Глава VIII. Производная и её геометрический смысл. § 48. Геометрический смысл производной — с. 255
857. Найти значения k и b, если прямая y = kx + b проходит через точку (x₀; y₀) и образует с осью Ox угол α:
1) α = π/4, x₀ = 2, y₀ = −3;
2) α = π/4, x₀ = −3, y₀ = 2;
3) α = −π/3, x₀ = 1, y₀ = 1;
4) α = −π/6, x₀ = −1, y₀ = −1.
1) α = π/4, x₀ = 2, y₀ = −3;
2) α = π/4, x₀ = −3, y₀ = 2;
3) α = −π/3, x₀ = 1, y₀ = 1;
4) α = −π/6, x₀ = −1, y₀ = −1.
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона: k = tg α. Свободный член находим из условия, что точка (x₀; y₀) лежит на прямой: y₀ = kx₀ + b, откуда b = y₀ − kx₀.
1) k = tg(π/4) = 1; b = −3 − 1·2 = −5. Ответ: k = 1, b = −5.
2) k = 1; b = 2 − 1·(−3) = 5. Ответ: k = 1, b = 5.
3) k = tg(−π/3) = −√3; b = 1 − (−√3)·1 = 1 + √3. Ответ: k = −√3, b = 1 + √3.
4) k = tg(−π/6) = −√3/3; b = −1 − (−√3/3)(−1) = −1 − √3/3. Ответ: k = −√3/3, b = −1 − √3/3.
Оговорка: в скане страницы условие пункта 3) повреждено (значения x₀ и y₀ не читаются); принято x₀ = 1, y₀ = 1. Метод решения от значений не зависит: k = −√3, b = y₀ + √3·x₀.
1) k = tg(π/4) = 1; b = −3 − 1·2 = −5. Ответ: k = 1, b = −5.
2) k = 1; b = 2 − 1·(−3) = 5. Ответ: k = 1, b = 5.
3) k = tg(−π/3) = −√3; b = 1 − (−√3)·1 = 1 + √3. Ответ: k = −√3, b = 1 + √3.
4) k = tg(−π/6) = −√3/3; b = −1 − (−√3/3)(−1) = −1 − √3/3. Ответ: k = −√3/3, b = −1 − √3/3.
Оговорка: в скане страницы условие пункта 3) повреждено (значения x₀ и y₀ не читаются); принято x₀ = 1, y₀ = 1. Метод решения от значений не зависит: k = −√3, b = y₀ + √3·x₀.
858. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
1) f(x) = x³, x₀ = 1;
2) f(x) = sin x, x₀ = π/4;
3) f(x) = ln x, x₀ = 1;
4) f(x) = eˣ, x₀ = ln 3.
1) f(x) = x³, x₀ = 1;
2) f(x) = sin x, x₀ = π/4;
3) f(x) = ln x, x₀ = 1;
4) f(x) = eˣ, x₀ = ln 3.
Угловой коэффициент касательной равен f′(x₀).
1) f′(x) = 3x², f′(1) = 3. Ответ: 3.
2) f′(x) = cos x, f′(π/4) = √2/2. Ответ: √2/2.
3) f′(x) = 1/x, f′(1) = 1. Ответ: 1.
4) f′(x) = eˣ, f′(ln 3) = e^(ln 3) = 3. Ответ: 3.
1) f′(x) = 3x², f′(1) = 3. Ответ: 3.
2) f′(x) = cos x, f′(π/4) = √2/2. Ответ: √2/2.
3) f′(x) = 1/x, f′(1) = 1. Ответ: 1.
4) f′(x) = eˣ, f′(ln 3) = e^(ln 3) = 3. Ответ: 3.
859. Найти угол между касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ и осью Ox:
1) f(x) = x³/3, x₀ = 1;
2) f(x) = 1/x, x₀ = 1;
3) f(x) = 2√x, x₀ = 3;
4) f(x) = 18/√x, x₀ = 3;
5) f(x) = e^((3x + 1)/2), x₀ = 0;
6) f(x) = ln(2x + 1), x₀ = 2.
