Глава VIII. Упражнения к главе VIII — с. 260
890. Найти уравнения касательных к графику функции y = (1/3)x³ − (5/2)x², параллельных прямой y = 6x.
Угловой коэффициент касательной равен 6: y′ = x² − 5x = 6 ⇒ x² − 5x − 6 = 0 ⇒ x = 6 или x = −1.
x₀ = 6: y(6) = 72 − 90 = −18; касательная y = −18 + 6(x − 6) = 6x − 54.
x₀ = −1: y(−1) = −1/3 − 5/2 = −17/6; касательная y = −17/6 + 6(x + 1) = 6x + 19/6.
Оба решения отличны от прямой y = 6x (свободные члены не равны 0).
Ответ: y = 6x − 54 и y = 6x + 19/6.
x₀ = 6: y(6) = 72 − 90 = −18; касательная y = −18 + 6(x − 6) = 6x − 54.
x₀ = −1: y(−1) = −1/3 − 5/2 = −17/6; касательная y = −17/6 + 6(x + 1) = 6x + 19/6.
Оба решения отличны от прямой y = 6x (свободные члены не равны 0).
Ответ: y = 6x − 54 и y = 6x + 19/6.
891. Прямая касается гиперболы y = 4/x в точке (1; 4). Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.
y′ = −4/x², y′(1) = −4. Касательная: y = 4 − 4(x − 1) = −4x + 8.
Пересечение с осью Ox: x = 2; с осью Oy: y = 8. Треугольник прямоугольный, катеты 2 и 8: S = (1/2)·2·8 = 8.
Ответ: 8.
Пересечение с осью Ox: x = 2; с осью Oy: y = 8. Треугольник прямоугольный, катеты 2 и 8: S = (1/2)·2·8 = 8.
Ответ: 8.
892. Прямая касается гиперболы y = k/x, где k > 0, в точке с абсциссой x₀.
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки (x₀; 2k/x₀) и (2x₀; 0).
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки (x₀; 2k/x₀) и (2x₀; 0).
y(x₀) = k/x₀, y′(x₀) = −k/x₀². Касательная: y = k/x₀ − (k/x₀²)(x − x₀) = −(k/x₀²)x + 2k/x₀.
1) При x = 0: y = 2k/x₀. При y = 0: x = 2x₀. Катеты треугольника равны |2x₀| и |2k/x₀|, площадь S = (1/2)·|2x₀|·|2k/x₀| = 2k. Она не зависит от x₀. Ответ: 2k.
2) Подставим x = 2x₀: y = −2k/x₀ + 2k/x₀ = 0, то есть точка (2x₀; 0) лежит на касательной. Подстановка x = 0 даёт y = 2k/x₀, то есть касательная проходит через точку (0; 2k/x₀).
Оговорка: в условии напечатана первая точка (x₀; 2k/x₀), но при x = x₀ ордината касательной равна k/x₀ (это точка касания), а не 2k/x₀. По-видимому, имеется в виду точка (0; 2k/x₀), для неё утверждение доказано.
1) При x = 0: y = 2k/x₀. При y = 0: x = 2x₀. Катеты треугольника равны |2x₀| и |2k/x₀|, площадь S = (1/2)·|2x₀|·|2k/x₀| = 2k. Она не зависит от x₀. Ответ: 2k.
2) Подставим x = 2x₀: y = −2k/x₀ + 2k/x₀ = 0, то есть точка (2x₀; 0) лежит на касательной. Подстановка x = 0 даёт y = 2k/x₀, то есть касательная проходит через точку (0; 2k/x₀).
Оговорка: в условии напечатана первая точка (x₀; 2k/x₀), но при x = x₀ ордината касательной равна k/x₀ (это точка касания), а не 2k/x₀. По-видимому, имеется в виду точка (0; 2k/x₀), для неё утверждение доказано.
