Глава VIII. § 47. Производные некоторых элементарных функций — с. 250
842. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции f(x) положительно:
1) f(x) = e^x − x;
2) f(x) = x ln 2 − 2^x;
3) f(x) = e^x x²;
4) f(x) = e^x √x.
1) f(x) = e^x − x;
2) f(x) = x ln 2 − 2^x;
3) f(x) = e^x x²;
4) f(x) = e^x √x.
1) f'(x) = e^x − 1 > 0, e^x > 1, x > 0.
2) f'(x) = ln 2 − 2^x ln 2 = ln 2 (1 − 2^x). Так как ln 2 > 0, нужно 2^x < 1, т. е. x < 0.
3) f'(x) = e^x x² + 2x e^x = e^x x(x + 2) > 0, так как e^x > 0, то x(x + 2) > 0: x < −2 или x > 0.
4) Область определения x ≥ 0, производная существует при x > 0: f'(x) = e^x √x + e^x/(2√x) = e^x (2x + 1)/(2√x) > 0 при всех x > 0. Ответ: x > 0.
2) f'(x) = ln 2 − 2^x ln 2 = ln 2 (1 − 2^x). Так как ln 2 > 0, нужно 2^x < 1, т. е. x < 0.
3) f'(x) = e^x x² + 2x e^x = e^x x(x + 2) > 0, так как e^x > 0, то x(x + 2) > 0: x < −2 или x > 0.
4) Область определения x ≥ 0, производная существует при x > 0: f'(x) = e^x √x + e^x/(2√x) = e^x (2x + 1)/(2√x) > 0 при всех x > 0. Ответ: x > 0.
843. Найти производную функции (843—851):
1) √((2x − 1)/3) + ln((2x + 3)/5);
2) √((1 − x)/6) − 2 ln((2 − 5x)/3);
3) 2e^((1 − x)/3) + 3cos((1 − x)/2);
4) 3e^((2 − x)/3) − 2 sin((1 + x)/4).
1) √((2x − 1)/3) + ln((2x + 3)/5);
2) √((1 − x)/6) − 2 ln((2 − 5x)/3);
3) 2e^((1 − x)/3) + 3cos((1 − x)/2);
4) 3e^((2 − x)/3) − 2 sin((1 + x)/4).
1) Область определения x > 1/2. (√((2x − 1)/3))' = (1/(2√((2x − 1)/3))) · (2/3) = 1/(3√((2x − 1)/3)) = 1/√(3(2x − 1)); (ln((2x + 3)/5))' = 2/(2x + 3). Ответ: 1/√(6x − 3) + 2/(2x + 3).
2) Область определения x < 2/5. (√((1 − x)/6))' = (1/(2√((1 − x)/6))) · (−1/6) = −√6/(12√(1 − x)) = −1/(2√(6(1 − x))); (−2 ln((2 − 5x)/3))' = −2 · (−5)/(2 − 5x) = 10/(2 − 5x). Ответ: 10/(2 − 5x) − 1/(2√(6(1 − x))).
3) 2 · (−1/3)e^((1 − x)/3) + 3 · (−sin((1 − x)/2)) · (−1/2) = −(2/3)e^((1 − x)/3) + (3/2) sin((1 − x)/2).
4) 3 · (−1/3)e^((2 − x)/3) − 2cos((1 + x)/4) · (1/4) = −e^((2 − x)/3) − (1/2)cos((1 + x)/4).
2) Область определения x < 2/5. (√((1 − x)/6))' = (1/(2√((1 − x)/6))) · (−1/6) = −√6/(12√(1 − x)) = −1/(2√(6(1 − x))); (−2 ln((2 − 5x)/3))' = −2 · (−5)/(2 − 5x) = 10/(2 − 5x). Ответ: 10/(2 − 5x) − 1/(2√(6(1 − x))).
3) 2 · (−1/3)e^((1 − x)/3) + 3 · (−sin((1 − x)/2)) · (−1/2) = −(2/3)e^((1 − x)/3) + (3/2) sin((1 − x)/2).
4) 3 · (−1/3)e^((2 − x)/3) − 2cos((1 + x)/4) · (1/4) = −e^((2 − x)/3) − (1/2)cos((1 + x)/4).
