Упражнения 926–935 — Глава IX. § 51. Применение производной к…

Во всех случаях D(f) = R. Исследуем функцию по плану: производная, стационарные точки, знаки производной, значения в точках экстремума, нули функции.
1) y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Стационарные точки x = 0, x = 2. Производная положительна при x < 0 и x > 2, отрицательна на (0; 2). Значит, x = 0 — точка максимума, y(0) = 4; x = 2 — точка минимума, y(2) = 8 − 12 + 4 = 0. Нули: x³ − 3x² + 4 = (x + 1)(x − 2)² = 0, x = −1 и x = 2 (график касается оси Ox в точке (2; 0)). Функция возрастает на (−∞; 0] и [2; +∞), убывает на [0; 2].
2) y′ = 3 − 3x² = 3(1 − x)(1 + x). Стационарные точки x = −1, x = 1. Производная отрицательна при x < −1 и x > 1, положительна на (−1; 1). Поэтому x = −1 — точка минимума, y(−1) = 2 − 3 + 1 = 0; x = 1 — точка максимума, y(1) = 2 + 3 − 1 = 4. Нули: 2 + 3x − x³ = −(x + 1)²(x − 2) = 0, x = −1 (касание оси) и x = 2; y(0) = 2.
3) y = −x(x − 2)², y′ = −3x² + 8x − 4 = −(3x − 2)(x − 2). Стационарные точки x = 2/3 и x = 2. Производная отрицательна при x < 2/3 и x > 2, положительна на (2/3; 2). Значит, x = 2/3 — точка минимума, y(2/3) = −(2/3)(4/3)² = −32/27; x = 2 — точка максимума, y(2) = 0. Нули: x = 0 и x = 2 (касание).
4) y = x(x + 3)², y′ = 3x² + 12x + 9 = 3(x + 1)(x + 3). Стационарные точки x = −3, x = −1. Производная положительна при x < −3 и x > −1, отрицательна на (−3; −1). Поэтому x = −3 — точка максимума, y(−3) = 0; x = −1 — точка минимума, y(−1) = −1 + 6 − 9 = −4. Нули: x = −3 (касание) и x = 0.
По найденным точкам строим графики (рисунок).

Все четыре функции чётные (содержат только чётные степени x), поэтому их графики симметричны относительно оси Oy; достаточно исследовать их при x ≥ 0.
1) y = −(x² − 4)², y′ = −4x³ + 16x = −4x(x − 2)(x + 2). Критические точки 0, ±2. При x > 0: y′ > 0 на (0; 2), y′ < 0 на (2; +∞). Значит, x = ±2 — точки максимума, y(±2) = 0 (график касается оси Ox); x = 0 — точка минимума, y(0) = −16.
2) y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1). При x > 0: y′ < 0 на (0; 1), y′ > 0 на (1; +∞). Значит, x = ±1 — точки минимума, y(±1) = 1 − 2 + 2 = 1; x = 0 — точка максимума, y(0) = 2. Так как y = (x² − 1)² + 1 ≥ 1, график с осью Ox не пересекается.
3) y′ = x³ − x⁵/4 = x³(4 − x²)/4. При x > 0: y′ > 0 на (0; 2), y′ < 0 на (2; +∞). Значит, x = ±2 — точки максимума, y(±2) = 4 − 64/24 = 4/3; x = 0 — точка минимума, y(0) = 0. Нули: x²(6 − x²) = 0, x = 0, x = ±√6.
4) y′ = 24x³ − 24x⁵ = 24x³(1 − x²). При x > 0: y′ > 0 на (0; 1), y′ < 0 на (1; +∞). Значит, x = ±1 — точки максимума, y(±1) = 6 − 4 = 2; x = 0 — точка минимума, y(0) = 0. Нули: x²(6 − 4x²) = 0, x = 0, x = ±√(3/2).
Графики показаны на рисунке.