1) f(x) = x³/3, x₀ = 1;
2) f(x) = 1/x, x₀ = 1;
3) f(x) = 2√x, x₀ = 3;
4) f(x) = 18/√x, x₀ = 3;
5) f(x) = e^((3x + 1)/2), x₀ = 0;
6) f(x) = ln(2x + 1), x₀ = 2.
Угол α между касательной и осью Ox находим из tg α = f′(x₀), 0 ≤ α < π.
1) f′(x) = x², f′(1) = 1, tg α = 1, α = π/4.
2) f′(x) = −1/x², f′(1) = −1, tg α = −1, α = 3π/4.
3) f′(x) = 1/√x, f′(3) = 1/√3, tg α = √3/3, α = π/6.
4) f(x) = 18x^(−1/2), f′(x) = −9x^(−3/2) = −9/(x√x); f′(3) = −9/(3√3) = −√3, α = 2π/3.
5) f′(x) = (3/2)e^((3x + 1)/2), f′(0) = (3/2)√e, α = arctg((3/2)√e).
6) f′(x) = 2/(2x + 1), f′(2) = 2/5, α = arctg(2/5).
Оговорка: в сканах нечитаемы числитель в пункте 4) (восстановлен как 18 по ответу учебника, угол 2π/3) и часть записи пункта 5) (принято e^((3x + 1)/2)).
1) f′(x) = x², f′(1) = 1, tg α = 1, α = π/4.
2) f′(x) = −1/x², f′(1) = −1, tg α = −1, α = 3π/4.
3) f′(x) = 1/√x, f′(3) = 1/√3, tg α = √3/3, α = π/6.
4) f(x) = 18x^(−1/2), f′(x) = −9x^(−3/2) = −9/(x√x); f′(3) = −9/(3√3) = −√3, α = 2π/3.
5) f′(x) = (3/2)e^((3x + 1)/2), f′(0) = (3/2)√e, α = arctg((3/2)√e).
6) f′(x) = 2/(2x + 1), f′(2) = 2/5, α = arctg(2/5).
Оговорка: в сканах нечитаемы числитель в пункте 4) (восстановлен как 18 по ответу учебника, угол 2π/3) и часть записи пункта 5) (принято e^((3x + 1)/2)).
860. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
1) f(x) = x² + x + 1, x₀ = 1;
2) f(x) = x − 3x², x₀ = 2;
3) f(x) = 1/x, x₀ = 3;
4) f(x) = 1/x, x₀ = −2;
5) f(x) = sin x, x₀ = π/4;
6) f(x) = eˣ, x₀ = 0;
7) f(x) = ln x, x₀ = 1;
8) f(x) = √x, x₀ = 1.
1) f(x) = x² + x + 1, x₀ = 1;
2) f(x) = x − 3x², x₀ = 2;
3) f(x) = 1/x, x₀ = 3;
4) f(x) = 1/x, x₀ = −2;
5) f(x) = sin x, x₀ = π/4;
6) f(x) = eˣ, x₀ = 0;
7) f(x) = ln x, x₀ = 1;
8) f(x) = √x, x₀ = 1.
Используем уравнение касательной y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
1) f(1) = 3, f′(x) = 2x + 1, f′(1) = 3. y = 3 + 3(x − 1) = 3x. Ответ: y = 3x.
2) f(2) = 2 − 12 = −10, f′(x) = 1 − 6x, f′(2) = −11. y = −10 − 11(x − 2) = −11x + 12. Ответ: y = −11x + 12.
3) f(3) = 1/3, f′(x) = −1/x², f′(3) = −1/9. y = 1/3 − (x − 3)/9 = −x/9 + 2/3. Ответ: y = −x/9 + 2/3.
4) f(−2) = −1/2, f′(−2) = −1/4. y = −1/2 − (1/4)(x + 2) = −x/4 − 1. Ответ: y = −x/4 − 1.