844. 1) корень 3-й степени из (3/(2 − x)) − 3cos((x − 2)/3);
2) 2 · корень 4-й степени из (1/(x + 2)³) − 5e^((x − 4)/5).
2) 2 · корень 4-й степени из (1/(x + 2)³) − 5e^((x − 4)/5).
1) Первое слагаемое: 3^(1/3)(2 − x)^(−1/3); производная 3^(1/3) · (−1/3)(2 − x)^(−4/3) · (−1) = 3^(1/3)/(3(2 − x)^(4/3)). Второе: (−3cos((x − 2)/3))' = sin((x − 2)/3). Ответ: корень 3-й степени из 3/(3 · корень 3-й степени из (2 − x)^4) + sin((x − 2)/3), x ≠ 2.
2) 2(x + 2)^(−3/4); производная 2 · (−3/4)(x + 2)^(−7/4) = −3/(2 · корень 4-й степени из (x + 2)^7); (−5e^((x − 4)/5))' = −e^((x − 4)/5). Ответ: −3/(2 · корень 4-й степени из (x + 2)^7) − e^((x − 4)/5), x > −2.
2) 2(x + 2)^(−3/4); производная 2 · (−3/4)(x + 2)^(−7/4) = −3/(2 · корень 4-й степени из (x + 2)^7); (−5e^((x − 4)/5))' = −e^((x − 4)/5). Ответ: −3/(2 · корень 4-й степени из (x + 2)^7) − e^((x − 4)/5), x > −2.
845. 1) 0,5^x · cos 2x;
2) 5√x · e^(−x);
3) e^(3 − 2x) · cos(3 − 2x).
2) 5√x · e^(−x);
3) e^(3 − 2x) · cos(3 − 2x).
Применяем правило производной произведения.
1) 0,5^x ln 0,5 · cos 2x − 2 · 0,5^x sin 2x = −0,5^x (ln 2 · cos 2x + 2 sin 2x).
2) 5(e^(−x)/(2√x) − √x e^(−x)) = 5e^(−x)(1 − 2x)/(2√x), x > 0.
3) −2e^(3 − 2x) cos(3 − 2x) + e^(3 − 2x) · 2 sin(3 − 2x) = 2e^(3 − 2x)(sin(3 − 2x) − cos(3 − 2x)).
1) 0,5^x ln 0,5 · cos 2x − 2 · 0,5^x sin 2x = −0,5^x (ln 2 · cos 2x + 2 sin 2x).
2) 5(e^(−x)/(2√x) − √x e^(−x)) = 5e^(−x)(1 − 2x)/(2√x), x > 0.
3) −2e^(3 − 2x) cos(3 − 2x) + e^(3 − 2x) · 2 sin(3 − 2x) = 2e^(3 − 2x)(sin(3 − 2x) − cos(3 − 2x)).
846. 1) ln √(x − 1);
2) e^(√(3 + x));
3) ln(cos x);
4) ln(sin x).
2) e^(√(3 + x));
3) ln(cos x);
4) ln(sin x).
1) ln √(x − 1) = (1/2) ln(x − 1), x > 1; производная 1/(2(x − 1)).
2) e^(√(3 + x)) · 1/(2√(3 + x)), x > −3.
3) (−sin x)/cos x = −tg x (при cos x > 0).
4) cos x/sin x = ctg x (при sin x > 0).
2) e^(√(3 + x)) · 1/(2√(3 + x)), x > −3.
3) (−sin x)/cos x = −tg x (при cos x > 0).
4) cos x/sin x = ctg x (при sin x > 0).
847. 1) 2^(cos x + 1);
2) 0,5^(1 + sin x);
3) cos(корень 3-й степени из (x + 2));
4) sin(ln x).
2) 0,5^(1 + sin x);
3) cos(корень 3-й степени из (x + 2));
4) sin(ln x).
1) 2^(cos x + 1) · ln 2 · (−sin x) = −ln 2 · sin x · 2^(cos x + 1).
2) 0,5^(1 + sin x) · ln 0,5 · cos x = −ln 2 · cos x · 0,5^(1 + sin x).
