Глава IX. Упражнения к главе IX — с. 288
962. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f(x) = x³ − 6x² + 9 на отрезке [−2; 2];
2) f(x) = x³ + 6x² + 9x на отрезке [−4; 0];
3) f(x) = x^4 − 2x² + 3 на отрезке [−4; 3];
4) f(x) = x^4 − 8x² + 5 на отрезке [−3; 2].
1) f(x) = x³ − 6x² + 9 на отрезке [−2; 2];
2) f(x) = x³ + 6x² + 9x на отрезке [−4; 0];
3) f(x) = x^4 − 2x² + 3 на отрезке [−4; 3];
4) f(x) = x^4 − 8x² + 5 на отрезке [−3; 2].
Находим критические точки внутри отрезка и сравниваем значения функции в них и на концах отрезка.
1) f′(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4); на [−2; 2] лежит только x = 0. f(−2) = −8 − 24 + 9 = −23; f(0) = 9; f(2) = 8 − 24 + 9 = −7. Ответ: наибольшее значение 9, наименьшее −23.
2) f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3(x + 1)(x + 3); обе точки x = −3 и x = −1 лежат в [−4; 0]. f(−4) = −64 + 96 − 36 = −4; f(−3) = −27 + 54 − 27 = 0; f(−1) = −1 + 6 − 9 = −4; f(0) = 0. Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее −4.
3) f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1); все три точки −1, 0, 1 лежат в [−4; 3]. f(−4) = 256 − 32 + 3 = 227; f(−1) = 1 − 2 + 3 = 2; f(0) = 3; f(1) = 2; f(3) = 81 − 18 + 3 = 66. Ответ: наибольшее значение 227, наименьшее 2.
4) f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2); в [−3; 2] лежат −2, 0, 2. f(−3) = 81 − 72 + 5 = 14; f(−2) = 16 − 32 + 5 = −11; f(0) = 5; f(2) = −11. Ответ: наибольшее значение 14, наименьшее −11.
1) f′(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4); на [−2; 2] лежит только x = 0. f(−2) = −8 − 24 + 9 = −23; f(0) = 9; f(2) = 8 − 24 + 9 = −7. Ответ: наибольшее значение 9, наименьшее −23.
2) f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3(x + 1)(x + 3); обе точки x = −3 и x = −1 лежат в [−4; 0]. f(−4) = −64 + 96 − 36 = −4; f(−3) = −27 + 54 − 27 = 0; f(−1) = −1 + 6 − 9 = −4; f(0) = 0. Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее −4.
3) f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1); все три точки −1, 0, 1 лежат в [−4; 3]. f(−4) = 256 − 32 + 3 = 227; f(−1) = 1 − 2 + 3 = 2; f(0) = 3; f(1) = 2; f(3) = 81 − 18 + 3 = 66. Ответ: наибольшее значение 227, наименьшее 2.
4) f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2); в [−3; 2] лежат −2, 0, 2. f(−3) = 81 − 72 + 5 = 14; f(−2) = 16 − 32 + 5 = −11; f(0) = 5; f(2) = −11. Ответ: наибольшее значение 14, наименьшее −11.
963. Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.
Пусть периметр равен P, одна сторона прямоугольника x, тогда другая P/2 − x, где 0 < x < P/2. Квадрат диагонали d² = x² + (P/2 − x)² = 2x² − Px + P²/4. Диагональ d = √(d²) принимает наименьшее значение там же, где d². Рассмотрим φ(x) = 2x² − Px + P²/4. φ′(x) = 4x − P = 0 при x = P/4; при x < P/4 φ′ < 0, при x > P/4 φ′ > 0, значит, x = P/4 — точка минимума (единственная критическая точка на интервале, так что наименьшее значение достигается именно в ней). Тогда вторая сторона P/2 − P/4 = P/4 = x, то есть прямоугольник — квадрат. Утверждение доказано.
964. Из всех равнобедренных треугольников с периметром p найти треугольник с наибольшей площадью.
Пусть основание равно a, боковая сторона b = (p − a)/2, 0 < a < p/2. Высота к основанию h = √(b² − a²/4) = (1/2)√((p − a)² − a²) = (1/2)√(p(p − 2a)). Площадь S = (1/2)ah = (1/4)a√(p(p − 2a)).
S² = (p/16) · a²(p − 2a), поэтому S максимальна там же, где φ(a) = pa² − 2a³. φ′(a) = 2pa − 6a² = 2a(p − 3a). На (0; p/2) единственная критическая точка a = p/3; слева от неё φ′ > 0, справа φ′ < 0, значит, это точка максимума.
