Глава IX. § 50. Экстремумы функции — с. 270
913. Найти стационарные точки функции:
1) y = (2 + x²)/x;
2) y = (x² + 3)/(2x);
3) y = e^(x² − 1);
4) y = 2^(x² + x).
1) y = (2 + x²)/x;
2) y = (x² + 3)/(2x);
3) y = e^(x² − 1);
4) y = 2^(x² + x).
1) D(y): x ≠ 0. y = 2/x + x, y′ = 1 − 2/x² = 0 ⇔ x² = 2. Ответ: ±√2.
2) D(y): x ≠ 0. y = x/2 + 3/(2x), y′ = 1/2 − 3/(2x²) = 0 ⇔ x² = 3. Ответ: ±√3.
3) y′ = 2x·e^(x² − 1) = 0 ⇔ x = 0. Ответ: 0.
4) y′ = (2x + 1)·2^(x² + x)·ln 2 = 0 ⇔ x = −1/2. Ответ: −1/2.
2) D(y): x ≠ 0. y = x/2 + 3/(2x), y′ = 1/2 − 3/(2x²) = 0 ⇔ x² = 3. Ответ: ±√3.
3) y′ = 2x·e^(x² − 1) = 0 ⇔ x = 0. Ответ: 0.
4) y′ = (2x + 1)·2^(x² + x)·ln 2 = 0 ⇔ x = −1/2. Ответ: −1/2.
914. Найти точки экстремума функции:
1) y = 2x² − 20x + 1;
2) y = 3x² + 36x − 1;
3) y = x/5 + 5/x;
4) y = 4/x + x/16.
1) y = 2x² − 20x + 1;
2) y = 3x² + 36x − 1;
3) y = x/5 + 5/x;
4) y = 4/x + x/16.
1) y′ = 4x − 20 = 0 ⇔ x = 5; при переходе через 5 знак меняется с «−» на «+». Ответ: x = 5 — точка минимума.
2) y′ = 6x + 36 = 0 ⇔ x = −6; знак меняется с «−» на «+». Ответ: x = −6 — точка минимума.
3) D(y): x ≠ 0. y′ = 1/5 − 5/x² = (x² − 25)/(5x²) = 0 ⇔ x = ±5. y′ > 0 при x < −5 и x > 5, y′ < 0 на (−5; 0) и (0; 5). Ответ: x = −5 — точка максимума, x = 5 — точка минимума.
4) D(y): x ≠ 0. y′ = −4/x² + 1/16 = (x² − 64)/(16x²) = 0 ⇔ x = ±8. y′ > 0 при |x| > 8, y′ < 0 при 0 < |x| < 8. Ответ: x = −8 — точка максимума, x = 8 — точка минимума.
2) y′ = 6x + 36 = 0 ⇔ x = −6; знак меняется с «−» на «+». Ответ: x = −6 — точка минимума.
3) D(y): x ≠ 0. y′ = 1/5 − 5/x² = (x² − 25)/(5x²) = 0 ⇔ x = ±5. y′ > 0 при x < −5 и x > 5, y′ < 0 на (−5; 0) и (0; 5). Ответ: x = −5 — точка максимума, x = 5 — точка минимума.
4) D(y): x ≠ 0. y′ = −4/x² + 1/16 = (x² − 64)/(16x²) = 0 ⇔ x = ±8. y′ > 0 при |x| > 8, y′ < 0 при 0 < |x| < 8. Ответ: x = −8 — точка максимума, x = 8 — точка минимума.
915. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) y = x³ − 3x²;
2) y = x^4 − 8x² + 3;
3) y = x + sin x;
4) y = 2 cos x + x.
1) y = x³ − 3x²;
2) y = x^4 − 8x² + 3;
3) y = x + sin x;
4) y = 2 cos x + x.
1) y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Знаки: + на (−∞; 0), − на (0; 2), + на (2; +∞). x = 0 — максимум, y(0) = 0; x = 2 — минимум, y(2) = 8 − 12 = −4.
2) y′ = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2). Знаки: − на (−∞; −2), + на (−2; 0), − на (0; 2), + на (2; +∞). x = 0 — максимум, y(0) = 3; x = ±2 — минимумы, y(±2) = 16 − 32 + 3 = −13.
