Глава IX. Упражнения к главе IX — с. 290
978. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен p, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h (r — радиус основания, h — высота). Периметр 2(2r + h) = p, откуда h = p/2 − 2r, 0 < r < p/4. Объём V(r) = πr²h = π(pr²/2 − 2r³). V′(r) = π(pr − 6r²) = πr(p − 6r). V′ = 0 при r = p/6; при r < p/6 V′ > 0, при r > p/6 V′ < 0 — максимум. Тогда h = p/2 − p/3 = p/6. V = π(p/6)² · (p/6) = πp³/216. Ответ: πp³/216.
979. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось 5/2?
Кузов открытый, поэтому поверхность состоит из дна и четырёх стенок. Пусть ширина b, длина a = 5b/2, высота h. Площадь поверхности: ab + 2ah + 2bh = 2S. Подставим a: 5b²/2 + 2h(5b/2 + b) = 5b²/2 + 7bh = 2S, откуда h = (2S − 5b²/2)/(7b) = (4S − 5b²)/(14b), причём из условия h > 0 следует b² < 4S/5.
Объём V(b) = abh = (5b²/2) · (4S − 5b²)/(14b) = 5b(4S − 5b²)/28 = (20Sb − 25b³)/28. V′(b) = (20S − 75b²)/28 = 0 при b² = 4S/15, b = 2√(S/15) (это значение удовлетворяет условию b² < 4S/5). При меньших b V′ > 0, при больших V′ < 0 — максимум. Тогда a = 5b/2 = 5√(S/15). Ответ: длина 5√(S/15), ширина 2√(S/15).
Объём V(b) = abh = (5b²/2) · (4S − 5b²)/(14b) = 5b(4S − 5b²)/28 = (20Sb − 25b³)/28. V′(b) = (20S − 75b²)/28 = 0 при b² = 4S/15, b = 2√(S/15) (это значение удовлетворяет условию b² < 4S/5). При меньших b V′ > 0, при больших V′ < 0 — максимум. Тогда a = 5b/2 = 5√(S/15). Ответ: длина 5√(S/15), ширина 2√(S/15).
980. Найти точки экстремума функции y = (x² − 3x + 2)/(x² + 3x + 2).
Область определения: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) ≠ 0, то есть x ≠ −1, x ≠ −2. y′ = [(2x − 3)(x² + 3x + 2) − (x² − 3x + 2)(2x + 3)]/(x² + 3x + 2)². Числитель: (2x³ + 3x² − 5x − 6) − (2x³ − 3x² − 5x + 6) = 6x² − 12 = 6(x² − 2). y′ = 0 при x = ±√2. y′ > 0 при |x| > √2, y′ < 0 при |x| < √2 (x ≠ −1). Значит, при переходе через x = −√2 знак меняется с «+» на «−», через x = √2 — с «−» на «+». Ответ: x = −√2 — точка максимума, x = √2 — точка минимума.
981. Построить график функции:
1) y = (x² − 1)√(x + 1);
2) y = |x| · ∛(1 + 3x);
3) y = x² e^(−x);
4) y = x³ e^(−x).
1) y = (x² − 1)√(x + 1);
2) y = |x| · ∛(1 + 3x);
3) y = x² e^(−x);
4) y = x³ e^(−x).
1) Область определения x ≥ −1. Нули: x = −1 и x = 1. При x > −1 y′ = 2x√(x + 1) + (x² − 1)/(2√(x + 1)) = [4x(x + 1) + x² − 1]/(2√(x + 1)) = (5x² + 4x − 1)/(2√(x + 1)) = (5x − 1)(x + 1)/(2√(x + 1)) = (5x − 1)√(x + 1)/2. y′ < 0 при −1 < x < 1/5, y′ > 0 при x > 1/5: x = 1/5 — минимум, y(1/5) = (1/25 − 1)√(6/5) ≈ −1,05. При x → −1 касательная горизонтальна (y′ → 0). y(0) = −1, y(2) = 3√3 ≈ 5,2; y > 0 при x > 1; y → +∞ при x → +∞ (рисунок).
2) Область определения R. Нули: x = 0 и x = −1/3. Знак: y ≥ 0 при x ≥ −1/3, y < 0 при x < −1/3. При x > 0: y = x(1 + 3x)^(1/3), y′ = (1 + 4x)/(1 + 3x)^(2/3) > 0. При x < 0: y = −x(1 + 3x)^(1/3), y′ = −(1 + 4x)/(1 + 3x)^(2/3). При −1/4 < x < 0 y′ < 0, при −1/3 < x < −1/4 и при x < −1/3 y′ > 0. Значит, x = −1/4 — максимум, y(−1/4) = (1/4)·∛(1/4) ≈ 0,16. В точке x = 0 производные справа и слева равны 1 и −1: угловая точка, минимум y(0) = 0. В точке x = −1/3 y′ → +∞: касательная вертикальна. При x → −∞ y → −∞, при x → +∞ y → +∞; например, y(−1) = −∛2 ≈ −1,26, y(1) = ∛4 ≈ 1,59, y(2) = 2∛7 ≈ 3,83 (рисунок).
