Глава IX. § 49. Возрастание и убывание функции — с. 264
899. Доказать, что функция f(x) = x² + 2/x возрастает на промежутке (1; +∞), убывает на промежутках (−∞; 0) и (0; 1).
Область определения: x ≠ 0.
Найдём производную: f′(x) = 2x − 2/x² = 2(x³ − 1)/x² = 2(x − 1)(x² + x + 1)/x².
Трёхчлен x² + x + 1 положителен при всех x (D = −3 < 0), x² > 0 при x ≠ 0. Поэтому знак f′(x) совпадает со знаком x − 1.
При x > 1: f′(x) > 0, значит, функция возрастает на (1; +∞).
При 0 < x < 1: x − 1 < 0, f′(x) < 0, функция убывает на (0; 1).
При x < 0: x − 1 < 0, f′(x) < 0, функция убывает на (−∞; 0).
Что и требовалось доказать.
Найдём производную: f′(x) = 2x − 2/x² = 2(x³ − 1)/x² = 2(x − 1)(x² + x + 1)/x².
Трёхчлен x² + x + 1 положителен при всех x (D = −3 < 0), x² > 0 при x ≠ 0. Поэтому знак f′(x) совпадает со знаком x − 1.
При x > 1: f′(x) > 0, значит, функция возрастает на (1; +∞).
При 0 < x < 1: x − 1 < 0, f′(x) < 0, функция убывает на (0; 1).
При x < 0: x − 1 < 0, f′(x) < 0, функция убывает на (−∞; 0).
Что и требовалось доказать.
900. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) y = x² − x;
2) y = 5x² − 3x − 1;
3) y = x² + 2x;
4) y = x² + 12x − 100;
5) y = x³ − 3x;
6) y = x^4 − 2x²;
7) y = 2x³ − 3x² − 36x + 40;
8) y = x³ − 6x² + 9.
1) y = x² − x;
2) y = 5x² − 3x − 1;
3) y = x² + 2x;
4) y = x² + 12x − 100;
5) y = x³ − 3x;
6) y = x^4 − 2x²;
7) y = 2x³ − 3x² − 36x + 40;
8) y = x³ − 6x² + 9.
1) y′ = 2x − 1; y′ = 0 при x = 1/2. Ответ: убывает на (−∞; 1/2], возрастает на [1/2; +∞).
2) y′ = 10x − 3; y′ = 0 при x = 0,3. Ответ: убывает на (−∞; 0,3], возрастает на [0,3; +∞).
3) y′ = 2x + 2; y′ = 0 при x = −1. Ответ: убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞).
4) y′ = 2x + 12; y′ = 0 при x = −6. Ответ: убывает на (−∞; −6], возрастает на [−6; +∞).
5) y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1); корни −1 и 1. y′ > 0 при x < −1 и x > 1, y′ < 0 при −1 < x < 1. Ответ: возрастает на (−∞; −1] и [1; +∞), убывает на [−1; 1].
6) y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1); корни −1, 0, 1. Знаки y′ (метод интервалов): − на (−∞; −1), + на (−1; 0), − на (0; 1), + на (1; +∞). Ответ: убывает на (−∞; −1] и [0; 1], возрастает на [−1; 0] и [1; +∞).
7) y′ = 6x² − 6x − 36 = 6(x² − x − 6) = 6(x − 3)(x + 2); корни −2 и 3. Ответ: возрастает на (−∞; −2] и [3; +∞), убывает на [−2; 3].
8) y′ = 3x² − 12x = 3x(x − 4); корни 0 и 4. Ответ: возрастает на (−∞; 0] и [4; +∞), убывает на [0; 4].
2) y′ = 10x − 3; y′ = 0 при x = 0,3. Ответ: убывает на (−∞; 0,3], возрастает на [0,3; +∞).
3) y′ = 2x + 2; y′ = 0 при x = −1. Ответ: убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞).
4) y′ = 2x + 12; y′ = 0 при x = −6. Ответ: убывает на (−∞; −6], возрастает на [−6; +∞).
5) y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1); корни −1 и 1. y′ > 0 при x < −1 и x > 1, y′ < 0 при −1 < x < 1. Ответ: возрастает на (−∞; −1] и [1; +∞), убывает на [−1; 1].
6) y′ = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1); корни −1, 0, 1. Знаки y′ (метод интервалов): − на (−∞; −1), + на (−1; 0), − на (0; 1), + на (1; +∞). Ответ: убывает на (−∞; −1] и [0; 1], возрастает на [−1; 0] и [1; +∞).
