Глава IX. § 49. Возрастание и убывание функции — с. 265
906. Изобразить эскиз графика непрерывной функции y = f(x), определённой на отрезке [a; b], если:
1) a = −2, b = 6, f(−2) = 1, f(6) = 5, f(3) = 0, f′(3) = 0, f′(x) < 0 при −2 < x < 3, f′(x) > 0 при 3 < x < 6;
2) a = −3, b = 3, f(−3) = −1, f(3) = 4, f′(2) = 0, f′(x) < 0 при −3 < x < 2, f′(x) > 0 при 2 < x < 3.
1) a = −2, b = 6, f(−2) = 1, f(6) = 5, f(3) = 0, f′(3) = 0, f′(x) < 0 при −2 < x < 3, f′(x) > 0 при 3 < x < 6;
2) a = −3, b = 3, f(−3) = −1, f(3) = 4, f′(2) = 0, f′(x) < 0 при −3 < x < 2, f′(x) > 0 при 2 < x < 3.
1) На [−2; 3] функция убывает от значения 1 до 0, в точке x = 3 касательная горизонтальна и производная меняет знак с «−» на «+», то есть x = 3 — точка минимума, f(3) = 0. На [3; 6] функция возрастает от 0 до 5. График проходит через (−2; 1), (3; 0), (6; 5).
2) На [−3; 2] функция убывает от −1 до некоторого значения f(2) < −1, в точке x = 2 касательная горизонтальна (минимум), на [2; 3] функция возрастает до значения 4. График проходит через (−3; −1) и (3; 4); значение f(2) в условии не задано, на эскизе взято f(2) = −2,5.
Эскизы показаны на рисунке.
2) На [−3; 2] функция убывает от −1 до некоторого значения f(2) < −1, в точке x = 2 касательная горизонтальна (минимум), на [2; 3] функция возрастает до значения 4. График проходит через (−3; −1) и (3; 4); значение f(2) в условии не задано, на эскизе взято f(2) = −2,5.
Эскизы показаны на рисунке.
907. При каких значениях a функция возрастает на всей числовой прямой:
1) y = x³ − ax;
2) y = ax − sin x?
1) y = x³ − ax;
2) y = ax − sin x?
Функция, дифференцируемая на R, возрастает на R, если y′ ≥ 0 при всех x и y′ обращается в нуль лишь в отдельных точках.
1) y′ = 3x² − a ≥ 0 при всех x ⇔ a ≤ 3x² при всех x ⇔ a ≤ 0. При a = 0 функция y = x³ возрастает. Ответ: a ≤ 0.
2) y′ = a − cos x ≥ 0 при всех x ⇔ a ≥ cos x при всех x ⇔ a ≥ 1. При a = 1 производная 1 − cos x равна нулю лишь в изолированных точках x = 2πn, поэтому функция возрастает. Ответ: a ≥ 1.
1) y′ = 3x² − a ≥ 0 при всех x ⇔ a ≤ 3x² при всех x ⇔ a ≤ 0. При a = 0 функция y = x³ возрастает. Ответ: a ≤ 0.
2) y′ = a − cos x ≥ 0 при всех x ⇔ a ≥ cos x при всех x ⇔ a ≥ 1. При a = 1 производная 1 − cos x равна нулю лишь в изолированных точках x = 2πn, поэтому функция возрастает. Ответ: a ≥ 1.
908. При каких значениях a функция y = x³ − 2x² + ax возрастает на всей числовой прямой?
y′ = 3x² − 4x + a. Условие возрастания на R: y′ ≥ 0 при всех x. Парабола с ветвями вверх неотрицательна при всех x, если дискриминант D ≤ 0: D = 16 − 12a ≤ 0 ⇔ a ≥ 4/3. При a = 4/3 производная равна нулю лишь в одной точке x = 2/3, функция по-прежнему возрастает.
Ответ: a ≥ 4/3.
Ответ: a ≥ 4/3.
909. При каких значениях a функция y = ax³ + 3x² − 2x + 5 убывает на всей числовой прямой?
y′ = 3ax² + 6x − 2. Нужно y′ ≤ 0 при всех x.
Если a = 0, то y′ = 6x − 2 меняет знак — не подходит.
Если a ≠ 0, квадратный трёхчлен неположителен при всех x тогда и только тогда, когда a < 0 и D ≤ 0. D/4 = 9 + 6a ≤ 0 ⇔ a ≤ −1,5. При a = −1,5 производная равна нулю лишь в одной точке, функция убывает.
Ответ: a ≤ −1,5.
Если a = 0, то y′ = 6x − 2 меняет знак — не подходит.
Если a ≠ 0, квадратный трёхчлен неположителен при всех x тогда и только тогда, когда a < 0 и D ≤ 0. D/4 = 9 + 6a ≤ 0 ⇔ a ≤ −1,5. При a = −1,5 производная равна нулю лишь в одной точке, функция убывает.
Ответ: a ≤ −1,5.