Глава VIII. Упражнения к главе VIII — с. 257
869. Найти производную функции:
1) 2x⁴ − x³ + 3x + 4;
2) −x⁵ + 2x³ − 3x² − 1;
3) 6∛x + 1/x²;
4) 2/x³ − 8·(корень 4-й степени из x);
5) (2x + 3)⁸;
6) (4 − 3x)⁷;
7) ∛(3x − 2);
8) 1/√(1 − 4x).
1) 2x⁴ − x³ + 3x + 4;
2) −x⁵ + 2x³ − 3x² − 1;
3) 6∛x + 1/x²;
4) 2/x³ − 8·(корень 4-й степени из x);
5) (2x + 3)⁸;
6) (4 − 3x)⁷;
7) ∛(3x − 2);
8) 1/√(1 − 4x).
1) y′ = 8x³ − 3x² + 3.
2) y′ = −5x⁴ + 6x² − 6x.
3) y = 6x^(1/3) + x^(−2); y′ = 2x^(−2/3) − 2x^(−3) = 2/∛(x²) − 2/x³.
4) y = 2x^(−3) − 8x^(1/4); y′ = −6x^(−4) − 2x^(−3/4) = −6/x⁴ − 2/(корень 4-й степени из x³).
5) y′ = 8(2x + 3)⁷·2 = 16(2x + 3)⁷.
6) y′ = 7(4 − 3x)⁶·(−3) = −21(4 − 3x)⁶.
7) y = (3x − 2)^(1/3); y′ = (1/3)(3x − 2)^(−2/3)·3 = 1/∛((3x − 2)²).
8) y = (1 − 4x)^(−1/2); y′ = −(1/2)(1 − 4x)^(−3/2)·(−4) = 2/((1 − 4x)√(1 − 4x)), x < 1/4.
2) y′ = −5x⁴ + 6x² − 6x.
3) y = 6x^(1/3) + x^(−2); y′ = 2x^(−2/3) − 2x^(−3) = 2/∛(x²) − 2/x³.
4) y = 2x^(−3) − 8x^(1/4); y′ = −6x^(−4) − 2x^(−3/4) = −6/x⁴ − 2/(корень 4-й степени из x³).
5) y′ = 8(2x + 3)⁷·2 = 16(2x + 3)⁷.
6) y′ = 7(4 − 3x)⁶·(−3) = −21(4 − 3x)⁶.
7) y = (3x − 2)^(1/3); y′ = (1/3)(3x − 2)^(−2/3)·3 = 1/∛((3x − 2)²).
8) y = (1 − 4x)^(−1/2); y′ = −(1/2)(1 − 4x)^(−3/2)·(−4) = 2/((1 − 4x)√(1 − 4x)), x < 1/4.
870. Найти производную функции:
1) eˣ − sin x;
2) cos x − ln x;
3) sin x − ∛x;
4) 6x⁴ − 9eˣ;
5) 5/x + 4eˣ;
6) 1/(3x³) + (1/2)ln x.
1) eˣ − sin x;
2) cos x − ln x;
3) sin x − ∛x;
4) 6x⁴ − 9eˣ;
5) 5/x + 4eˣ;
6) 1/(3x³) + (1/2)ln x.
1) y′ = eˣ − cos x.
2) y′ = −sin x − 1/x (x > 0).
3) y′ = cos x − (1/3)x^(−2/3) = cos x − 1/(3∛(x²)).
4) y′ = 24x³ − 9eˣ.
5) y′ = −5/x² + 4eˣ.
6) y = (1/3)x^(−3) + (1/2)ln x; y′ = −x^(−4) + 1/(2x) = −1/x⁴ + 1/(2x).
2) y′ = −sin x − 1/x (x > 0).
3) y′ = cos x − (1/3)x^(−2/3) = cos x − 1/(3∛(x²)).
4) y′ = 24x³ − 9eˣ.
5) y′ = −5/x² + 4eˣ.
6) y = (1/3)x^(−3) + (1/2)ln x; y′ = −x^(−4) + 1/(2x) = −1/x⁴ + 1/(2x).