3) −sin(корень 3-й степени из (x + 2)) · (1/3)(x + 2)^(−2/3) = −sin(корень 3-й степени из (x + 2))/(3 · корень 3-й степени из (x + 2)²).
4) cos(ln x) · 1/x = cos(ln x)/x, x > 0.
2) 0,5^(1 + sin x) · ln 0,5 · cos x = −ln 2 · cos x · 0,5^(1 + sin x).
3) −sin(корень 3-й степени из (x + 2)) · (1/3)(x + 2)^(−2/3) = −sin(корень 3-й степени из (x + 2))/(3 · корень 3-й степени из (x + 2)²).
4) cos(ln x) · 1/x = cos(ln x)/x, x > 0.
848. 1) √(x² + 2x − 1);
2) корень 3-й степени из (sin x);
3) корень 4-й степени из (cos x);
4) √(log₂ x).
2) корень 3-й степени из (sin x);
3) корень 4-й степени из (cos x);
4) √(log₂ x).
1) (2x + 2)/(2√(x² + 2x − 1)) = (x + 1)/√(x² + 2x − 1).
2) (sin x)^(1/3); производная (1/3)(sin x)^(−2/3) cos x = cos x/(3 · корень 3-й степени из sin² x).
3) (cos x)^(1/4); производная (1/4)(cos x)^(−3/4)(−sin x) = −sin x/(4 · корень 4-й степени из cos³ x).
4) (1/(2√(log₂ x))) · 1/(x ln 2) = 1/(2x ln 2 · √(log₂ x)), x > 1.
2) (sin x)^(1/3); производная (1/3)(sin x)^(−2/3) cos x = cos x/(3 · корень 3-й степени из sin² x).
3) (cos x)^(1/4); производная (1/4)(cos x)^(−3/4)(−sin x) = −sin x/(4 · корень 4-й степени из cos³ x).
4) (1/(2√(log₂ x))) · 1/(x ln 2) = 1/(2x ln 2 · √(log₂ x)), x > 1.
849.
1. (1 + cos x)/sin x;
2) √(3x)/(3^x + 1);
3) e^(0,5x)/(cos 2x − 5);
4) 5^(2x)/(sin 3x + 7).
2) √(3x)/(3^x + 1);
3) e^(0,5x)/(cos 2x − 5);
4) 5^(2x)/(sin 3x + 7).
Применяем правило производной частного.
1) (−sin x · sin x − (1 + cos x) cos x)/sin² x = (−sin² x − cos x − cos² x)/sin² x = −(1 + cos x)/sin² x.
2) ((√3/(2√x))(3^x + 1) − √(3x) · 3^x ln 3)/(3^x + 1)².
3) (0,5e^(0,5x)(cos 2x − 5) + 2e^(0,5x) sin 2x)/(cos 2x − 5)² = e^(0,5x)(0,5cos 2x − 2,5 + 2 sin 2x)/(cos 2x − 5)².
4) (2 · 5^(2x) ln 5 (sin 3x + 7) − 3 · 5^(2x) cos 3x)/(sin 3x + 7)² = 5^(2x)(2 ln 5 (sin 3x + 7) − 3cos 3x)/(sin 3x + 7)².
1) (−sin x · sin x − (1 + cos x) cos x)/sin² x = (−sin² x − cos x − cos² x)/sin² x = −(1 + cos x)/sin² x.
2) ((√3/(2√x))(3^x + 1) − √(3x) · 3^x ln 3)/(3^x + 1)².
3) (0,5e^(0,5x)(cos 2x − 5) + 2e^(0,5x) sin 2x)/(cos 2x − 5)² = e^(0,5x)(0,5cos 2x − 2,5 + 2 sin 2x)/(cos 2x − 5)².
4) (2 · 5^(2x) ln 5 (sin 3x + 7) − 3 · 5^(2x) cos 3x)/(sin 3x + 7)² = 5^(2x)(2 ln 5 (sin 3x + 7) − 3cos 3x)/(sin 3x + 7)².
850.
1. (e^x − e^(−x))/x;
2) (2^x − log₂ x)/(ln 2 · x).