3) Область определения R. y ≥ 0, y(0) = 0. y′ = (2x − x²)e^(−x) = x(2 − x)e^(−x): y′ < 0 при x < 0 и x > 2, y′ > 0 при 0 < x < 2. x = 0 — минимум, y(0) = 0; x = 2 — максимум, y(2) = 4/e² ≈ 0,54. y″ = (x² − 4x + 2)e^(−x): точки перегиба x = 2 ± √2. При x → +∞ y → 0 (асимптота y = 0), при x → −∞ y → +∞ (рисунок).
4) Область определения R. y′ = (3x² − x³)e^(−x) = x²(3 − x)e^(−x): y′ > 0 при x < 3 (x ≠ 0), y′ < 0 при x > 3. x = 3 — максимум, y(3) = 27/e³ ≈ 1,34; в точке x = 0 знак y′ не меняется, экстремума нет, касательная горизонтальна. y″ = x(x² − 6x + 6)e^(−x): точки перегиба x = 0, x = 3 ± √3. При x → +∞ y → 0, при x → −∞ y → −∞ (рисунок).
2) Область определения R. Нули: x = 0 и x = −1/3. Знак: y ≥ 0 при x ≥ −1/3, y < 0 при x < −1/3. При x > 0: y = x(1 + 3x)^(1/3), y′ = (1 + 4x)/(1 + 3x)^(2/3) > 0. При x < 0: y = −x(1 + 3x)^(1/3), y′ = −(1 + 4x)/(1 + 3x)^(2/3). При −1/4 < x < 0 y′ < 0, при −1/3 < x < −1/4 и при x < −1/3 y′ > 0. Значит, x = −1/4 — максимум, y(−1/4) = (1/4)·∛(1/4) ≈ 0,16. В точке x = 0 производные справа и слева равны 1 и −1: угловая точка, минимум y(0) = 0. В точке x = −1/3 y′ → +∞: касательная вертикальна. При x → −∞ y → −∞, при x → +∞ y → +∞; например, y(−1) = −∛2 ≈ −1,26, y(1) = ∛4 ≈ 1,59, y(2) = 2∛7 ≈ 3,83 (рисунок).
3) Область определения R. y ≥ 0, y(0) = 0. y′ = (2x − x²)e^(−x) = x(2 − x)e^(−x): y′ < 0 при x < 0 и x > 2, y′ > 0 при 0 < x < 2. x = 0 — минимум, y(0) = 0; x = 2 — максимум, y(2) = 4/e² ≈ 0,54. y″ = (x² − 4x + 2)e^(−x): точки перегиба x = 2 ± √2. При x → +∞ y → 0 (асимптота y = 0), при x → −∞ y → +∞ (рисунок).
4) Область определения R. y′ = (3x² − x³)e^(−x) = x²(3 − x)e^(−x): y′ > 0 при x < 3 (x ≠ 0), y′ < 0 при x > 3. x = 3 — максимум, y(3) = 27/e³ ≈ 1,34; в точке x = 0 знак y′ не меняется, экстремума нет, касательная горизонтальна. y″ = x(x² − 6x + 6)e^(−x): точки перегиба x = 0, x = 3 ± √3. При x → +∞ y → 0, при x → −∞ y → −∞ (рисунок).
982. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k.
[рисунок 149: груз — прямоугольник на горизонтальной плоскости; сила F приложена к грузу и направлена вверх под углом α к плоскости.]
[рисунок 149: груз — прямоугольник на горизонтальной плоскости; сила F приложена к грузу и направлена вверх под углом α к плоскости.]
Пусть вес груза P, сила F направлена под углом α к горизонту, 0 ≤ α < π/2. Вертикальная составляющая F sin α уменьшает силу давления на плоскость: она равна P − F sin α, сила трения k(P − F sin α). Груз сдвигается, когда горизонтальная составляющая равна силе трения: F cos α = k(P − F sin α), откуда F(α) = kP/(cos α + k sin α).
F минимальна, когда максимально g(α) = cos α + k sin α. g′(α) = −sin α + k cos α = 0, то есть tg α = k, α = arctg k. При α < arctg k g′ > 0, при α > arctg k g′ < 0 — максимум g, значит, минимум F. (Можно также записать g(α) = √(1 + k²) cos(α − arctg k).) Ответ: α = arctg k; при этом наименьшая сила F = kP/√(1 + k²).
F минимальна, когда максимально g(α) = cos α + k sin α. g′(α) = −sin α + k cos α = 0, то есть tg α = k, α = arctg k. При α < arctg k g′ > 0, при α > arctg k g′ < 0 — максимум g, значит, минимум F. (Можно также записать g(α) = √(1 + k²) cos(α − arctg k).) Ответ: α = arctg k; при этом наименьшая сила F = kP/√(1 + k²).