871. Найти производную функции:
1) sin 5x + cos(2x − 3);
2) e^(2x) − ln 3x;
3) sin(x − 3) − ln(1 − 2x);
4) 6 sin(2x/3) − e^(1 − 3x).
1) sin 5x + cos(2x − 3);
2) e^(2x) − ln 3x;
3) sin(x − 3) − ln(1 − 2x);
4) 6 sin(2x/3) − e^(1 − 3x).
Применяем правило производной сложной функции.
1) y′ = 5cos 5x − 2sin(2x − 3).
2) y′ = 2e^(2x) − 3/(3x) = 2e^(2x) − 1/x (x > 0).
3) y′ = cos(x − 3) − (−2)/(1 − 2x) = cos(x − 3) + 2/(1 − 2x) (x < 1/2).
4) y′ = 6·(2/3)cos(2x/3) − e^(1 − 3x)·(−3) = 4cos(2x/3) + 3e^(1 − 3x).
1) y′ = 5cos 5x − 2sin(2x − 3).
2) y′ = 2e^(2x) − 3/(3x) = 2e^(2x) − 1/x (x > 0).
3) y′ = cos(x − 3) − (−2)/(1 − 2x) = cos(x − 3) + 2/(1 − 2x) (x < 1/2).
4) y′ = 6·(2/3)cos(2x/3) − e^(1 − 3x)·(−3) = 4cos(2x/3) + 3e^(1 − 3x).
872. Найти производную функции:
1) x² cos x;
2) x³ ln x;
3) 5x eˣ;
4) x sin 2x;
5) e^(−x) sin x;
6) eˣ cos x.
1) x² cos x;
2) x³ ln x;
3) 5x eˣ;
4) x sin 2x;
5) e^(−x) sin x;
6) eˣ cos x.
Используем (uv)′ = u′v + uv′.
1) y′ = 2x cos x − x² sin x.
2) y′ = 3x² ln x + x³·(1/x) = 3x² ln x + x² = x²(3ln x + 1), x > 0.
3) y′ = 5eˣ + 5x eˣ = 5eˣ(1 + x).
4) y′ = sin 2x + 2x cos 2x.
5) y′ = −e^(−x) sin x + e^(−x) cos x = e^(−x)(cos x − sin x).
6) y′ = eˣ cos x − eˣ sin x = eˣ(cos x − sin x).
1) y′ = 2x cos x − x² sin x.
2) y′ = 3x² ln x + x³·(1/x) = 3x² ln x + x² = x²(3ln x + 1), x > 0.
3) y′ = 5eˣ + 5x eˣ = 5eˣ(1 + x).
4) y′ = sin 2x + 2x cos 2x.
5) y′ = −e^(−x) sin x + e^(−x) cos x = e^(−x)(cos x − sin x).
6) y′ = eˣ cos x − eˣ sin x = eˣ(cos x − sin x).
873. Найти производную функции:
1) (x³ + 1)/(x² + 1);
2) x²/(x³ + 1);
3) sin x/(x + 1);
4) ln x/(1 − x).
1) (x³ + 1)/(x² + 1);
2) x²/(x³ + 1);
3) sin x/(x + 1);
4) ln x/(1 − x).
Используем (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
1) y′ = (3x²(x² + 1) − 2x(x³ + 1))/(x² + 1)² = (3x⁴ + 3x² − 2x⁴ − 2x)/(x² + 1)² = (x⁴ + 3x² − 2x)/(x² + 1)².
2) y′ = (2x(x³ + 1) − x²·3x²)/(x³ + 1)² = (2x − x⁴)/(x³ + 1)².
3) y′ = (cos x (x + 1) − sin x)/(x + 1)².
4) y′ = ((1/x)(1 − x) + ln x)/(1 − x)² = (1 − x + x ln x)/(x(1 − x)²), x > 0, x ≠ 1.
1) y′ = (3x²(x² + 1) − 2x(x³ + 1))/(x² + 1)² = (3x⁴ + 3x² − 2x⁴ − 2x)/(x² + 1)² = (x⁴ + 3x² − 2x)/(x² + 1)².
2) y′ = (2x(x³ + 1) − x²·3x²)/(x³ + 1)² = (2x − x⁴)/(x³ + 1)².
