Глава IX. § 52. Наибольшее и наименьшее значения функции — с. 282
946. Найти наименьшее значение функции:
1) e^(3x) − 3x на интервале (−1; 1);
2) 1/x + ln x на интервале (0; 2).
1) e^(3x) − 3x на интервале (−1; 1);
2) 1/x + ln x на интервале (0; 2).
1) f′(x) = 3e^(3x) − 3 = 3(e^(3x) − 1) = 0 при x = 0 ∈ (−1; 1). При x < 0 f′ < 0, при x > 0 f′ > 0, значит, x = 0 — точка минимума, и это наименьшее значение на интервале: f(0) = 1 − 0 = 1.
2) f′(x) = −1/x² + 1/x = (x − 1)/x². На (0; 2) стационарная точка x = 1; f′ < 0 на (0; 1), f′ > 0 на (1; 2), значит, x = 1 — точка минимума, f(1) = 1 + 0 = 1. Наименьшее значение 1.
2) f′(x) = −1/x² + 1/x = (x − 1)/x². На (0; 2) стационарная точка x = 1; f′ < 0 на (0; 1), f′ > 0 на (1; 2), значит, x = 1 — точка минимума, f(1) = 1 + 0 = 1. Наименьшее значение 1.
947. Найти наибольшее значение функции:
1) x · корень 4-й степени из (5 − x) на интервале (0; 5);
2) x · ∛(4 − x) на интервале (0; 4);
3) ∛(x²(1 − x)) на интервале (0; 1);
4) ∛((x² − 4x + 5)^(−1)) на интервале (−1; 5).
1) x · корень 4-й степени из (5 − x) на интервале (0; 5);
2) x · ∛(4 − x) на интервале (0; 4);
3) ∛(x²(1 − x)) на интервале (0; 1);
4) ∛((x² − 4x + 5)^(−1)) на интервале (−1; 5).
Используем утверждение: функция, принимающая положительные значения, и её натуральная степень достигают наибольшего значения в одной и той же точке.
1) f(x) > 0 на (0; 5). Рассмотрим g(x) = f⁴ = x⁴(5 − x). g′(x) = 4x³(5 − x) − x⁴ = x³(20 − 5x) = 5x³(4 − x). На (0; 5): g′ > 0 при x < 4, g′ < 0 при x > 4, значит, x = 4 — точка максимума. f(4) = 4 · корень 4-й степени из 1 = 4. Наибольшее значение 4.
2) f(x) > 0 на (0; 4). g(x) = f³ = x³(4 − x), g′(x) = 3x²(4 − x) − x³ = x²(12 − 4x) = 4x²(3 − x). g′ > 0 при x < 3, g′ < 0 при x > 3, значит, x = 3 — точка максимума. f(3) = 3 · ∛1 = 3. Наибольшее значение 3.
3) f(x) > 0 на (0; 1), берём g(x) = f³ = x² − x³. g′(x) = 2x − 3x² = x(2 − 3x). g′ > 0 при 0 < x < 2/3, g′ < 0 при 2/3 < x < 1, значит, x = 2/3 — точка максимума. g(2/3) = 4/9 − 8/27 = 4/27, f = ∛(4/27) = ∛4/3. Наибольшее значение ∛4/3.
4) f(x) = (x² − 4x + 5)^(−1/3) = 1/∛((x − 2)² + 1). Знаменатель наименьший при x = 2 ∈ (−1; 5): (x − 2)² + 1 ≥ 1. Тогда f(2) = 1 — наибольшее значение. Ответ: 1.
1) f(x) > 0 на (0; 5). Рассмотрим g(x) = f⁴ = x⁴(5 − x). g′(x) = 4x³(5 − x) − x⁴ = x³(20 − 5x) = 5x³(4 − x). На (0; 5): g′ > 0 при x < 4, g′ < 0 при x > 4, значит, x = 4 — точка максимума. f(4) = 4 · корень 4-й степени из 1 = 4. Наибольшее значение 4.