7) y′ = 6x² − 6x − 36 = 6(x² − x − 6) = 6(x − 3)(x + 2); корни −2 и 3. Ответ: возрастает на (−∞; −2] и [3; +∞), убывает на [−2; 3].
8) y′ = 3x² − 12x = 3x(x − 4); корни 0 и 4. Ответ: возрастает на (−∞; 0] и [4; +∞), убывает на [0; 4].
901. Построить эскиз графика непрерывной функции y = f(x), определённой на отрезке [a; b], если:
1) a = 0, b = 5, f′(x) > 0 при 0 < x < 5, f(1) = 0, f(5) = 3;
2) a = −1, b = 3, f′(x) < 0 при −1 < x < 3, f(0) = 0, f(3) = −4.
1) a = 0, b = 5, f′(x) > 0 при 0 < x < 5, f(1) = 0, f(5) = 3;
2) a = −1, b = 3, f′(x) < 0 при −1 < x < 3, f(0) = 0, f(3) = −4.
1) Так как f′(x) > 0 на (0; 5), функция возрастает на всём отрезке [0; 5]. График — возрастающая кривая, проходящая через точки (1; 0) и (5; 3); значение f(0) отрицательно (f(0) < f(1) = 0).
2) Так как f′(x) < 0 на (−1; 3), функция убывает на всём отрезке [−1; 3]. График — убывающая кривая через точки (0; 0) и (3; −4); значение f(−1) положительно.
Эскизы показаны на рисунке.
2) Так как f′(x) < 0 на (−1; 3), функция убывает на всём отрезке [−1; 3]. График — убывающая кривая через точки (0; 0) и (3; −4); значение f(−1) положительно.
Эскизы показаны на рисунке.
902. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) y = 1/(x + 2);
2) y = 1 + 2/x;
3) y = −√(x − 3);
4) y = 1 + 3√(x − 5).
1) y = 1/(x + 2);
2) y = 1 + 2/x;
3) y = −√(x − 3);
4) y = 1 + 3√(x − 5).
1) D(y): x ≠ −2. y′ = −1/(x + 2)² < 0 при всех x ≠ −2. Ответ: убывает на (−∞; −2) и на (−2; +∞).
2) D(y): x ≠ 0. y′ = −2/x² < 0. Ответ: убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞).
3) D(y): x ≥ 3. y′ = −1/(2√(x − 3)) < 0 при x > 3; функция непрерывна в точке 3. Ответ: убывает на [3; +∞).
4) D(y): x ≥ 5. y′ = 3/(2√(x − 5)) > 0 при x > 5; функция непрерывна в точке 5. Ответ: возрастает на [5; +∞).
2) D(y): x ≠ 0. y′ = −2/x² < 0. Ответ: убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞).
3) D(y): x ≥ 3. y′ = −1/(2√(x − 3)) < 0 при x > 3; функция непрерывна в точке 3. Ответ: убывает на [3; +∞).
4) D(y): x ≥ 5. y′ = 3/(2√(x − 5)) > 0 при x > 5; функция непрерывна в точке 5. Ответ: возрастает на [5; +∞).
903. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) y = x³/(x² + 3);
2) y = (x − 2)(8 − x)/x²;
3) y = (x − 1)e^(3x);
4) y = xe^(−3x).
1) y = x³/(x² + 3);
2) y = (x − 2)(8 − x)/x²;
3) y = (x − 1)e^(3x);
4) y = xe^(−3x).
1) D(y) = R. y′ = (3x²(x² + 3) − x³·2x)/(x² + 3)² = (x⁴ + 9x²)/(x² + 3)² = x²(x² + 9)/(x² + 3)² ≥ 0, равенство только при x = 0 (изолированная точка). Ответ: возрастает на всей числовой прямой.
2) D(y): x ≠ 0. y = (−x² + 10x − 16)/x² = −1 + 10/x − 16/x². y′ = −10/x² + 32/x³ = (32 − 10x)/x³ = 2(16 − 5x)/x³. Корень числителя x = 3,2. Знаки: при x < 0 числитель > 0, знаменатель < 0, y′ < 0; при 0 < x < 3,2 y′ > 0; при x > 3,2 y′ < 0. Ответ: возрастает на (0; 3,2], убывает на (−∞; 0) и [3,2; +∞).
