Глава VIII. Упражнения к главе VIII — с. 259
886. Найти все значения a, при которых уравнение f′(x) = 0 не имеет действительных корней, если:
1) f(x) = ax² − 1/x²;
2) f(x) = ax + 1/x;
3) f(x) = ax³ + 3x² + 6x;
4) f(x) = x³ + 6x² + ax.
1) f(x) = ax² − 1/x²;
2) f(x) = ax + 1/x;
3) f(x) = ax³ + 3x² + 6x;
4) f(x) = x³ + 6x² + ax.
1) x ≠ 0. f′(x) = 2ax + 2/x³ = 0 ⇒ ax⁴ = −1 ⇒ x⁴ = −1/a. Корни есть при a < 0. При a = 0 уравнение 2/x³ = 0 корней не имеет; при a > 0 равенство x⁴ = −1/a невозможно. Ответ: a ≥ 0.
2) x ≠ 0. f′(x) = a − 1/x² = 0 ⇒ x² = 1/a, корни есть при a > 0. При a ≤ 0 корней нет (при a = 0 имеем −1/x² = 0 — невозможно). Ответ: a ≤ 0.
3) f′(x) = 3ax² + 6x + 6 = 0. При a = 0: 6x + 6 = 0, корень x = −1 есть. При a ≠ 0 корней нет, если D = 36 − 72a < 0 ⇒ a > 1/2. Ответ: a > 1/2.
4) f′(x) = 3x² + 12x + a. D = 144 − 12a < 0 ⇒ a > 12. Ответ: a > 12.
2) x ≠ 0. f′(x) = a − 1/x² = 0 ⇒ x² = 1/a, корни есть при a > 0. При a ≤ 0 корней нет (при a = 0 имеем −1/x² = 0 — невозможно). Ответ: a ≤ 0.
3) f′(x) = 3ax² + 6x + 6 = 0. При a = 0: 6x + 6 = 0, корень x = −1 есть. При a ≠ 0 корней нет, если D = 36 − 72a < 0 ⇒ a > 1/2. Ответ: a > 1/2.
4) f′(x) = 3x² + 12x + a. D = 144 − 12a < 0 ⇒ a > 12. Ответ: a > 12.
887. Найти все значения a, при которых неравенство f′(x) < 0 не имеет действительных решений, если:
1) f(x) = ax⁷ + x³ − 1;
2) f(x) = x⁵ + ax³ + 3;
3) f(x) = (x + a)√x;
4) f(x) = x + a/x.
1) f(x) = ax⁷ + x³ − 1;
2) f(x) = x⁵ + ax³ + 3;
3) f(x) = (x + a)√x;
4) f(x) = x + a/x.
Неравенство f′(x) < 0 не имеет решений, если f′(x) ≥ 0 во всей области определения.
1) f′(x) = 7ax⁶ + 3x² = x²(7ax⁴ + 3). Нужно 7ax⁴ + 3 ≥ 0 при всех x ≠ 0. При a < 0 это нарушается для больших |x|; при a ≥ 0 выполнено. Ответ: a ≥ 0.
2) f′(x) = 5x⁴ + 3ax² = x²(5x² + 3a). Нужно 5x² + 3a ≥ 0 при всех x ≠ 0; при a < 0 неравенство нарушается для малых |x| (5x² < −3a), при a ≥ 0 выполняется. Ответ: a ≥ 0.
3) Область x ≥ 0. f = x^(3/2) + a x^(1/2), f′(x) = (3x + a)/(2√x) при x > 0. Нужно 3x + a ≥ 0 при всех x > 0 ⇒ a ≥ 0. Ответ: a ≥ 0.
4) x ≠ 0. f′(x) = 1 − a/x² = (x² − a)/x². Нужно x² ≥ a при всех x ≠ 0 ⇒ a ≤ 0 (при a > 0 для 0 < |x| < √a неравенство нарушается). Ответ: a ≤ 0.
1) f′(x) = 7ax⁶ + 3x² = x²(7ax⁴ + 3). Нужно 7ax⁴ + 3 ≥ 0 при всех x ≠ 0. При a < 0 это нарушается для больших |x|; при a ≥ 0 выполнено. Ответ: a ≥ 0.