5) f(π/4) = √2/2, f′(π/4) = cos(π/4) = √2/2. y = √2/2 + (√2/2)(x − π/4). Ответ: y = (√2/2)x + √2/2 − π√2/8.
6) f(0) = 1, f′(0) = 1. y = 1 + x. Ответ: y = x + 1.
7) f(1) = 0, f′(1) = 1. y = x − 1. Ответ: y = x − 1.
8) f(1) = 1, f′(x) = 1/(2√x), f′(1) = 1/2. y = 1 + (x − 1)/2 = x/2 + 1/2. Ответ: y = x/2 + 1/2.
Оговорка: функции в пунктах 3) и 4) в скане плохо читаются; принято f(x) = 1/x (согласуется с ответами учебника для пункта 4)).
1) f(1) = 3, f′(x) = 2x + 1, f′(1) = 3. y = 3 + 3(x − 1) = 3x. Ответ: y = 3x.
2) f(2) = 2 − 12 = −10, f′(x) = 1 − 6x, f′(2) = −11. y = −10 − 11(x − 2) = −11x + 12. Ответ: y = −11x + 12.
3) f(3) = 1/3, f′(x) = −1/x², f′(3) = −1/9. y = 1/3 − (x − 3)/9 = −x/9 + 2/3. Ответ: y = −x/9 + 2/3.
4) f(−2) = −1/2, f′(−2) = −1/4. y = −1/2 − (1/4)(x + 2) = −x/4 − 1. Ответ: y = −x/4 − 1.
5) f(π/4) = √2/2, f′(π/4) = cos(π/4) = √2/2. y = √2/2 + (√2/2)(x − π/4). Ответ: y = (√2/2)x + √2/2 − π√2/8.
6) f(0) = 1, f′(0) = 1. y = 1 + x. Ответ: y = x + 1.
7) f(1) = 0, f′(1) = 1. y = x − 1. Ответ: y = x − 1.
8) f(1) = 1, f′(x) = 1/(2√x), f′(1) = 1/2. y = 1 + (x − 1)/2 = x/2 + 1/2. Ответ: y = x/2 + 1/2.
Оговорка: функции в пунктах 3) и 4) в скане плохо читаются; принято f(x) = 1/x (согласуется с ответами учебника для пункта 4)).
861. Функция y = f(x) задана своим графиком (рис. 118, а, б). Из точек A, B, C, D, E, F, G выбрать те, в которых производная этой функции принимает:
а) положительные значения;
б) отрицательные значения;
в) значения, равные 0.
[рисунок 118: графики а) и б) функции y = f(x) на клетчатом поле с отмеченными точками A–G]
а) положительные значения;
б) отрицательные значения;
в) значения, равные 0.
[рисунок 118: графики а) и б) функции y = f(x) на клетчатом поле с отмеченными точками A–G]
Знак производной определяется поведением графика: где функция возрастает, f′(x) > 0; где убывает, f′(x) < 0; в точках локального максимума и минимума (касательная горизонтальна) f′(x) = 0.
Рис. 118, а:
а) f′ > 0: A, B, E (график идёт вверх);
б) f′ < 0: D, G (график идёт вниз);
в) f′ = 0: C и F (вершины максимумов).
Рис. 118, б:
а) f′ > 0: C, G;
б) f′ < 0: A, E;
в) f′ = 0: B, D, F (точки минимума B, F и максимума D).
Оговорка: ответ получен по рисунку; принято, что точки C, F (рис. а) и B, D, F (рис. б) стоят в точках экстремума.
Рис. 118, а:
а) f′ > 0: A, B, E (график идёт вверх);
б) f′ < 0: D, G (график идёт вниз);
в) f′ = 0: C и F (вершины максимумов).
Рис. 118, б:
а) f′ > 0: C, G;
б) f′ < 0: A, E;
в) f′ = 0: B, D, F (точки минимума B, F и максимума D).
Оговорка: ответ получен по рисунку; принято, что точки C, F (рис. а) и B, D, F (рис. б) стоят в точках экстремума.