3) D(y) = R. y′ = e^(3x) + 3(x − 1)e^(3x) = e^(3x)(3x − 2). y′ = 0 при x = 2/3; y′ < 0 при x < 2/3, y′ > 0 при x > 2/3. Ответ: убывает на (−∞; 2/3], возрастает на [2/3; +∞).
4) D(y) = R. y′ = e^(−3x) − 3xe^(−3x) = e^(−3x)(1 − 3x). y′ = 0 при x = 1/3; y′ > 0 при x < 1/3, y′ < 0 при x > 1/3. Ответ: возрастает на (−∞; 1/3], убывает на [1/3; +∞).
2) D(y): x ≠ 0. y = (−x² + 10x − 16)/x² = −1 + 10/x − 16/x². y′ = −10/x² + 32/x³ = (32 − 10x)/x³ = 2(16 − 5x)/x³. Корень числителя x = 3,2. Знаки: при x < 0 числитель > 0, знаменатель < 0, y′ < 0; при 0 < x < 3,2 y′ > 0; при x > 3,2 y′ < 0. Ответ: возрастает на (0; 3,2], убывает на (−∞; 0) и [3,2; +∞).
3) D(y) = R. y′ = e^(3x) + 3(x − 1)e^(3x) = e^(3x)(3x − 2). y′ = 0 при x = 2/3; y′ < 0 при x < 2/3, y′ > 0 при x > 2/3. Ответ: убывает на (−∞; 2/3], возрастает на [2/3; +∞).
4) D(y) = R. y′ = e^(−3x) − 3xe^(−3x) = e^(−3x)(1 − 3x). y′ = 0 при x = 1/3; y′ > 0 при x < 1/3, y′ < 0 при x > 1/3. Ответ: возрастает на (−∞; 1/3], убывает на [1/3; +∞).
904. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) y = e^(x² + 3x);
2) y = 3^(x² − x).
1) y = e^(x² + 3x);
2) y = 3^(x² − x).
1) y′ = (2x + 3)e^(x² + 3x). Так как показательная функция положительна, знак y′ совпадает со знаком 2x + 3. Ответ: убывает на (−∞; −3/2], возрастает на [−3/2; +∞).
2) y′ = (2x − 1)·3^(x² − x)·ln 3. Знак y′ совпадает со знаком 2x − 1. Ответ: убывает на (−∞; 1/2], возрастает на [1/2; +∞).
2) y′ = (2x − 1)·3^(x² − x)·ln 3. Знак y′ совпадает со знаком 2x − 1. Ответ: убывает на (−∞; 1/2], возрастает на [1/2; +∞).
905. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) y = x − sin 2x;
2) y = 3x + 2 cos 3x.
1) y = x − sin 2x;
2) y = 3x + 2 cos 3x.
1) y′ = 1 − 2cos 2x. y′ > 0 ⇔ cos 2x < 1/2 ⇔ π/3 + 2πn < 2x < 5π/3 + 2πn ⇔ π/6 + πn < x < 5π/6 + πn. y′ < 0 ⇔ cos 2x > 1/2 ⇔ −π/6 + πn < x < π/6 + πn. Ответ: возрастает на отрезках [π/6 + πn; 5π/6 + πn], убывает на отрезках [−π/6 + πn; π/6 + πn], n ∈ Z.
2) y′ = 3 − 6 sin 3x = 3(1 − 2 sin 3x). y′ > 0 ⇔ sin 3x < 1/2 ⇔ 5π/6 + 2πn < 3x < 13π/6 + 2πn ⇔ 5π/18 + 2πn/3 < x < 13π/18 + 2πn/3. y′ < 0 ⇔ sin 3x > 1/2 ⇔ π/18 + 2πn/3 < x < 5π/18 + 2πn/3. Ответ: возрастает на [5π/18 + 2πn/3; 13π/18 + 2πn/3], убывает на [π/18 + 2πn/3; 5π/18 + 2πn/3], n ∈ Z.
2) y′ = 3 − 6 sin 3x = 3(1 − 2 sin 3x). y′ > 0 ⇔ sin 3x < 1/2 ⇔ 5π/6 + 2πn < 3x < 13π/6 + 2πn ⇔ 5π/18 + 2πn/3 < x < 13π/18 + 2πn/3. y′ < 0 ⇔ sin 3x > 1/2 ⇔ π/18 + 2πn/3 < x < 5π/18 + 2πn/3. Ответ: возрастает на [5π/18 + 2πn/3; 13π/18 + 2πn/3], убывает на [π/18 + 2πn/3; 5π/18 + 2πn/3], n ∈ Z.