При a = p/3 боковая сторона b = (p − p/3)/2 = p/3. Ответ: равносторонний треугольник со стороной p/3 (его площадь p²√3/36).
S² = (p/16) · a²(p − 2a), поэтому S максимальна там же, где φ(a) = pa² − 2a³. φ′(a) = 2pa − 6a² = 2a(p − 3a). На (0; p/2) единственная критическая точка a = p/3; слева от неё φ′ > 0, справа φ′ < 0, значит, это точка максимума.
При a = p/3 боковая сторона b = (p − p/3)/2 = p/3. Ответ: равносторонний треугольник со стороной p/3 (его площадь p²√3/36).
965. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см², найти параллелепипед наибольшего объёма.
Пусть сторона основания a (см), высота h (см). Площадь полной поверхности 2a² + 4ah = 600, откуда h = (300 − a²)/(2a), 0 < a < √300.
Объём V(a) = a²h = a(300 − a²)/2 = 150a − a³/2. V′(a) = 150 − 3a²/2 = (3/2)(100 − a²). V′ = 0 при a = 10 (отрицательный корень не подходит). При a < 10 V′ > 0, при a > 10 V′ < 0, значит, a = 10 — точка максимума.
Тогда h = (300 − 100)/20 = 10. Ответ: куб с ребром 10 см, его объём 1000 см³.
Объём V(a) = a²h = a(300 − a²)/2 = 150a − a³/2. V′(a) = 150 − 3a²/2 = (3/2)(100 − a²). V′ = 0 при a = 10 (отрицательный корень не подходит). При a < 10 V′ > 0, при a > 10 V′ < 0, значит, a = 10 — точка максимума.
Тогда h = (300 − 100)/20 = 10. Ответ: куб с ребром 10 см, его объём 1000 см³.
Проверь себя!
Задание 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = 6x − 2x³.
y′ = 6 − 6x² = 6(1 − x)(1 + x). y′ > 0 при −1 < x < 1; y′ < 0 при x < −1 и при x > 1. Ответ: возрастает на [−1; 1], убывает на (−∞; −1] и на [1; +∞).
Проверь себя!
Задание 2. Найти точки экстремума функции y = x/3 + 3/x.
Область определения x ≠ 0. y′ = 1/3 − 3/x² = (x² − 9)/(3x²). y′ = 0 при x = −3 и x = 3. Знаки y′: при x < −3 y′ > 0; при −3 < x < 0 и 0 < x < 3 y′ < 0; при x > 3 y′ > 0. В точке x = −3 знак меняется с «+» на «−» — максимум (y(−3) = −2); в точке x = 3 знак меняется с «−» на «+» — минимум (y(3) = 2). Ответ: x = −3 — точка максимума, x = 3 — точка минимума.
Проверь себя!
Задание 3. Построить график функции:
1) y = 2x^4 − x² + 1;
2) y = x³ − 3x.
1) y = 2x^4 − x² + 1;
2) y = x³ − 3x.
1) Область определения R, функция чётная. y′ = 8x³ − 2x = 2x(2x − 1)(2x + 1). Критические точки 0, ±1/2. y′ < 0 при x < −1/2 и 0 < x < 1/2; y′ > 0 при −1/2 < x < 0 и x > 1/2. Максимум: y(0) = 1. Минимумы: y(±1/2) = 2/16 − 1/4 + 1 = 7/8. Так как наименьшее значение 7/8 > 0, график лежит выше оси Ox и её не пересекает; с осью Oy пересекается в точке (0; 1). Строим график по этим точкам (рисунок).
2) Область определения R, функция нечётная (график симметричен относительно начала координат). y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1): y′ > 0 при x < −1 и x > 1, y′ < 0 при −1 < x < 1. Максимум: y(−1) = −1 + 3 = 2; минимум: y(1) = 1 − 3 = −2. Нули: x(x² − 3) = 0, x = 0 и x = ±√3. Строим график по этим точкам (рисунок).
2) Область определения R, функция нечётная (график симметричен относительно начала координат). y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1): y′ > 0 при x < −1 и x > 1, y′ < 0 при −1 < x < 1. Максимум: y(−1) = −1 + 3 = 2; минимум: y(1) = 1 − 3 = −2. Нули: x(x² − 3) = 0, x = 0 и x = ±√3. Строим график по этим точкам (рисунок).
Проверь себя!