3) y′ = 1 + cos x ≥ 0 при всех x, равенство лишь при x = π + 2πn, знак производной не меняется. Функция возрастает на R. Ответ: точек экстремума нет.
4) y′ = 1 − 2 sin x = 0 ⇔ sin x = 1/2 ⇔ x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. y′ < 0 при sin x > 1/2, то есть при x ∈ (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), и y′ > 0 в остальных точках. В точках x = π/6 + 2πn знак меняется с «+» на «−» — максимум, y = 2·(√3/2) + π/6 + 2πn = √3 + π/6 + 2πn. В точках x = 5π/6 + 2πn знак меняется с «−» на «+» — минимум, y = −√3 + 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
2) y′ = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2). Знаки: − на (−∞; −2), + на (−2; 0), − на (0; 2), + на (2; +∞). x = 0 — максимум, y(0) = 3; x = ±2 — минимумы, y(±2) = 16 − 32 + 3 = −13.
3) y′ = 1 + cos x ≥ 0 при всех x, равенство лишь при x = π + 2πn, знак производной не меняется. Функция возрастает на R. Ответ: точек экстремума нет.
4) y′ = 1 − 2 sin x = 0 ⇔ sin x = 1/2 ⇔ x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. y′ < 0 при sin x > 1/2, то есть при x ∈ (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), и y′ > 0 в остальных точках. В точках x = π/6 + 2πn знак меняется с «+» на «−» — максимум, y = 2·(√3/2) + π/6 + 2πn = √3 + π/6 + 2πn. В точках x = 5π/6 + 2πn знак меняется с «−» на «+» — минимум, y = −√3 + 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
916. Имеет ли точки экстремума функция:
1) y = 2x + 5;
2) y = 7 − 5x;
3) y = x³ + 2x;
4) y = x/2 − 1/x?
1) y = 2x + 5;
2) y = 7 − 5x;
3) y = x³ + 2x;
4) y = x/2 − 1/x?
1) y′ = 2 ≠ 0, критических точек нет — точек экстремума нет.
2) y′ = −5 ≠ 0 — точек экстремума нет.
3) y′ = 3x² + 2 > 0 при всех x, уравнение y′ = 0 корней не имеет, функция возрастает — точек экстремума нет.
4) D(y): x ≠ 0. y′ = 1/2 + 1/x² > 0 при всех x ≠ 0, критических точек нет (в точке x = 0 функция не определена) — точек экстремума нет.
Ответ: во всех четырёх случаях нет.
2) y′ = −5 ≠ 0 — точек экстремума нет.
3) y′ = 3x² + 2 > 0 при всех x, уравнение y′ = 0 корней не имеет, функция возрастает — точек экстремума нет.
4) D(y): x ≠ 0. y′ = 1/2 + 1/x² > 0 при всех x ≠ 0, критических точек нет (в точке x = 0 функция не определена) — точек экстремума нет.
Ответ: во всех четырёх случаях нет.
917. Построить эскиз графика непрерывной функции y = f(x), определённой на отрезке [a; b], если:
1) a = −1, b = 7, f(−1) = 0, f(7) = −2, f′(x) > 0 при −1 < x < 4, f′(x) < 0 при 4 < x < 7, f′(4) = 0;
2) a = −5, b = 4, f(−5) = 1, f(4) = −3, f′(x) < 0 при −5 < x < −1, f′(x) > 0 при −1 < x < 4, f′(−1) = 0.
1) a = −1, b = 7, f(−1) = 0, f(7) = −2, f′(x) > 0 при −1 < x < 4, f′(x) < 0 при 4 < x < 7, f′(4) = 0;
2) a = −5, b = 4, f(−5) = 1, f(4) = −3, f′(x) < 0 при −5 < x < −1, f′(x) > 0 при −1 < x < 4, f′(−1) = 0.
1) На [−1; 4] функция возрастает от 0, в точке x = 4 касательная горизонтальна и знак f′ меняется с «+» на «−» — максимум (значение f(4) в условии не задано, на эскизе f(4) = 3). На [4; 7] функция убывает до −2.