2) (2^x − log₂ x)/(ln 2 · x).
1) ((e^x + e^(−x))x − (e^x − e^(−x)))/x² = (x(e^x + e^(−x)) − e^x + e^(−x))/x².
2) Множитель 1/ln 2 — постоянный. Производная дроби (2^x − log₂ x)/x равна ((2^x ln 2 − 1/(x ln 2))x − (2^x − log₂ x))/x² = (x 2^x ln 2 − 1/ln 2 − 2^x + log₂ x)/x². Окончательно: (x · 2^x ln 2 − 2^x + log₂ x − 1/ln 2)/(x² ln 2), x > 0.
2) Множитель 1/ln 2 — постоянный. Производная дроби (2^x − log₂ x)/x равна ((2^x ln 2 − 1/(x ln 2))x − (2^x − log₂ x))/x² = (x 2^x ln 2 − 1/ln 2 − 2^x + log₂ x)/x². Окончательно: (x · 2^x ln 2 − 2^x + log₂ x − 1/ln 2)/(x² ln 2), x > 0.
851.
1. (sin x − cos x)/x;
2) (1 − sin 2x)/(sin x − cos x).
2) (1 − sin 2x)/(sin x − cos x).
1) ((cos x + sin x)x − (sin x − cos x))/x² = (x(sin x + cos x) − sin x + cos x)/x².
2) Так как 1 − sin 2x = sin² x + cos² x − 2 sin x cos x = (sin x − cos x)², при sin x ≠ cos x дробь равна sin x − cos x. Производная: cos x + sin x.
2) Так как 1 − sin 2x = sin² x + cos² x − 2 sin x cos x = (sin x − cos x)², при sin x ≠ cos x дробь равна sin x − cos x. Производная: cos x + sin x.
852. Выяснить, при каких значениях x значение производной функции f(x) равно 0:
1) f(x) = 5(sin x − cos x) + √2 cos 5x;
2) f(x) = 1 − 5cos 2x + 2(sin x − cos x) − 2x.
1) f(x) = 5(sin x − cos x) + √2 cos 5x;
2) f(x) = 1 − 5cos 2x + 2(sin x − cos x) − 2x.
1) f'(x) = 5(cos x + sin x) − 5√2 sin 5x = 0, cos x + sin x = √2 sin 5x. Так как cos x + sin x = √2 sin(x + π/4), получаем sin 5x = sin(x + π/4), т. е. sin 5x − sin(x + π/4) = 0. Отсюда либо 5x = x + π/4 + 2πk, x = π/16 + πk/2; либо 5x = π − x − π/4 + 2πk, 6x = 3π/4 + 2πk, x = π/8 + πk/3, k ∈ Z.
2) f'(x) = 10 sin 2x + 2(cos x + sin x) − 2 = 0. Пусть t = sin x + cos x, тогда sin 2x = t² − 1 и 10(t² − 1) + 2t − 2 = 0, 5t² + t − 6 = 0, t = 1 или t = −6/5.
t = 1: √2 sin(x + π/4) = 1, sin(x + π/4) = √2/2, x + π/4 = π/4 + 2πk или x + π/4 = 3π/4 + 2πk; x = 2πk или x = π/2 + 2πk.
t = −6/5: sin(x + π/4) = −6/(5√2) = −3√2/5; |−3√2/5| ≈ 0,85 < 1, корни есть: x = −π/4 + (−1)^(n + 1) arcsin(3√2/5) + πn.
Ответ: 2πk; π/2 + 2πk; −π/4 + (−1)^(n + 1) arcsin(3√2/5) + πn; k, n ∈ Z.
2) f'(x) = 10 sin 2x + 2(cos x + sin x) − 2 = 0. Пусть t = sin x + cos x, тогда sin 2x = t² − 1 и 10(t² − 1) + 2t − 2 = 0, 5t² + t − 6 = 0, t = 1 или t = −6/5.
t = 1: √2 sin(x + π/4) = 1, sin(x + π/4) = √2/2, x + π/4 = π/4 + 2πk или x + π/4 = 3π/4 + 2πk; x = 2πk или x = π/2 + 2πk.
t = −6/5: sin(x + π/4) = −6/(5√2) = −3√2/5; |−3√2/5| ≈ 0,85 < 1, корни есть: x = −π/4 + (−1)^(n + 1) arcsin(3√2/5) + πn.
