Глава IX. § 52. Наибольшее и наименьшее значения функции — с. 280
936. Используя график функции (рис. 140), найти её точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения.
[рисунок 140: четыре графика на клетчатой бумаге: а) y = f(x) на отрезке [−5; 2]; б) y = f₁(x); в) y = f₂(x); г) y = f₃(x)]
[рисунок 140: четыре графика на клетчатой бумаге: а) y = f(x) на отрезке [−5; 2]; б) y = f₁(x); в) y = f₂(x); г) y = f₃(x)]
Значения читаем по клеткам рисунка (сторона клетки — единичный отрезок). Наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка, поэтому сравниваем значения в точках экстремума и на концах.
а) Область определения [−5; 2]. Точка минимума x = −3, f(−3) = −3; точка максимума x = 0, f(0) = 1. На концах f(−5) = 2, f(2) = −2. Наибольшее значение 2 (при x = −5), наименьшее −3 (при x = −3).
б) Область определения [−4; 3]. Точка минимума x = −3, f₁(−3) = −2; точка максимума x = 0, f₁(0) = 3. На концах f₁(−4) = −1, f₁(3) = −3. Наибольшее значение 3 (при x = 0), наименьшее −3 (при x = 3).
в) Область определения [−4; 5]. Точка максимума x = −2, f₂(−2) = 3; точка минимума x = 2, f₂(2) = −3. На концах f₂(−4) = −1, f₂(5) = 2. Наибольшее значение 3 (при x = −2), наименьшее −3 (при x = 2).
г) Область определения [−4; 3]. Точка минимума x = −2, f₃(−2) = −1; точка максимума x = 1, f₃(1) = 3. На концах f₃(−4) = 4, f₃(3) = −2. Наибольшее значение 4 (при x = −4), наименьшее −2 (при x = 3).
Оговорка: границы областей и значения сняты с рисунка по клеткам.
а) Область определения [−5; 2]. Точка минимума x = −3, f(−3) = −3; точка максимума x = 0, f(0) = 1. На концах f(−5) = 2, f(2) = −2. Наибольшее значение 2 (при x = −5), наименьшее −3 (при x = −3).
б) Область определения [−4; 3]. Точка минимума x = −3, f₁(−3) = −2; точка максимума x = 0, f₁(0) = 3. На концах f₁(−4) = −1, f₁(3) = −3. Наибольшее значение 3 (при x = 0), наименьшее −3 (при x = 3).
в) Область определения [−4; 5]. Точка максимума x = −2, f₂(−2) = 3; точка минимума x = 2, f₂(2) = −3. На концах f₂(−4) = −1, f₂(5) = 2. Наибольшее значение 3 (при x = −2), наименьшее −3 (при x = 2).
г) Область определения [−4; 3]. Точка минимума x = −2, f₃(−2) = −1; точка максимума x = 1, f₃(1) = 3. На концах f₃(−4) = 4, f₃(3) = −2. Наибольшее значение 4 (при x = −4), наименьшее −2 (при x = 3).
Оговорка: границы областей и значения сняты с рисунка по клеткам.
937. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x³ + 3x² − 36x:
1) на отрезке [−4; 3];
2) на отрезке [−2; 1].
1) на отрезке [−4; 3];
2) на отрезке [−2; 1].
f′(x) = 6x² + 6x − 36 = 6(x² + x − 6) = 6(x + 3)(x − 2). Критические точки x = −3 и x = 2.
1) Обе точки принадлежат отрезку [−4; 3]. f(−4) = −128 + 48 + 144 = 64; f(−3) = −54 + 27 + 108 = 81; f(2) = 16 + 12 − 72 = −44; f(3) = 54 + 27 − 108 = −27. Наибольшее значение 81 (при x = −3), наименьшее −44 (при x = 2).
2) На отрезке [−2; 1] критических точек нет (−3 и 2 не принадлежат ему). f(−2) = −16 + 12 + 72 = 68; f(1) = 2 + 3 − 36 = −31. Наибольшее значение 68, наименьшее −31.
1) Обе точки принадлежат отрезку [−4; 3]. f(−4) = −128 + 48 + 144 = 64; f(−3) = −54 + 27 + 108 = 81; f(2) = 16 + 12 − 72 = −44; f(3) = 54 + 27 − 108 = −27. Наибольшее значение 81 (при x = −3), наименьшее −44 (при x = 2).
2) На отрезке [−2; 1] критических точек нет (−3 и 2 не принадлежат ему). f(−2) = −16 + 12 + 72 = 68; f(1) = 2 + 3 − 36 = −31. Наибольшее значение 68, наименьшее −31.
938. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f(x) = x⁴ − 8x² + 5 на отрезке [−3; 2];
2) f(x) = x + 1/x на отрезке [−2; −0,5];
3) f(x) = sin x + cos x на отрезке [π; 3π/2].
1) f(x) = x⁴ − 8x² + 5 на отрезке [−3; 2];
2) f(x) = x + 1/x на отрезке [−2; −0,5];
3) f(x) = sin x + cos x на отрезке [π; 3π/2].
1) f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2). Критические точки 0, 2, −2 лежат на отрезке [−3; 2]. f(−3) = 81 − 72 + 5 = 14; f(−2) = 16 − 32 + 5 = −11; f(0) = 5; f(2) = −11. Наибольшее значение 14, наименьшее −11.
2) f′(x) = 1 − 1/x² = 0 при x = ±1; на отрезке [−2; −0,5] лежит x = −1. f(−2) = −2 − 0,5 = −2,5; f(−1) = −2; f(−0,5) = −0,5 − 2 = −2,5. Наибольшее значение −2, наименьшее −2,5.
3) f′(x) = cos x − sin x = 0 при tg x = 1, x = π/4 + πn; на отрезке [π; 3π/2] лежит x = 5π/4. f(π) = 0 − 1 = −1; f(5π/4) = −√2/2 − √2/2 = −√2; f(3π/2) = −1 + 0 = −1. Наибольшее значение −1, наименьшее −√2.
2) f′(x) = 1 − 1/x² = 0 при x = ±1; на отрезке [−2; −0,5] лежит x = −1. f(−2) = −2 − 0,5 = −2,5; f(−1) = −2; f(−0,5) = −0,5 − 2 = −2,5. Наибольшее значение −2, наименьшее −2,5.
3) f′(x) = cos x − sin x = 0 при tg x = 1, x = π/4 + πn; на отрезке [π; 3π/2] лежит x = 5π/4. f(π) = 0 − 1 = −1; f(5π/4) = −√2/2 − √2/2 = −√2; f(3π/2) = −1 + 0 = −1. Наибольшее значение −1, наименьшее −√2.