2) На [−5; −1] функция убывает от 1, в точке x = −1 касательная горизонтальна и знак f′ меняется с «−» на «+» — минимум; значение f(−1) должно быть меньше f(4) = −3 (на эскизе −4,5). На [−1; 4] функция возрастает до −3.
Эскизы показаны на рисунке.
2) На [−5; −1] функция убывает от 1, в точке x = −1 касательная горизонтальна и знак f′ меняется с «−» на «+» — минимум; значение f(−1) должно быть меньше f(4) = −3 (на эскизе −4,5). На [−1; 4] функция возрастает до −3.
Эскизы показаны на рисунке.
918. Найти критические точки функции:
1) y = √(2 − 3x²);
2) y = √(x³ − 3x);
3) y = |x − 1|;
4) y = x² − |x| − 2.
1) y = √(2 − 3x²);
2) y = √(x³ − 3x);
3) y = |x − 1|;
4) y = x² − |x| − 2.
Критические точки — точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
1) D(y): 2 − 3x² ≥ 0 ⇔ |x| ≤ √(2/3). y′ = −3x/√(2 − 3x²). y′ = 0 при x = 0; y′ не существует в граничных точках x = ±√(2/3). Ответ: 0; ±√(2/3) (последние — концы области определения).
2) D(y): x(x² − 3) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−√3; 0] ∪ [√3; +∞). y′ = (3x² − 3)/(2√(x³ − 3x)). y′ = 0 при x = ±1, но x = 1 не входит в область определения (1 − 3 < 0), x = −1 входит. Производная не существует при x³ − 3x = 0, то есть в точках −√3, 0, √3 (концы промежутков области определения). Ответ: −1; −√3; 0; √3.
3) y′ = 1 при x > 1, y′ = −1 при x < 1, в точке x = 1 производной нет (излом). Ответ: x = 1.
4) При x > 0: y = x² − x − 2, y′ = 2x − 1 = 0 при x = 1/2. При x < 0: y = x² + x − 2, y′ = 2x + 1 = 0 при x = −1/2. В точке x = 0 односторонние производные −1 и +1 различны, производной нет. Ответ: −1/2; 0; 1/2.
Оговорка: в ответах учебника для 2) указаны также x = 1; здесь x = 1 не принадлежит области определения. Являются ли концы области определения критическими, зависит от трактовки; они приведены как точки, где производная не существует.
1) D(y): 2 − 3x² ≥ 0 ⇔ |x| ≤ √(2/3). y′ = −3x/√(2 − 3x²). y′ = 0 при x = 0; y′ не существует в граничных точках x = ±√(2/3). Ответ: 0; ±√(2/3) (последние — концы области определения).
2) D(y): x(x² − 3) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−√3; 0] ∪ [√3; +∞). y′ = (3x² − 3)/(2√(x³ − 3x)). y′ = 0 при x = ±1, но x = 1 не входит в область определения (1 − 3 < 0), x = −1 входит. Производная не существует при x³ − 3x = 0, то есть в точках −√3, 0, √3 (концы промежутков области определения). Ответ: −1; −√3; 0; √3.
3) y′ = 1 при x > 1, y′ = −1 при x < 1, в точке x = 1 производной нет (излом). Ответ: x = 1.
4) При x > 0: y = x² − x − 2, y′ = 2x − 1 = 0 при x = 1/2. При x < 0: y = x² + x − 2, y′ = 2x + 1 = 0 при x = −1/2. В точке x = 0 односторонние производные −1 и +1 различны, производной нет. Ответ: −1/2; 0; 1/2.
Оговорка: в ответах учебника для 2) указаны также x = 1; здесь x = 1 не принадлежит области определения. Являются ли концы области определения критическими, зависит от трактовки; они приведены как точки, где производная не существует.
919. Найти точки экстремума функции:
1) y = x + √(3 − x);
2) y = (x − 1)^(6/7);
3) y = x − sin 2x;
4) y = cos 3x − 3x.
1) y = x + √(3 − x);
2) y = (x − 1)^(6/7);
3) y = x − sin 2x;
4) y = cos 3x − 3x.