893. Выяснить, при каких значениях p касательная, проведённая к графику функции y = x³ − px в его точке с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3).
y(1) = 1 − p, y′ = 3x² − p, y′(1) = 3 − p. Касательная: y = 1 − p + (3 − p)(x − 1).
Подставим M(2; 3): 3 = 1 − p + (3 − p)·1 = 4 − 2p ⇒ 2p = 1 ⇒ p = 1/2.
Ответ: p = 1/2.
Подставим M(2; 3): 3 = 1 − p + (3 − p)·1 = 4 − 2p ⇒ 2p = 1 ⇒ p = 1/2.
Ответ: p = 1/2.
894. Найти все такие точки графика функции y = (4ˣ − 2^(x + 1))/ln 4, в которых касательная к этому графику параллельна прямой y = 2x + 5.
y′ = (4ˣ ln 4 − 2^(x + 1) ln 2)/ln 4 = 4ˣ − 2^(x + 1)·ln 2/(2 ln 2) = 4ˣ − 2ˣ.
Условие параллельности: y′ = 2 ⇒ 4ˣ − 2ˣ − 2 = 0. Пусть t = 2ˣ > 0: t² − t − 2 = 0 ⇒ t = 2 (t = −1 не подходит) ⇒ x = 1.
y(1) = (4 − 4)/ln 4 = 0.
Ответ: точка (1; 0).
Условие параллельности: y′ = 2 ⇒ 4ˣ − 2ˣ − 2 = 0. Пусть t = 2ˣ > 0: t² − t − 2 = 0 ⇒ t = 2 (t = −1 не подходит) ⇒ x = 1.
y(1) = (4 − 4)/ln 4 = 0.
Ответ: точка (1; 0).
895. Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции y = x ln x, которая параллельна оси абсцисс.
Область x > 0. y′ = ln x + 1. Касательная параллельна оси Ox, если y′ = 0 ⇒ ln x = −1 ⇒ x = 1/e. y(1/e) = (1/e)(−1) = −1/e. Касательная: y = −1/e.
Расстояние от начала координат до прямой y = −1/e равно 1/e.
Ответ: 1/e.
Расстояние от начала координат до прямой y = −1/e равно 1/e.
Ответ: 1/e.
896. Выяснить, при каких значениях параметра a прямая y = ax − 2 касается графика функции y = 1 + ln x.
Пусть x = t > 0 — абсцисса точки касания. Условия касания: значения функций равны и производные равны.
1 + ln t = at − 2 и 1/t = a.
Подставим a = 1/t во второе равенство: 1 + ln t = 1 − 2 = −1 ⇒ ln t = −2 ⇒ t = e^(−2). Тогда a = 1/t = e².
Ответ: a = e².
1 + ln t = at − 2 и 1/t = a.
Подставим a = 1/t во второе равенство: 1 + ln t = 1 − 2 = −1 ⇒ ln t = −2 ⇒ t = e^(−2). Тогда a = 1/t = e².
Ответ: a = e².
897. Найти общие касательные к графикам функций
f(x) = x² − 4x + 3 и g(x) = −x² + 6x − 10.
f(x) = x² − 4x + 3 и g(x) = −x² + 6x − 10.
Пусть касательная к графику f в точке с абсциссой s имеет вид y = f′(s)(x − s) + f(s) = (2s − 4)x − s² + 3, а к графику g в точке с абсциссой t: y = (6 − 2t)x + t² − 10 (так как g′(t) = −2t + 6, и свободный член −t(6 − 2t) + (−t² + 6t − 10) = t² − 10).
Касательные совпадают, если равны коэффициенты:
2s − 4 = 6 − 2t ⇒ s = 5 − t;
−s² + 3 = t² − 10 ⇒ s² + t² = 13.