Ответ: 2πk; π/2 + 2πk; −π/4 + (−1)^(n + 1) arcsin(3√2/5) + πn; k, n ∈ Z.
853. Найти значения производной функции f(x) в точках, в которых значение этой функции равно 0:
1) f(x) = e^(2x) ln(2x − 1);
2) f(x) = (sin x − cos x)/sin x.
1) f(x) = e^(2x) ln(2x − 1);
2) f(x) = (sin x − cos x)/sin x.
1) Область определения x > 1/2. f(x) = 0 при ln(2x − 1) = 0 (e^(2x) ≠ 0), 2x − 1 = 1, x = 1. f'(x) = 2e^(2x) ln(2x − 1) + 2e^(2x)/(2x − 1); f'(1) = 0 + 2e² = 2e².
2) f(x) = 1 − ctg x, sin x ≠ 0. f(x) = 0 при sin x = cos x, tg x = 1, x = π/4 + πk. f'(x) = 1/sin² x; при x = π/4 + πk sin² x = 1/2, поэтому f' = 2.
Ответ: 1) 2e²; 2) 2.
2) f(x) = 1 − ctg x, sin x ≠ 0. f(x) = 0 при sin x = cos x, tg x = 1, x = π/4 + πk. f'(x) = 1/sin² x; при x = π/4 + πk sin² x = 1/2, поэтому f' = 2.
Ответ: 1) 2e²; 2) 2.
854. Вычислить f'(x) + f(x) + 2, если f(x) = x sin 2x, x = π.
f'(x) = sin 2x + 2x cos 2x. f'(π) = sin 2π + 2π cos 2π = 0 + 2π = 2π. f(π) = π sin 2π = 0. Тогда f'(π) + f(π) + 2 = 2π + 0 + 2 = 2π + 2.
Ответ: 2π + 2.
Ответ: 2π + 2.
855. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f(x) = x − ln x;
2) f(x) = x ln x;
3) f(x) = x² ln x;
4) f(x) = x³ − 3 ln x.
1) f(x) = x − ln x;
2) f(x) = x ln x;
3) f(x) = x² ln x;
4) f(x) = x³ − 3 ln x.
Во всех случаях область определения x > 0.
1) f'(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. f' = 0 при x = 1; f' > 0 при x > 1; f' < 0 при 0 < x < 1.
2) f'(x) = ln x + 1. f' = 0 при x = 1/e; f' > 0 при x > 1/e; f' < 0 при 0 < x < 1/e.
3) f'(x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1). f' = 0 при ln x = −1/2, x = 1/√e; f' > 0 при x > 1/√e; f' < 0 при 0 < x < 1/√e.
4) f'(x) = 3x² − 3/x = 3(x³ − 1)/x. f' = 0 при x = 1; f' > 0 при x > 1; f' < 0 при 0 < x < 1.
1) f'(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x. f' = 0 при x = 1; f' > 0 при x > 1; f' < 0 при 0 < x < 1.
2) f'(x) = ln x + 1. f' = 0 при x = 1/e; f' > 0 при x > 1/e; f' < 0 при 0 < x < 1/e.
3) f'(x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1). f' = 0 при ln x = −1/2, x = 1/√e; f' > 0 при x > 1/√e; f' < 0 при 0 < x < 1/√e.
4) f'(x) = 3x² − 3/x = 3(x³ − 1)/x. f' = 0 при x = 1; f' > 0 при x > 1; f' < 0 при 0 < x < 1.
856. Найти производную функции ln(x² − 5x + 6) при x < 2 и при x > 3.
Функция определена при x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) > 0, т. е. при x < 2 и x > 3. По правилу производной сложной функции y' = (2x − 5)/(x² − 5x + 6).
Ответ: (2x − 5)/(x² − 5x + 6) при x < 2 и при x > 3.
Ответ: (2x − 5)/(x² − 5x + 6) при x < 2 и при x > 3.