1) D(y): x ≤ 3. y′ = 1 − 1/(2√(3 − x)) = 0 ⇔ √(3 − x) = 1/2 ⇔ x = 11/4. При x < 11/4: √(3 − x) > 1/2, y′ > 0; при 11/4 < x < 3: y′ < 0. Ответ: x = 11/4 — точка максимума, y(11/4) = 13/4.
2) По определению степени с рациональным показателем область определения: x > 1. y′ = (6/7)(x − 1)^(−1/7) > 0 на (1; +∞): функция возрастает, критических точек в области определения нет. Ответ: точек экстремума нет.
Оговорка: если считать функцию определённой и при x < 1 (как корень седьмой степени из (x − 1)⁶), то x = 1 была бы точкой минимума; здесь принято определение степени из учебника (основание положительно).
3) y′ = 1 − 2cos 2x = 0 ⇔ cos 2x = 1/2 ⇔ x = ±π/6 + πn. y′ > 0 ⇔ cos 2x < 1/2 ⇔ x ∈ (π/6 + πn; 5π/6 + πn). В точках π/6 + πn знак меняется с «−» на «+» — минимум; в точках −π/6 + πn (= 5π/6 + π(n − 1)) — с «+» на «−», максимум. Ответ: x = π/6 + πn — точки минимума, x = −π/6 + πn — точки максимума, n ∈ Z.
4) y′ = −3 sin 3x − 3 = −3(sin 3x + 1) ≤ 0 при всех x, равенство лишь в изолированных точках, знак не меняется. Функция убывает на R. Ответ: точек экстремума нет.
2) По определению степени с рациональным показателем область определения: x > 1. y′ = (6/7)(x − 1)^(−1/7) > 0 на (1; +∞): функция возрастает, критических точек в области определения нет. Ответ: точек экстремума нет.
Оговорка: если считать функцию определённой и при x < 1 (как корень седьмой степени из (x − 1)⁶), то x = 1 была бы точкой минимума; здесь принято определение степени из учебника (основание положительно).
3) y′ = 1 − 2cos 2x = 0 ⇔ cos 2x = 1/2 ⇔ x = ±π/6 + πn. y′ > 0 ⇔ cos 2x < 1/2 ⇔ x ∈ (π/6 + πn; 5π/6 + πn). В точках π/6 + πn знак меняется с «−» на «+» — минимум; в точках −π/6 + πn (= 5π/6 + π(n − 1)) — с «+» на «−», максимум. Ответ: x = π/6 + πn — точки минимума, x = −π/6 + πn — точки максимума, n ∈ Z.
4) y′ = −3 sin 3x − 3 = −3(sin 3x + 1) ≤ 0 при всех x, равенство лишь в изолированных точках, знак не меняется. Функция убывает на R. Ответ: точек экстремума нет.
920. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) y = (2 − x)³/(3 − x)²;
2) y = (x³ + 2x²)/(x − 1)²;
3) y = (x − 1)e^(3x);
4) y = sin x + (1/2) sin 2x;
5) y = e^(√(3 − x²));
6) y = √(e^x − x).
1) y = (2 − x)³/(3 − x)²;
2) y = (x³ + 2x²)/(x − 1)²;
3) y = (x − 1)e^(3x);
4) y = sin x + (1/2) sin 2x;
5) y = e^(√(3 − x²));
6) y = √(e^x − x).
1) D(y): x ≠ 3. y′ = [−3(2 − x)²(3 − x)² + 2(2 − x)³(3 − x)]/(3 − x)^4 = (2 − x)²(x − 5)/(3 − x)³. Нули: x = 2, x = 5. Знаки y′: − на (−∞; 2), − на (2; 3), + на (3; 5), − на (5; +∞). В точке 2 знак не меняется (экстремума нет); в точке 5 меняется с «+» на «−». Ответ: x = 5 — точка максимума, y(5) = (−3)³/(−2)² = −27/4.
2) D(y): x ≠ 1. y′ = [(3x² + 4x)(x − 1) − 2(x³ + 2x²)]/(x − 1)³ = x(x − 4)(x + 1)/(x − 1)³. Знаки: + на (−∞; −1), − на (−1; 0), + на (0; 1), − на (1; 4), + на (4; +∞). Ответ: x = −1 — максимум, y(−1) = 1/4; x = 0 — минимум, y(0) = 0; x = 4 — минимум, y(4) = 96/9 = 32/3 = 10 2/3.