Подставим: (5 − t)² + t² = 13 ⇒ 2t² − 10t + 12 = 0 ⇒ t² − 5t + 6 = 0 ⇒ t = 2 или t = 3.
t = 2, s = 3: y = 2x − 6 (проверка: 2s − 4 = 2, −9 + 3 = −6).
t = 3, s = 2: y = 0·x − 1 = −1 (проверка: −4 + 3 = −1, 9 − 10 = −1).
Ответ: y = 2x − 6 и y = −1.
Касательные совпадают, если равны коэффициенты:
2s − 4 = 6 − 2t ⇒ s = 5 − t;
−s² + 3 = t² − 10 ⇒ s² + t² = 13.
Подставим: (5 − t)² + t² = 13 ⇒ 2t² − 10t + 12 = 0 ⇒ t² − 5t + 6 = 0 ⇒ t = 2 или t = 3.
t = 2, s = 3: y = 2x − 6 (проверка: 2s − 4 = 2, −9 + 3 = −6).
t = 3, s = 2: y = 0·x − 1 = −1 (проверка: −4 + 3 = −1, 9 − 10 = −1).
Ответ: y = 2x − 6 и y = −1.
898. Две параллельные касательные к графику функции y = x³ − 6 пересекают оси координат: одна — в точках A и B, другая — в точках C и D. Найти площадь треугольника AOB, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD.
Касательная к y = x³ − 6 в точке с абсциссой τ: y = 3τ²(x − τ) + τ³ − 6 = 3τ²x − 2τ³ − 6. Параллельные касательные в разных точках имеют равные коэффициенты 3τ², значит абсциссы точек касания τ и −τ (τ ≠ 0).
Пересечения с осями касательной в точке τ: с Oy — (0; −2τ³ − 6), с Ox — x = (2τ³ + 6)/(3τ²). Площадь треугольника с осями S(τ) = (1/2)·|2τ³ + 6|·|2τ³ + 6|/(3τ²) = (2τ³ + 6)²/(6τ²).
Пусть AOB соответствует τ, COD — значению −τ: S(−τ) = (6 − 2τ³)²/(6τ²). Условие S(−τ) = 4S(τ) ⇒ |6 − 2τ³| = 2|2τ³ + 6| ⇒ |3 − u| = 2|u + 3| при u = τ³.
Случай 3 − u = 2u + 6 ⇒ u = −1, τ = −1: S = (−2 + 6)²/6 = 16/6 = 8/3 (проверка: другой треугольник 32/3, отношение 4).
Случай 3 − u = −2u − 6 ⇒ u = −9, τ = −∛9: S = (−18 + 6)²/(6·∛81) = 144/(6·3∛3) = 8/∛3 = 8∛9/3 (проверка: другая площадь в 4 раза больше).
Ответ: 8/3 или 8/∛3 (= 8∛9/3 ≈ 5,55).
Пересечения с осями касательной в точке τ: с Oy — (0; −2τ³ − 6), с Ox — x = (2τ³ + 6)/(3τ²). Площадь треугольника с осями S(τ) = (1/2)·|2τ³ + 6|·|2τ³ + 6|/(3τ²) = (2τ³ + 6)²/(6τ²).
Пусть AOB соответствует τ, COD — значению −τ: S(−τ) = (6 − 2τ³)²/(6τ²). Условие S(−τ) = 4S(τ) ⇒ |6 − 2τ³| = 2|2τ³ + 6| ⇒ |3 − u| = 2|u + 3| при u = τ³.
Случай 3 − u = 2u + 6 ⇒ u = −1, τ = −1: S = (−2 + 6)²/6 = 16/6 = 8/3 (проверка: другой треугольник 32/3, отношение 4).
Случай 3 − u = −2u − 6 ⇒ u = −9, τ = −∛9: S = (−18 + 6)²/(6·∛81) = 144/(6·3∛3) = 8/∛3 = 8∛9/3 (проверка: другая площадь в 4 раза больше).
Ответ: 8/3 или 8/∛3 (= 8∛9/3 ≈ 5,55).