1) y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Стационарные точки x = 0 и x = 2 принадлежат отрезку [−1; 3]. Знаки производной: «+» на (−1; 0), «−» на (0; 2), «+» на (2; 3). Значения: y(−1) = −1 − 3 + 2 = −2; y(0) = 2 (максимум); y(2) = 8 − 12 + 2 = −2 (минимум); y(3) = 27 − 27 + 2 = 2. Нули: x³ − 3x² + 2 = (x − 1)(x² − 2x − 2), x = 1, x = 1 ± √3; на отрезке лежат x = 1 и x = 1 − √3 ≈ −0,73 и x = 1 + √3 ≈ 2,73. Строим плавную кривую через найденные точки.
2) Функция чётная. y′ = 4x³ − 20x = 4x(x² − 5), критические точки 0, ±√5 ≈ ±2,24, все лежат на [−3; 3]. При x ∈ (0; 3): y′ < 0 на (0; √5), y′ > 0 на (√5; 3). Значит, x = 0 — точка максимума, y(0) = 9; x = ±√5 — точки минимума, y(±√5) = 25 − 50 + 9 = −16; на концах y(±3) = 81 − 90 + 9 = 0. Нули: x⁴ − 10x² + 9 = (x² − 1)(x² − 9), x = ±1, ±3. Строим кривую при x ≥ 0 и отражаем её симметрично относительно оси Oy.
Графики показаны на рисунке.

Точки экстремума функции f — это точки, в которых её производная g(x) = f′(x) обращается в нуль и меняет знак. По графику g(x) пересекает ось Ox (и меняет знак) в точках x = −6, −3, 1, 4, 6.
x = −6: g меняет знак с «−» на «+» — точка минимума.
x = −3: знак меняется с «+» на «−» — точка максимума.
x = 1: с «−» на «+» — точка минимума.
x = 4: с «+» на «−» — точка максимума.
x = 6: с «−» на «+» — точка минимума.
Ответ: точки минимума −6, 1, 6; точки максимума −3, 4.

Во всех случаях D(f) = R.
1) y′ = 15x² − 15x⁴ = 15x²(1 − x)(1 + x). Стационарные точки −1, 0, 1. Знаки y′: «−» при x < −1, «+» на (−1; 0) и (0; 1), «−» при x > 1. Значит, x = −1 — точка минимума, y(−1) = 2 − 5 + 3 = 0; x = 1 — точка максимума, y(1) = 2 + 5 − 3 = 4; в точке x = 0 экстремума нет (знак производной не меняется), y(0) = 2, касательная горизонтальна.
2) Функция нечётная. y′ = 15x⁴ − 15x² = 15x²(x − 1)(x + 1). Знаки: «+» при x < −1, «−» на (−1; 0) и (0; 1), «+» при x > 1. Значит, x = −1 — точка максимума, y(−1) = −3 + 5 = 2; x = 1 — точка минимума, y(1) = −2; в точке x = 0 экстремума нет. Нули: x³(3x² − 5) = 0, x = 0, x = ±√(5/3) ≈ ±1,29.
3) y′ = 20x⁴ − 20x³ = 20x³(x − 1). Знаки: «+» при x < 0, «−» на (0; 1), «+» при x > 1. Значит, x = 0 — точка максимума, y(0) = 0; x = 1 — точка минимума, y(1) = 4 − 5 = −1. Нули: x⁴(4x − 5) = 0, x = 0 и x = 5/4.
4) Функция нечётная. y′ = x⁴/2 − 5x²/2 + 2 = (x⁴ − 5x² + 4)/2 = (x² − 1)(x² − 4)/2 = (x − 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2)/2. Знаки y′: «+» при x < −2, «−» на (−2; −1), «+» на (−1; 1), «−» на (1; 2), «+» при x > 2. Значит, x = −2 и x = 1 — точки максимума, x = −1 и x = 2 — точки минимума. y(1) = 1/10 − 5/6 + 2 = 19/15, y(2) = 16/5 − 20/3 + 4 = 8/15, а y(−1) = −19/15, y(−2) = −8/15. Нули: x(x⁴ − 25x²/3 + 20) = 0, кроме x = 0 других нулей нет, так как дискриминант уравнения t² − (25/3)t + 20 = 0 отрицателен (625/9 − 80 < 0).
Графики показаны на рисунке.