3) y′ = e^(3x)(3x − 2); знак меняется с «−» на «+» при x = 2/3. Ответ: x = 2/3 — точка минимума, y(2/3) = −(1/3)e².
4) y′ = cos x + cos 2x = 2cos²x + cos x − 1 = (2cos x − 1)(cos x + 1). Множитель cos x + 1 ≥ 0 и равен нулю лишь при x = π + 2πn, где знак y′ не меняется. Знак y′ определяется знаком 2cos x − 1: y′ > 0 при |x − 2πn| < π/3, y′ < 0 при π/3 + 2πn < x < 5π/3 + 2πn (кроме x = π + 2πn). Ответ: x = π/3 + 2πn — максимумы, y = sin(π/3) + (1/2)sin(2π/3) = 3√3/4; x = −π/3 + 2πn — минимумы, y = −3√3/4, n ∈ Z.
5) D(y): 3 − x² ≥ 0 ⇔ |x| ≤ √3. y′ = e^(√(3 − x²))·(−x)/√(3 − x²). y′ = 0 при x = 0; y′ > 0 при −√3 < x < 0, y′ < 0 при 0 < x < √3. Ответ: x = 0 — точка максимума, y(0) = e^√3.
6) Так как e^x ≥ x + 1 > x, подкоренное выражение положительно при всех x, D(y) = R. y′ = (e^x − 1)/(2√(e^x − x)). y′ < 0 при x < 0, y′ > 0 при x > 0. Ответ: x = 0 — точка минимума, y(0) = 1.
2) D(y): x ≠ 1. y′ = [(3x² + 4x)(x − 1) − 2(x³ + 2x²)]/(x − 1)³ = x(x − 4)(x + 1)/(x − 1)³. Знаки: + на (−∞; −1), − на (−1; 0), + на (0; 1), − на (1; 4), + на (4; +∞). Ответ: x = −1 — максимум, y(−1) = 1/4; x = 0 — минимум, y(0) = 0; x = 4 — минимум, y(4) = 96/9 = 32/3 = 10 2/3.
3) y′ = e^(3x)(3x − 2); знак меняется с «−» на «+» при x = 2/3. Ответ: x = 2/3 — точка минимума, y(2/3) = −(1/3)e².
4) y′ = cos x + cos 2x = 2cos²x + cos x − 1 = (2cos x − 1)(cos x + 1). Множитель cos x + 1 ≥ 0 и равен нулю лишь при x = π + 2πn, где знак y′ не меняется. Знак y′ определяется знаком 2cos x − 1: y′ > 0 при |x − 2πn| < π/3, y′ < 0 при π/3 + 2πn < x < 5π/3 + 2πn (кроме x = π + 2πn). Ответ: x = π/3 + 2πn — максимумы, y = sin(π/3) + (1/2)sin(2π/3) = 3√3/4; x = −π/3 + 2πn — минимумы, y = −3√3/4, n ∈ Z.
5) D(y): 3 − x² ≥ 0 ⇔ |x| ≤ √3. y′ = e^(√(3 − x²))·(−x)/√(3 − x²). y′ = 0 при x = 0; y′ > 0 при −√3 < x < 0, y′ < 0 при 0 < x < √3. Ответ: x = 0 — точка максимума, y(0) = e^√3.
6) Так как e^x ≥ x + 1 > x, подкоренное выражение положительно при всех x, D(y) = R. y′ = (e^x − 1)/(2√(e^x − x)). y′ < 0 при x < 0, y′ > 0 при x > 0. Ответ: x = 0 — точка минимума, y(0) = 1.
921. Построить эскиз графика функции y = f(x), непрерывной на отрезке [a; b], если:
1) a = −6, b = 6, f(−6) = −6, f(6) = 1, f′(x) > 0 при −6 < x < −4, −1 < x < 4, f′(x) < 0 при −4 < x < −1, 4 < x < 6, f′(−4) = 0, f′(−1) = 0, f′(4) = 0;
2) a = −4, b = 5, f(−4) = 5, f(5) = 1, f′(x) < 0 при −4 < x < −3, 0 < x < 3, f′(x) > 0 при −3 < x < 0, 3 < x < 5, f′(−3) = 0, f′(0) = 0, f′(3) = 0.