2) f′(x) = 5x⁴ + 3ax² = x²(5x² + 3a). Нужно 5x² + 3a ≥ 0 при всех x ≠ 0; при a < 0 неравенство нарушается для малых |x| (5x² < −3a), при a ≥ 0 выполняется. Ответ: a ≥ 0.
3) Область x ≥ 0. f = x^(3/2) + a x^(1/2), f′(x) = (3x + a)/(2√x) при x > 0. Нужно 3x + a ≥ 0 при всех x > 0 ⇒ a ≥ 0. Ответ: a ≥ 0.
4) x ≠ 0. f′(x) = 1 − a/x² = (x² − a)/x². Нужно x² ≥ a при всех x ≠ 0 ⇒ a ≤ 0 (при a > 0 для 0 < |x| < √a неравенство нарушается). Ответ: a ≤ 0.
888. Под каким углом пересекаются графики функций:
1) y = 2√x и y = 2√(6 − x);
2) y = √(2x + 1) и y = 1?
1) y = 2√x и y = 2√(6 − x);
2) y = √(2x + 1) и y = 1?
1) 2√x = 2√(6 − x) ⇒ x = 6 − x ⇒ x = 3, y = 2√3. Угловые коэффициенты: k₁ = 1/√x = 1/√3, k₂ = −1/√(6 − x) = −1/√3. Угол между прямыми: tg φ = |(k₂ − k₁)/(1 + k₁k₂)| = (2/√3)/(1 − 1/3) = √3, φ = π/3.
2) √(2x + 1) = 1 ⇒ x = 0. Угловые коэффициенты: k₁ = 1/√(2x + 1) = 1 при x = 0, k₂ = 0. Касательная к первой кривой образует с осью Ox угол π/4, вторая прямая горизонтальна, φ = π/4.
Ответ: 1) π/3 (60°); 2) π/4 (45°).
2) √(2x + 1) = 1 ⇒ x = 0. Угловые коэффициенты: k₁ = 1/√(2x + 1) = 1 при x = 0, k₂ = 0. Касательная к первой кривой образует с осью Ox угол π/4, вторая прямая горизонтальна, φ = π/4.
Ответ: 1) π/3 (60°); 2) π/4 (45°).
889. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:
1) y = 2 sin(x/2), x₀ = 3π/2;
2) y = 2^(−x) − 2^(−2x), x₀ = 2;
3) y = (x + 2)/(3 − x), x₀ = 2;
4) y = x + ln x, x₀ = e.
1) y = 2 sin(x/2), x₀ = 3π/2;
2) y = 2^(−x) − 2^(−2x), x₀ = 2;
3) y = (x + 2)/(3 − x), x₀ = 2;
4) y = x + ln x, x₀ = e.
1) y(3π/2) = 2 sin(3π/4) = √2; y′ = cos(x/2), y′(3π/2) = cos(3π/4) = −√2/2. y = √2 − (√2/2)(x − 3π/2).
2) y(2) = 1/4 − 1/16 = 3/16; y′ = −ln 2·2^(−x) + 2 ln 2·2^(−2x); y′(2) = ln 2(−1/4 + 2/16) = −(ln 2)/8. y = 3/16 − ((ln 2)/8)(x − 2).
3) y(2) = 4; y′ = ((3 − x) + (x + 2))/(3 − x)² = 5/(3 − x)²; y′(2) = 5. y = 4 + 5(x − 2) = 5x − 6.
4) y(e) = e + 1; y′ = 1 + 1/x, y′(e) = 1 + 1/e. y = e + 1 + (1 + 1/e)(x − e) = (1 + 1/e)x.
2) y(2) = 1/4 − 1/16 = 3/16; y′ = −ln 2·2^(−x) + 2 ln 2·2^(−2x); y′(2) = ln 2(−1/4 + 2/16) = −(ln 2)/8. y = 3/16 − ((ln 2)/8)(x − 2).
3) y(2) = 4; y′ = ((3 − x) + (x + 2))/(3 − x)² = 5/(3 − x)²; y′(2) = 5. y = 4 + 5(x − 2) = 5x − 6.
4) y(e) = e + 1; y′ = 1 + 1/x, y′(e) = 1 + 1/e. y = e + 1 + (1 + 1/e)(x − e) = (1 + 1/e)x.