Глава IX. § 50. Экстремумы функции — с. 269
910. На рисунке 130 изображён график функции y = f(x). Найти точки максимума и минимума этой функции.
[рисунок 130: график функции y = f(x) на координатной сетке; максимумы при x = −5 и x = 5 (значение 2), минимумы при x = −2 и x = 3 (значение −3), на отрезке [1; 2] горизонтальный участок на уровне y = 1]
[рисунок 130: график функции y = f(x) на координатной сетке; максимумы при x = −5 и x = 5 (значение 2), минимумы при x = −2 и x = 3 (значение −3), на отрезке [1; 2] горизонтальный участок на уровне y = 1]
Точка максимума — точка, в окрестности которой значения функции меньше, чем в самой точке. По графику находим вершины «горбов»: x = −5 и x = 5. Точки минимума — нижние точки «впадин»: x = −2 и x = 3.
Горизонтальный участок на отрезке [1; 2] (значение 1): в его точках нет строгого неравенства f(x) < f(x₀) или f(x) > f(x₀) в окрестности, поэтому они не являются точками экстремума.
Ответ: точки максимума x = −5 и x = 5; точки минимума x = −2 и x = 3.
Горизонтальный участок на отрезке [1; 2] (значение 1): в его точках нет строгого неравенства f(x) < f(x₀) или f(x) > f(x₀) в окрестности, поэтому они не являются точками экстремума.
Ответ: точки максимума x = −5 и x = 5; точки минимума x = −2 и x = 3.
911. На рисунке 131 изображён график функции y = f(x). Найти критические точки этой функции.
[рисунок 131: график функции y = f(x) на координатной сетке; гладкие экстремумы при x = −7, x = −4, x = 1, x = 3, изломы при x = −3 и x = 4, горизонтальный участок на отрезке [−2; −1]]
[рисунок 131: график функции y = f(x) на координатной сетке; гладкие экстремумы при x = −7, x = −4, x = 1, x = 3, изломы при x = −3 и x = 4, горизонтальный участок на отрезке [−2; −1]]
Критические точки — внутренние точки, в которых производная равна нулю (касательная горизонтальна) или не существует (излом графика).
Производная равна нулю: x = −7 (минимум), x = −4 (максимум), x = 1 (минимум), x = 3 (максимум) и все точки горизонтального участка [−2; −1].
Производная не существует (углы графика): x = −3 и x = 4.
Ответ: −7; −4; −3; все точки отрезка [−2; −1]; 1; 3; 4.
Производная равна нулю: x = −7 (минимум), x = −4 (максимум), x = 1 (минимум), x = 3 (максимум) и все точки горизонтального участка [−2; −1].
Производная не существует (углы графика): x = −3 и x = 4.
Ответ: −7; −4; −3; все точки отрезка [−2; −1]; 1; 3; 4.
912. Найти стационарные точки функции:
1) y = x/2 + 8/x;
2) y = 2x³ − 15x² + 36x;
3) y = e^(2x) − 2e^x;
4) y = sin x − cos x.
1) y = x/2 + 8/x;
2) y = 2x³ − 15x² + 36x;
3) y = e^(2x) − 2e^x;
4) y = sin x − cos x.
Стационарные точки — точки, где y′ = 0.
1) D(y): x ≠ 0. y′ = 1/2 − 8/x² = 0 ⇔ x² = 16 ⇔ x = ±4. Ответ: −4; 4.
2) y′ = 6x² − 30x + 36 = 6(x² − 5x + 6) = 6(x − 2)(x − 3). Ответ: 2; 3.
3) y′ = 2e^(2x) − 2e^x = 2e^x(e^x − 1) = 0 ⇔ e^x = 1 ⇔ x = 0. Ответ: 0.
4) y′ = cos x + sin x = 0 ⇔ tg x = −1 ⇔ x = −π/4 + πn. Ответ: −π/4 + πn, n ∈ Z.
1) D(y): x ≠ 0. y′ = 1/2 − 8/x² = 0 ⇔ x² = 16 ⇔ x = ±4. Ответ: −4; 4.
2) y′ = 6x² − 30x + 36 = 6(x² − 5x + 6) = 6(x − 2)(x − 3). Ответ: 2; 3.
3) y′ = 2e^(2x) − 2e^x = 2e^x(e^x − 1) = 0 ⇔ e^x = 1 ⇔ x = 0. Ответ: 0.
4) y′ = cos x + sin x = 0 ⇔ tg x = −1 ⇔ x = −π/4 + πn. Ответ: −π/4 + πn, n ∈ Z.