1) D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Функция нечётная: y(−x) = −3x − 1/(3x) = −y(x), график симметричен относительно начала координат, исследуем x > 0. y′ = 3 − 1/(3x²) = (9x² − 1)/(3x²). При x > 0 стационарная точка x = 1/3: y′ < 0 на (0; 1/3), y′ > 0 на (1/3; +∞), значит, x = 1/3 — точка минимума, y(1/3) = 1 + 1 = 2. По симметрии x = −1/3 — точка максимума, y(−1/3) = −2. Функция убывает на [−1/3; 0) и (0; 1/3], возрастает на (−∞; −1/3] и [1/3; +∞). Прямая x = 0 — вертикальная асимптота, а так как y − 3x = 1/(3x) → 0 при x → ±∞, прямая y = 3x — наклонная асимптота. Нулей нет (3x и 1/(3x) одного знака).
2) D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); функция нечётная. y′ = −4/x² − 1 < 0 при всех x ≠ 0, поэтому функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞), экстремумов нет. Нули: 4/x = x, x² = 4, x = ±2. Асимптоты: x = 0 (при x → 0 справа y → +∞, слева y → −∞) и y = −x (так как y + x = 4/x → 0).
3) D(f) = (0; +∞). y′ = 1 + 1/(2x√x) > 0, функция возрастает на всей области определения, экстремумов нет. Нуль: x = 1/√x, x√x = 1, x = 1. При x → 0+ y → −∞ (ось Oy — вертикальная асимптота), при x → +∞ y → +∞. Дополнительные точки: y(4) = 4 − 1/2 = 3,5; y(1/4) = 1/4 − 2 = −1,75.
Графики показаны на рисунке (пунктиром — асимптоты).

Во всех случаях D(f) = R.
1) y′ = e^(−x) − xe^(−x) = (1 − x)e^(−x). Знак y′ совпадает со знаком 1 − x: y′ > 0 при x < 1, y′ < 0 при x > 1. Значит, x = 1 — точка максимума, y(1) = 1/e ≈ 0,37. Нуль: x = 0. При x → +∞ y → 0 (e^(−x) убывает быстрее, чем растёт x), ось Ox — горизонтальная асимптота; при x → −∞ y → −∞. Функция возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞).
2) y′ = e^x + xe^x = (1 + x)e^x. y′ < 0 при x < −1, y′ > 0 при x > −1. Значит, x = −1 — точка минимума, y(−1) = −1/e ≈ −0,37. Нуль: x = 0. При x → −∞ y → 0 (асимптота y = 0), при x → +∞ y → +∞. (График получается из графика 1) симметрией относительно оси Oy и сменой знака: y(−x) от 1) равно −x·e^x.)
3) Функция чётная. y′ = 2x·e^(x²): y′ < 0 при x < 0, y′ > 0 при x > 0. Значит, x = 0 — точка минимума, y(0) = 1; функция убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞). Всегда y ≥ 1, нулей нет; y(1) = e ≈ 2,72, график быстро растёт.
4) Функция чётная. y′ = −2x·e^(−x²): y′ > 0 при x < 0, y′ < 0 при x > 0. Значит, x = 0 — точка максимума, y(0) = 1. Функция положительна, при x → ±∞ y → 0, ось Ox — горизонтальная асимптота; y(1) = 1/e ≈ 0,37.
Графики показаны на рисунке.

1) D(f): x ≠ 2. Выделим целую часть: y = x + 2 + 4/(x − 2), поэтому x = 2 — вертикальная асимптота, y = x + 2 — наклонная асимптота. y′ = (2x(x − 2) − x²)/(x − 2)² = x(x − 4)/(x − 2)². Знаки y′: «+» при x < 0, «−» на (0; 2) и (2; 4), «+» при x > 4. Значит, x = 0 — точка максимума, y(0) = 0; x = 4 — точка минимума, y(4) = 16/2 = 8. Единственный нуль x = 0.
2) D(f): x ≠ 0. y = −x + 3 − 1/x, поэтому x = 0 — вертикальная асимптота, y = −x + 3 — наклонная асимптота. y′ = −1 + 1/x² = (1 − x²)/x². Знаки: «−» при x < −1, «+» на (−1; 0) и «+» на (0; 1), «−» при x > 1. Значит, x = −1 — точка минимума, y(−1) = 1 + 3 + 1 = 5; x = 1 — точка максимума, y(1) = −1 + 3 − 1 = 1. Нули: x² − 3x + 1 = 0, x = (3 ± √5)/2 ≈ 0,38 и 2,62.
3) D(f): x ≠ 2. Положим t = x − 2, тогда числитель 4 + x − 2x² = −2t² − 7t − 2 и y = −2 − 7/t − 2/t². При t → ±∞ y → −2 (горизонтальная асимптота y = −2); при x → 2 числитель стремится к −2, знаменатель к +0, поэтому y → −∞ с обеих сторон (вертикальная асимптота x = 2). y′ = 7/t² + 4/t³ = (7t + 4)/t³ = (7x − 10)/(x − 2)³. Знаки: «+» при x < 10/7, «−» на (10/7; 2), «+» при x > 2. Значит, x = 10/7 — точка максимума, y(10/7) = 33/8. Нули: 2t² + 7t + 2 = 0, t = (−7 ± √33)/4, x = (1 ± √33)/4 ≈ 1,69 и −1,19; y(0) = 1.
Графики показаны на рисунке (пунктиром — асимптоты).