Задание 4. Функция y = x + 4/x непрерывна на отрезке [1; 5]. Найти её наибольшее и наименьшее значения.
y′ = 1 − 4/x² = (x − 2)(x + 2)/x². На [1; 5] критическая точка только x = 2. y(1) = 1 + 4 = 5; y(2) = 2 + 2 = 4; y(5) = 5 + 4/5 = 5,8. Ответ: наибольшее значение 5,8 (при x = 5), наименьшее 4 (при x = 2).
Проверь себя!
Задание 5. Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?
Пусть одна сторона основания x м, тогда другая 4 − x м (полупериметр 8 : 2 = 4), 0 < x < 4. Объём V(x) = 3x(4 − x) = 12x − 3x². V′(x) = 12 − 6x = 0 при x = 2; при x < 2 V′ > 0, при x > 2 V′ < 0, значит, x = 2 — точка максимума. Тогда другая сторона 4 − 2 = 2 м; наибольший объём V = 3 · 2 · 2 = 12 м³. Ответ: стороны основания 2 м и 2 м (основание — квадрат).
966. Доказать, что функция y = 1,8x^5 − 2(1/3)x³ + 7x + 12,5 возрастает на всей области определения.
Область определения — вся числовая прямая. 2(1/3) = 7/3. y′ = 9x^4 − 7x² + 7. Обозначим t = x² ≥ 0: 9t² − 7t + 7. Дискриминант D = 49 − 4 · 9 · 7 = 49 − 252 = −203 < 0, старший коэффициент 9 > 0, поэтому 9t² − 7t + 7 > 0 при всех t, а значит, y′(x) > 0 при всех x. Следовательно, функция возрастает на всей области определения, что и требовалось доказать.
967. Доказать, что функция y = x(1 + 2√x) возрастает на всей области определения.
Область определения: x ≥ 0. y = x + 2x√x = x + 2x^(3/2). При x > 0 y′ = 1 + 2 · (3/2)x^(1/2) = 1 + 3√x > 0. Функция непрерывна на [0; +∞) и y′ > 0 на (0; +∞), поэтому она возрастает на всей области определения [0; +∞), что и требовалось доказать.
968. Найти точки экстремума функции:
1) y = x ln x;
2) y = x eˣ;
3) y = 25/(7 − x) − 9/(3 − x).
1) y = x ln x;
2) y = x eˣ;
3) y = 25/(7 − x) − 9/(3 − x).
1) Область определения x > 0. y′ = ln x + 1 = 0 при x = 1/e. При 0 < x < 1/e y′ < 0, при x > 1/e y′ > 0. Ответ: x = 1/e — точка минимума (y = −1/e).
2) y′ = eˣ + x eˣ = (1 + x)eˣ. y′ = 0 при x = −1; при x < −1 y′ < 0, при x > −1 y′ > 0. Ответ: x = −1 — точка минимума (y = −1/e).
3) Область определения x ≠ 7, x ≠ 3. y′ = 25/(7 − x)² − 9/(3 − x)² = [25(3 − x)² − 9(7 − x)²]/((7 − x)²(3 − x)²). Числитель = (5(3 − x) − 3(7 − x))(5(3 − x) + 3(7 − x)) = (−6 − 2x)(36 − 8x) = 8(x + 3)(2x − 9). y′ = 0 при x = −3 и x = 4,5. Знак y′ совпадает со знаком (x + 3)(2x − 9): при x < −3 y′ > 0; при −3 < x < 4,5 (x ≠ 3) y′ < 0; при x > 4,5 (x ≠ 7) y′ > 0. Ответ: x = −3 — точка максимума, x = 4,5 — точка минимума.
2) y′ = eˣ + x eˣ = (1 + x)eˣ. y′ = 0 при x = −1; при x < −1 y′ < 0, при x > −1 y′ > 0. Ответ: x = −1 — точка минимума (y = −1/e).
3) Область определения x ≠ 7, x ≠ 3. y′ = 25/(7 − x)² − 9/(3 − x)² = [25(3 − x)² − 9(7 − x)²]/((7 − x)²(3 − x)²). Числитель = (5(3 − x) − 3(7 − x))(5(3 − x) + 3(7 − x)) = (−6 − 2x)(36 − 8x) = 8(x + 3)(2x − 9). y′ = 0 при x = −3 и x = 4,5. Знак y′ совпадает со знаком (x + 3)(2x − 9): при x < −3 y′ > 0; при −3 < x < 4,5 (x ≠ 3) y′ < 0; при x > 4,5 (x ≠ 7) y′ > 0. Ответ: x = −3 — точка максимума, x = 4,5 — точка минимума.
969. На рисунке 148 изображён график функции y = g(x), являющейся производной функции y = f(x). Найти:
1) интервалы возрастания и убывания функции y = f(x);
2) точки экстремума функции y = f(x);
3)* точки перегиба функции y = f(x).