2) f(x) > 0 на (0; 4). g(x) = f³ = x³(4 − x), g′(x) = 3x²(4 − x) − x³ = x²(12 − 4x) = 4x²(3 − x). g′ > 0 при x < 3, g′ < 0 при x > 3, значит, x = 3 — точка максимума. f(3) = 3 · ∛1 = 3. Наибольшее значение 3.
3) f(x) > 0 на (0; 1), берём g(x) = f³ = x² − x³. g′(x) = 2x − 3x² = x(2 − 3x). g′ > 0 при 0 < x < 2/3, g′ < 0 при 2/3 < x < 1, значит, x = 2/3 — точка максимума. g(2/3) = 4/9 − 8/27 = 4/27, f = ∛(4/27) = ∛4/3. Наибольшее значение ∛4/3.
4) f(x) = (x² − 4x + 5)^(−1/3) = 1/∛((x − 2)² + 1). Знаменатель наименьший при x = 2 ∈ (−1; 5): (x − 2)² + 1 ≥ 1. Тогда f(2) = 1 — наибольшее значение. Ответ: 1.
948. Из квадратного листа картона со стороной a нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?
[рисунок 141: квадрат со стороной a, по углам вырезаны квадраты со стороной x]
[рисунок 141: квадрат со стороной a, по углам вырезаны квадраты со стороной x]
Пусть высота коробки x (сторона вырезаемых квадратов), 0 < x < a/2. Дно — квадрат со стороной a − 2x. Объём V(x) = x(a − 2x)².
V′(x) = (a − 2x)² − 4x(a − 2x) = (a − 2x)(a − 2x − 4x) = (a − 2x)(a − 6x). На интервале (0; a/2) стационарная точка x = a/6; V′ > 0 при x < a/6, V′ < 0 при x > a/6, значит, x = a/6 — точка максимума, в ней объём наибольший: V = (a/6)(2a/3)² = 2a³/27.
Ответ: высота коробки a/6.
V′(x) = (a − 2x)² − 4x(a − 2x) = (a − 2x)(a − 2x − 4x) = (a − 2x)(a − 6x). На интервале (0; a/2) стационарная точка x = a/6; V′ > 0 при x < a/6, V′ < 0 при x > a/6, значит, x = a/6 — точка максимума, в ней объём наибольший: V = (a/6)(2a/3)² = 2a³/27.
Ответ: высота коробки a/6.
949. Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной a так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая BK = x, найти такое значение x, при котором площадь треугольника наименьшая.
[рисунок 142: равнобедренный треугольник ABC с высотой BD, квадрат со стороной a стоит на основании AC, K — точка пересечения высоты BD с верхней стороной квадрата]
[рисунок 142: равнобедренный треугольник ABC с высотой BD, квадрат со стороной a стоит на основании AC, K — точка пересечения высоты BD с верхней стороной квадрата]
Высота треугольника BD = BK + KD = x + a. Верхняя сторона квадрата параллельна основанию и равна a; из подобия треугольника с вершиной B и верхней стороной квадрата и треугольника ABC: AC/a = BD/BK = (x + a)/x, откуда AC = a(x + a)/x.
Площадь S(x) = ½ · AC · BD = a(x + a)²/(2x), x > 0.
S′(x) = (a/2) · (2(x + a)x − (x + a)²)/x² = (a/2) · (x + a)(x − a)/x². На (0; +∞): S′ < 0 при x < a, S′ > 0 при x > a, значит, x = a — точка минимума, площадь в ней наименьшая: S = a · 4a²/(2a) = 2a².
Ответ: x = a.
Площадь S(x) = ½ · AC · BD = a(x + a)²/(2x), x > 0.
S′(x) = (a/2) · (2(x + a)x − (x + a)²)/x² = (a/2) · (x + a)(x − a)/x². На (0; +∞): S′ < 0 при x < a, S′ > 0 при x > a, значит, x = a — точка минимума, площадь в ней наименьшая: S = a · 4a²/(2a) = 2a².
Ответ: x = a.
950. Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси Ox, вторая — на положительной полуоси Oy, третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе y = 3 − x², выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.
Пусть четвёртая вершина P(x; 3 − x²) лежит на параболе в первой четверти: 0 < x < √3. Тогда вершины прямоугольника: O(0; 0), (x; 0) на оси Ox, (0; 3 − x²) на оси Oy и P. Стороны x и 3 − x², площадь S(x) = x(3 − x²) = 3x − x³.
S′(x) = 3 − 3x² = 3(1 − x)(1 + x). На (0; √3): S′ > 0 при x < 1, S′ < 0 при x > 1, значит, x = 1 — точка максимума, S(1) = 3 − 1 = 2.
Ответ: 2.
S′(x) = 3 − 3x² = 3(1 − x)(1 + x). На (0; √3): S′ > 0 при x < 1, S′ < 0 при x > 1, значит, x = 1 — точка максимума, S(1) = 3 − 1 = 2.
Ответ: 2.
951. Найти на параболе y = x² точку, ближайшую к точке A(2; 0,5).
Пусть точка M(x; x²) лежит на параболе. Квадрат расстояния до A: d²(x) = (x − 2)² + (x² − 0,5)² = x² − 4x + 4 + x⁴ − x² + 0,25 = x⁴ − 4x + 4,25. Расстояние наименьшее, когда наименьший d².
(d²)′ = 4x³ − 4 = 4(x − 1)(x² + x + 1). Так как x² + x + 1 > 0, единственная стационарная точка x = 1; при x < 1 производная отрицательна, при x > 1 положительна, значит, x = 1 — точка минимума. Тогда y = 1, d² = 1 − 4 + 4,25 = 1,25.
Ответ: (1; 1).
(d²)′ = 4x³ − 4 = 4(x − 1)(x² + x + 1). Так как x² + x + 1 > 0, единственная стационарная точка x = 1; при x < 1 производная отрицательна, при x > 1 положительна, значит, x = 1 — точка минимума. Тогда y = 1, d² = 1 − 4 + 4,25 = 1,25.
Ответ: (1; 1).
952. Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?
Пусть ширина доски a, угол наклона боковой стенки к плоскости основания (к горизонтали) α, 0 < α < π/2. Поперечное сечение — равнобедренная трапеция с нижним основанием a, боковыми сторонами a, высотой a sin α и верхним основанием a + 2a cos α.
Площадь S(α) = ½(a + a + 2a cos α) · a sin α = a² sin α (1 + cos α).
S′(α) = a²(cos α(1 + cos α) − sin² α) = a²(cos α + cos² α − sin² α) = a²(cos α + cos 2α) = a²(2cos² α + cos α − 1) = a²(2cos α − 1)(cos α + 1).
На (0; π/2) cos α + 1 > 0, поэтому S′ = 0 при cos α = 1/2, α = π/3. При α < π/3 cos α > 1/2 и S′ > 0, при α > π/3 S′ < 0, значит, α = π/3 — точка максимума. Наибольшая площадь S = a² · (√3/2) · (3/2) = 3√3a²/4.
Ответ: α = π/3 (угол между стенкой и дном внутри жёлоба при этом равен 2π/3, то есть 120°).
Площадь S(α) = ½(a + a + 2a cos α) · a sin α = a² sin α (1 + cos α).
S′(α) = a²(cos α(1 + cos α) − sin² α) = a²(cos α + cos² α − sin² α) = a²(cos α + cos 2α) = a²(2cos² α + cos α − 1) = a²(2cos α − 1)(cos α + 1).
На (0; π/2) cos α + 1 > 0, поэтому S′ = 0 при cos α = 1/2, α = π/3. При α < π/3 cos α > 1/2 и S′ > 0, при α > π/3 S′ < 0, значит, α = π/3 — точка максимума. Наибольшая площадь S = a² · (√3/2) · (3/2) = 3√3a²/4.
Ответ: α = π/3 (угол между стенкой и дном внутри жёлоба при этом равен 2π/3, то есть 120°).