1) Пусть f(x) = x⁴ − 4x³ + 20, D(f) = R. f′(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3). Знаки f′: «−» при x < 0 и на (0; 3), «+» при x > 3. Значит, f убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞), x = 3 — единственная точка экстремума (минимума), f(3) = 81 − 108 + 20 = −7 < 0. При x → ±∞ f(x) → +∞. На (−∞; 3) функция убывает от +∞ до −7 и принимает значение 0 ровно один раз, на (3; +∞) возрастает от −7 до +∞ и также принимает значение 0 ровно один раз. Ответ: 2 корня.
2) Пусть g(x) = −3x⁴ + 8x³ − 7. g′(x) = −12x³ + 24x² = 12x²(2 − x). Знаки g′: «+» при x < 0 и на (0; 2), «−» при x > 2. Значит, g возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞), максимум g(2) = −48 + 64 − 7 = 9 > 0. При x → ±∞ g(x) → −∞. На (−∞; 2) функция возрастает от −∞ до 9 и обращается в нуль один раз, на (2; +∞) убывает от 9 до −∞ и также обращается в нуль один раз. Ответ: 2 корня.

Исследуем f(x) = (x³ − 4)/(x − 1)³. D(f): x ≠ 1.
Производная: f′(x) = (3x²(x − 1)³ − 3(x − 1)²(x³ − 4))/(x − 1)⁶ = 3(x²(x − 1) − x³ + 4)/(x − 1)⁴ = 3(4 − x²)/(x − 1)⁴. Стационарные точки x = −2 и x = 2. Знаки f′: «−» при x < −2, «+» на (−2; 1) и (1; 2), «−» при x > 2. Значит, x = −2 — точка минимума, f(−2) = (−12)/(−27) = 4/9; x = 2 — точка максимума, f(2) = 4/1 = 4.
Асимптоты: f(x) → 1 при x → ±∞ (отношение многочленов одной степени с коэффициентами при старших членах 1), причём f(x) − 1 = 3(x² − x − 1)/(x − 1)³: при x → −∞ f(x) < 1, при x → +∞ f(x) > 1. При x → 1− числитель стремится к −3, знаменатель к −0, поэтому f → +∞; при x → 1+ f → −∞. Прямая x = 1 — вертикальная асимптота. Точки: f(0) = 4, нуль x = ∛4 ≈ 1,59.
Поведение по ветвям:
— на (−∞; −2] функция убывает от 1 (не достигая) до 4/9; на [−2; 1) возрастает от 4/9 до +∞;
— на (1; 2] возрастает от −∞ до 4; на [2; +∞) убывает от 4 до 1 (не достигая).
Число корней уравнения f(x) = C равно числу точек пересечения графика с прямой y = C:
C < 4/9: на левой части (x < 1) пересечений нет, на правой (x > 1) одно, всего 1 корень.
C = 4/9: один корень x = −2 слева и один справа, всего 2 корня.
4/9 < C < 1: два корня слева (на (−∞; −2) и (−2; 1)) и один справа, всего 3 корня.
C = 1: слева один корень (на (−2; 1)), справа один (на (1; 2)), всего 2 корня.
1 < C < 4: слева один корень, справа два (на (1; 2) и на (2; +∞)), всего 3 корня.
C = 4: слева один корень, справа один (x = 2), всего 2 корня (x = 0 и x = 2).
C > 4: слева один корень, справа нет, всего 1 корень.
Ответ: один корень при C < 4/9 и C > 4; два корня при C = 4/9, C = 1, C = 4; три корня при 4/9 < C < 1 и 1 < C < 4.