[рисунок 148: а) график y = g(x) на отрезке [x1; x8]: g(x1) = 0, затем g < 0 с минимумом в x2, нуль в x3, максимум в x4 (g > 0), положительное значение при x = 0, нуль в x5, минимум в x6, нуль в x7, затем g > 0 до конца отрезка в x8; б) график y = g(x) на отрезке [−10; 7]: нули −8, −4, −2, 0, 4, 6; максимумы в точках −3 и 2, минимумы в точках −6, −1 и 5; g(−10) > 0, g(7) > 0.]
1) интервалы возрастания и убывания функции y = f(x);
2) точки экстремума функции y = f(x);
3)* точки перегиба функции y = f(x).
[рисунок 148: а) график y = g(x) на отрезке [x1; x8]: g(x1) = 0, затем g < 0 с минимумом в x2, нуль в x3, максимум в x4 (g > 0), положительное значение при x = 0, нуль в x5, минимум в x6, нуль в x7, затем g > 0 до конца отрезка в x8; б) график y = g(x) на отрезке [−10; 7]: нули −8, −4, −2, 0, 4, 6; максимумы в точках −3 и 2, минимумы в точках −6, −1 и 5; g(−10) > 0, g(7) > 0.]
Так как f′(x) = g(x): f возрастает там, где g > 0, убывает там, где g < 0; точки экстремума f — нули g, в которых g меняет знак; точки перегиба f — точки, где f″ = g′ меняет знак, то есть точки экстремума графика g.
а) 1) g > 0 на (x3; x5) и (x7; x8), g < 0 на (x1; x3) и (x5; x7). Ответ: f возрастает на [x3; x5] и [x7; x8], убывает на [x1; x3] и [x5; x7].
2) g меняет знак в x3 (с «−» на «+»), x5 (с «+» на «−»), x7 (с «−» на «+»). Ответ: x3 и x7 — точки минимума, x5 — точка максимума.
3) g′ меняет знак в точках экстремума g: x2, x4, x6. Ответ: x2, x4, x6 — точки перегиба.
б) 1) g > 0 на (−10; −8), (−4; −2), (0; 4), (6; 7); g < 0 на (−8; −4), (−2; 0), (4; 6). Ответ: f возрастает на [−10; −8], [−4; −2], [0; 4], [6; 7]; убывает на [−8; −4], [−2; 0], [4; 6].
2) g меняет знак в точках −8 (+ → −), −4 (− → +), −2 (+ → −), 0 (− → +), 4 (+ → −), 6 (− → +). Ответ: максимум в точках −8, −2, 4; минимум в точках −4, 0, 6.
3) Точки экстремума g: −6 (минимум), −3 (максимум), −1 (минимум), 2 (максимум), 5 (минимум). Ответ: точки перегиба f: x = −6, −3, −1, 2, 5.
Оговорка: значения на рисунке считаны по графику с точностью до деления сетки; концы отрезков (x1, x8 в случае а, −10 и 7 в случае б) точками экстремума и перегиба не считаются.
а) 1) g > 0 на (x3; x5) и (x7; x8), g < 0 на (x1; x3) и (x5; x7). Ответ: f возрастает на [x3; x5] и [x7; x8], убывает на [x1; x3] и [x5; x7].
2) g меняет знак в x3 (с «−» на «+»), x5 (с «+» на «−»), x7 (с «−» на «+»). Ответ: x3 и x7 — точки минимума, x5 — точка максимума.
3) g′ меняет знак в точках экстремума g: x2, x4, x6. Ответ: x2, x4, x6 — точки перегиба.
б) 1) g > 0 на (−10; −8), (−4; −2), (0; 4), (6; 7); g < 0 на (−8; −4), (−2; 0), (4; 6). Ответ: f возрастает на [−10; −8], [−4; −2], [0; 4], [6; 7]; убывает на [−8; −4], [−2; 0], [4; 6].
2) g меняет знак в точках −8 (+ → −), −4 (− → +), −2 (+ → −), 0 (− → +), 4 (+ → −), 6 (− → +). Ответ: максимум в точках −8, −2, 4; минимум в точках −4, 0, 6.
3) Точки экстремума g: −6 (минимум), −3 (максимум), −1 (минимум), 2 (максимум), 5 (минимум). Ответ: точки перегиба f: x = −6, −3, −1, 2, 5.
Оговорка: значения на рисунке считаны по графику с точностью до деления сетки; концы отрезков (x1, x8 в случае а, −10 и 7 в случае б) точками экстремума и перегиба не считаются.