Глава IX. § 51. Применение производной к построению графиков функций — с. 275
923. Используя график функции y = f(x) (рис. 136), найти:
1) область определения и множество значений функции;
2) нули функции;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
4) значения x, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;
5) экстремумы функции.
[рисунок 136: график функции на отрезке [−7; 7]; f(−7) = 1, минимум f(−5) = −2, максимум f(−2) = 2, f(0) = 0, минимум f(2) = −1, максимум f(5) = 1, f(7) = −1]
1) область определения и множество значений функции;
2) нули функции;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
4) значения x, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;
5) экстремумы функции.
[рисунок 136: график функции на отрезке [−7; 7]; f(−7) = 1, минимум f(−5) = −2, максимум f(−2) = 2, f(0) = 0, минимум f(2) = −1, максимум f(5) = 1, f(7) = −1]
Читаем значения с рисунка.
1) Область определения: D(f) = [−7; 7]. Наибольшее значение функции 2 (при x = −2), наименьшее −2 (при x = −5), все промежуточные значения принимаются, поэтому E(f) = [−2; 2].
2) График пересекает ось Ox в точках x = −6, x = −4, x = 0, x = 4, x = 6: это нули функции.
3) Функция возрастает на промежутках [−5; −2] и [2; 5]; убывает на промежутках [−7; −5], [−2; 2] и [5; 7].
4) f(x) > 0 при x ∈ [−7; −6), (−4; 0), (4; 6); f(x) < 0 при x ∈ (−6; −4), (0; 4), (6; 7].
5) Точки минимума: x = −5 (f(−5) = −2) и x = 2 (f(2) = −1); точки максимума: x = −2 (f(−2) = 2) и x = 5 (f(5) = 1). Экстремумы: ymin = −2, ymax = 2, ymin = −1, ymax = 1.
Оговорка: значения сняты с рисунка приближённо; нули −6, −4, 4, 6 определены по клеткам рисунка.
1) Область определения: D(f) = [−7; 7]. Наибольшее значение функции 2 (при x = −2), наименьшее −2 (при x = −5), все промежуточные значения принимаются, поэтому E(f) = [−2; 2].
2) График пересекает ось Ox в точках x = −6, x = −4, x = 0, x = 4, x = 6: это нули функции.
3) Функция возрастает на промежутках [−5; −2] и [2; 5]; убывает на промежутках [−7; −5], [−2; 2] и [5; 7].
4) f(x) > 0 при x ∈ [−7; −6), (−4; 0), (4; 6); f(x) < 0 при x ∈ (−6; −4), (0; 4), (6; 7].
5) Точки минимума: x = −5 (f(−5) = −2) и x = 2 (f(2) = −1); точки максимума: x = −2 (f(−2) = 2) и x = 5 (f(5) = 1). Экстремумы: ymin = −2, ymax = 2, ymin = −1, ymax = 1.
Оговорка: значения сняты с рисунка приближённо; нули −6, −4, 4, 6 определены по клеткам рисунка.
924. Построить эскиз графика функции y = f(x), непрерывной на отрезке [a; b], если:
1) a = −2, b = 4, f(−2) = −2, y = f(x) возрастает на отрезке [−2; 1] и f(x) = x при 1 ≤ x ≤ 4;
2) a = 1, b = 7, f(7) = 1, f(x) = x² при 1 ≤ x ≤ 2, y = f(x) убывает на промежутке (2; 7].
1) a = −2, b = 4, f(−2) = −2, y = f(x) возрастает на отрезке [−2; 1] и f(x) = x при 1 ≤ x ≤ 4;
2) a = 1, b = 7, f(7) = 1, f(x) = x² при 1 ≤ x ≤ 2, y = f(x) убывает на промежутке (2; 7].
1) Из условия f(x) = x при 1 ≤ x ≤ 4, поэтому на этом участке график — отрезок прямой y = x от точки (1; 1) до точки (4; 4). Функция непрерывна, значит, f(1) = 1. На отрезке [−2; 1] функция возрастает от f(−2) = −2 до f(1) = 1: рисуем плавную возрастающую кривую, соединяющую точки (−2; −2) и (1; 1). Эскиз показан на рисунке.
2) При 1 ≤ x ≤ 2 график — часть параболы y = x²: от точки (1; 1) до точки (2; 4). Из непрерывности f(2) = 4. На промежутке (2; 7] функция убывает и f(7) = 1, значит, график — убывающая кривая от точки (2; 4) до точки (7; 1). Эскиз показан на рисунке.
Оговорка: вид убывающей (возрастающей) части определён условием не однозначно, нарисована одна из возможных кривых.
2) При 1 ≤ x ≤ 2 график — часть параболы y = x²: от точки (1; 1) до точки (2; 4). Из непрерывности f(2) = 4. На промежутке (2; 7] функция убывает и f(7) = 1, значит, график — убывающая кривая от точки (2; 4) до точки (7; 1). Эскиз показан на рисунке.
Оговорка: вид убывающей (возрастающей) части определён условием не однозначно, нарисована одна из возможных кривых.
925. На отрезке [0; 6] изобразить эскиз графика непрерывной функции y = f(x), пользуясь данными, приведёнными в таблице. Учесть, что f(2) = 0, f(5) = 0.
[таблица: строка x: 0; 0 < x < 1; 1; 1 < x < 4; 4; 4 < x < 6; 6. строка f′(x): (пусто); +; 0; −; 0; +; (пусто). строка f(x): 0; возрастает; 2; убывает; −2; возрастает; 3]
[таблица: строка x: 0; 0 < x < 1; 1; 1 < x < 4; 4; 4 < x < 6; 6. строка f′(x): (пусто); +; 0; −; 0; +; (пусто). строка f(x): 0; возрастает; 2; убывает; −2; возрастает; 3]
Наносим точки (0; 0), (1; 2), (4; −2), (6; 3) и нули (2; 0), (5; 0).
На промежутке (0; 1) производная положительна, функция возрастает от 0 до 2. В точке x = 1 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «−»: это точка максимума, f(1) = 2, касательная горизонтальна.
На промежутке (1; 4) производная отрицательна, функция убывает от 2 до −2, проходя через нуль в точке x = 2. В точке x = 4 производная равна нулю и меняет знак с «−» на «+»: точка минимума, f(4) = −2.
На промежутке (4; 6) функция возрастает от −2 до 3, проходя через нуль в точке x = 5.
Соединяем точки плавной кривой с горизонтальными касательными в точках (1; 2) и (4; −2). Эскиз показан на рисунке.
На промежутке (0; 1) производная положительна, функция возрастает от 0 до 2. В точке x = 1 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «−»: это точка максимума, f(1) = 2, касательная горизонтальна.
На промежутке (1; 4) производная отрицательна, функция убывает от 2 до −2, проходя через нуль в точке x = 2. В точке x = 4 производная равна нулю и меняет знак с «−» на «+»: точка минимума, f(4) = −2.
На промежутке (4; 6) функция возрастает от −2 до 3, проходя через нуль в точке x = 5.
Соединяем точки плавной кривой с горизонтальными касательными в точках (1; 2) и (4; −2). Эскиз показан на рисунке.