³/3 − 4x²/2 + 3x = 2x³ − 2x² + 3x.
6) 4 ∛x = 4x^(1/3), первообразная 4 · x^(4/3)/(4/3) = 3x^(4/3) = 3x∛x; 6√x = 6x^(1/2), первообразная 6 · x^(3/2)/(3/2) = 4x√x. Итого: 3x∛x − 4x√x.
1) 2x^6/6 − 3x³/3 = x^6/3 − x³.
2) 5x^5/5 + 2x^4/4 = x^5 + x^4/2.
3) 2 ln|x| + 3 · x^(−1)/(−1) = 2 ln|x| − 3/x.
4) 2/x³ = 2x^(−3), первообразная 2 · x^(−2)/(−2) = −1/x²; для −3/x получаем −3 ln|x|. Итого: −1/x² − 3 ln|x|.
5) 6x³/3 − 4x²/2 + 3x = 2x³ − 2x² + 3x.
6) 4 ∛x = 4x^(1/3), первообразная 4 · x^(4/3)/(4/3) = 3x^(4/3) = 3x∛x; 6√x = 6x^(1/2), первообразная 6 · x^(3/2)/(3/2) = 4x√x. Итого: 3x∛x − 4x√x.