3) y′ = (cos x (x + 1) − sin x)/(x + 1)².
4) y′ = ((1/x)(1 − x) + ln x)/(1 − x)² = (1 − x + x ln x)/(x(1 − x)²), x > 0, x ≠ 1.
874. Найти производную функции:
1) sin³ x;
2) 8^(cos x);
3) cos⁴ x;
4) ln(x³).
1) sin³ x;
2) 8^(cos x);
3) cos⁴ x;
4) ln(x³).
1) y′ = 3sin² x · cos x.
2) y′ = 8^(cos x)·ln 8·(−sin x) = −3 ln 2 · sin x · 8^(cos x).
3) y′ = 4cos³ x·(−sin x) = −4cos³ x sin x.
4) y′ = (1/x³)·3x² = 3/x при x ≠ 0 (при x > 0 то же получается из ln(x³) = 3 ln x).
2) y′ = 8^(cos x)·ln 8·(−sin x) = −3 ln 2 · sin x · 8^(cos x).
3) y′ = 4cos³ x·(−sin x) = −4cos³ x sin x.
4) y′ = (1/x³)·3x² = 3/x при x ≠ 0 (при x > 0 то же получается из ln(x³) = 3 ln x).
875. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f(x) = 2x³ − x²;
2) f(x) = −3x³ + 2x² + 4;
3) f(x) = x⁵ − 5x³ − 20x;
4) f(x) = (x + 3)³(x − 4)²;
5) f(x) = (3x + 1)/(x − 2);
6) f(x) = x² + 2/x.
1) f(x) = 2x³ − x²;
2) f(x) = −3x³ + 2x² + 4;
3) f(x) = x⁵ − 5x³ − 20x;
4) f(x) = (x + 3)³(x − 4)²;
5) f(x) = (3x + 1)/(x − 2);
6) f(x) = x² + 2/x.
1) f′(x) = 6x² − 2x = 2x(3x − 1). f′ = 0 при x = 0, x = 1/3; f′ > 0 при x < 0 и x > 1/3; f′ < 0 при 0 < x < 1/3.
2) f′(x) = −9x² + 4x = x(4 − 9x). f′ = 0 при x = 0, x = 4/9; f′ > 0 при 0 < x < 4/9; f′ < 0 при x < 0 и x > 4/9.
3) f′(x) = 5x⁴ − 15x² − 20 = 5(x² − 4)(x² + 1). Так как x² + 1 > 0: f′ = 0 при x = ±2; f′ > 0 при |x| > 2; f′ < 0 при −2 < x < 2.
4) f′(x) = 3(x + 3)²(x − 4)² + 2(x + 3)³(x − 4) = (x + 3)²(x − 4)(3x − 12 + 2x + 6) = (x + 3)²(x − 4)(5x − 6). f′ = 0 при x = −3, x = 6/5, x = 4. Знак определяет (x − 4)(5x − 6) (при x ≠ −3): f′ > 0 при x < 6/5 (x ≠ −3) и при x > 4; f′ < 0 при 6/5 < x < 4.
5) f′(x) = (3(x − 2) − (3x + 1))/(x − 2)² = −7/(x − 2)², x ≠ 2. f′ = 0 нет решений; f′ > 0 нет решений; f′ < 0 при всех x ≠ 2.
6) f′(x) = 2x − 2/x² = 2(x³ − 1)/x², x ≠ 0. f′ = 0 при x = 1; f′ > 0 при x > 1; f′ < 0 при x < 1, x ≠ 0.
2) f′(x) = −9x² + 4x = x(4 − 9x). f′ = 0 при x = 0, x = 4/9; f′ > 0 при 0 < x < 4/9; f′ < 0 при x < 0 и x > 4/9.
3) f′(x) = 5x⁴ − 15x² − 20 = 5(x² − 4)(x² + 1). Так как x² + 1 > 0: f′ = 0 при x = ±2; f′ > 0 при |x| > 2; f′ < 0 при −2 < x < 2.