1) a = −6, b = 6, f(−6) = −6, f(6) = 1, f′(x) > 0 при −6 < x < −4, −1 < x < 4, f′(x) < 0 при −4 < x < −1, 4 < x < 6, f′(−4) = 0, f′(−1) = 0, f′(4) = 0;
2) a = −4, b = 5, f(−4) = 5, f(5) = 1, f′(x) < 0 при −4 < x < −3, 0 < x < 3, f′(x) > 0 при −3 < x < 0, 3 < x < 5, f′(−3) = 0, f′(0) = 0, f′(3) = 0.
1) Функция возрастает на [−6; −4] от −6 до максимума в точке x = −4; убывает на [−4; −1] до минимума в точке x = −1; возрастает на [−1; 4] до максимума в точке x = 4; убывает на [4; 6] до значения 1. В точках −4, −1, 4 касательная горизонтальна. Значения в точках экстремума в условии не заданы; на эскизе f(−4) = 0, f(−1) = −3, f(4) = 3.
2) Функция убывает на [−4; −3] от 5 до минимума в точке x = −3; возрастает на [−3; 0] до максимума в точке x = 0; убывает на [0; 3] до минимума в точке x = 3; возрастает на [3; 5] до значения 1. На эскизе f(−3) = 2, f(0) = 4, f(3) = 0.
Эскизы показаны на рисунке (красные точки — стационарные точки).
2) Функция убывает на [−4; −3] от 5 до минимума в точке x = −3; возрастает на [−3; 0] до максимума в точке x = 0; убывает на [0; 3] до минимума в точке x = 3; возрастает на [3; 5] до значения 1. На эскизе f(−3) = 2, f(0) = 4, f(3) = 0.
Эскизы показаны на рисунке (красные точки — стационарные точки).
922. Исследовать на экстремум функцию y = (x + 1)^n e^(−x), где n — натуральное число.
D(y) = R. y′ = n(x + 1)^(n−1)e^(−x) − (x + 1)^n e^(−x) = (x + 1)^(n−1)e^(−x)(n − x − 1) = (x + 1)^(n−1)(n − 1 − x)e^(−x).
Критические точки: x = n − 1 и (при n ≥ 2) x = −1. Показательный множитель положителен.
Точка x = n − 1: множитель (n − 1 − x) меняет знак с «+» на «−», а множитель (x + 1)^(n−1) вблизи этой точки не меняет знака (при n ≥ 2 он положителен, так как n − 1 > −1; при n = 1 он равен 1). Значит, x = n − 1 — точка максимума при любом n, y(n − 1) = n^n e^(1−n).
Точка x = −1 (n ≥ 2): вблизи неё множитель (n − 1 − x) > 0. Множитель (x + 1)^(n−1) при n − 1 нечётном (n чётное) меняет знак с «−» на «+» — x = −1 точка минимума, y(−1) = 0; при n − 1 чётном (n нечётное, n ≥ 3) знак не меняется — экстремума нет.
Ответ: при нечётном n есть только точка максимума x = n − 1; при чётном n — точка максимума x = n − 1 и точка минимума x = −1.
Критические точки: x = n − 1 и (при n ≥ 2) x = −1. Показательный множитель положителен.
Точка x = n − 1: множитель (n − 1 − x) меняет знак с «+» на «−», а множитель (x + 1)^(n−1) вблизи этой точки не меняет знака (при n ≥ 2 он положителен, так как n − 1 > −1; при n = 1 он равен 1). Значит, x = n − 1 — точка максимума при любом n, y(n − 1) = n^n e^(1−n).
Точка x = −1 (n ≥ 2): вблизи неё множитель (n − 1 − x) > 0. Множитель (x + 1)^(n−1) при n − 1 нечётном (n чётное) меняет знак с «−» на «+» — x = −1 точка минимума, y(−1) = 0; при n − 1 чётном (n нечётное, n ≥ 3) знак не меняется — экстремума нет.
Ответ: при нечётном n есть только точка максимума x = n − 1; при чётном n — точка максимума x = n − 1 и точка минимума x = −1.