4) f′(x) = 3(x + 3)²(x − 4)² + 2(x + 3)³(x − 4) = (x + 3)²(x − 4)(3x − 12 + 2x + 6) = (x + 3)²(x − 4)(5x − 6). f′ = 0 при x = −3, x = 6/5, x = 4. Знак определяет (x − 4)(5x − 6) (при x ≠ −3): f′ > 0 при x < 6/5 (x ≠ −3) и при x > 4; f′ < 0 при 6/5 < x < 4.
5) f′(x) = (3(x − 2) − (3x + 1))/(x − 2)² = −7/(x − 2)², x ≠ 2. f′ = 0 нет решений; f′ > 0 нет решений; f′ < 0 при всех x ≠ 2.
6) f′(x) = 2x − 2/x² = 2(x³ − 1)/x², x ≠ 0. f′ = 0 при x = 1; f′ > 0 при x > 1; f′ < 0 при x < 1, x ≠ 0.
876. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀, если:
1) f(x) = cos x sin x, x₀ = π/6;
2) f(x) = eˣ ln x, x₀ = 1;
3) f(x) = 2cos x/sin x, x₀ = π/4;
4) f(x) = x/(1 + eˣ), x₀ = 0.
1) f(x) = cos x sin x, x₀ = π/6;
2) f(x) = eˣ ln x, x₀ = 1;
3) f(x) = 2cos x/sin x, x₀ = π/4;
4) f(x) = x/(1 + eˣ), x₀ = 0.
1) f(x) = (1/2)sin 2x, f′(x) = cos 2x, f′(π/6) = cos(π/3) = 1/2.
2) f′(x) = eˣ ln x + eˣ/x; f′(1) = 0 + e = e.
3) f(x) = 2ctg x, f′(x) = −2/sin² x; f′(π/4) = −2/(1/2) = −4.
4) f′(x) = ((1 + eˣ) − x eˣ)/(1 + eˣ)²; f′(0) = (1 + 1 − 0)/4 = 1/2.
Ответ: 1) 1/2; 2) e; 3) −4; 4) 1/2.
2) f′(x) = eˣ ln x + eˣ/x; f′(1) = 0 + e = e.
3) f(x) = 2ctg x, f′(x) = −2/sin² x; f′(π/4) = −2/(1/2) = −4.
4) f′(x) = ((1 + eˣ) − x eˣ)/(1 + eˣ)²; f′(0) = (1 + 1 − 0)/4 = 1/2.
Ответ: 1) 1/2; 2) e; 3) −4; 4) 1/2.
877. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:
1) y = x² − 2x, x₀ = 3;
2) y = x³ + 3x, x₀ = 3;
3) y = sin x, x₀ = π/6;
4) y = cos x, x₀ = π/3.
1) y = x² − 2x, x₀ = 3;
2) y = x³ + 3x, x₀ = 3;
3) y = sin x, x₀ = π/6;
4) y = cos x, x₀ = π/3.
Используем y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
1) f(3) = 3, f′(x) = 2x − 2, f′(3) = 4. y = 3 + 4(x − 3) = 4x − 9.
2) f(3) = 27 + 9 = 36, f′(x) = 3x² + 3, f′(3) = 30. y = 36 + 30(x − 3) = 30x − 54.
3) f(π/6) = 1/2, f′(π/6) = cos(π/6) = √3/2. y = 1/2 + (√3/2)(x − π/6) = (√3/2)x + 1/2 − π√3/12.
4) f(π/3) = 1/2, f′(π/3) = −sin(π/3) = −√3/2. y = 1/2 − (√3/2)(x − π/3) = −(√3/2)x + 1/2 + π√3/6.
1) f(3) = 3, f′(x) = 2x − 2, f′(3) = 4. y = 3 + 4(x − 3) = 4x − 9.
2) f(3) = 27 + 9 = 36, f′(x) = 3x² + 3, f′(3) = 30. y = 36 + 30(x − 3) = 30x − 54.
3) f(π/6) = 1/2, f′(π/6) = cos(π/6) = √3/2. y = 1/2 + (√3/2)(x − π/6) = (√3/2)x + 1/2 − π√3/12.
4) f(π/3) = 1/2, f′(π/3) = −sin(π/3) = −√3/2. y = 1/2 − (√3/2)(x − π/3) = −(√3/2)x + 1/2 + π√3/6.