Глава VIII. Производная и её геометрический смысл. § 48. Геометрический смысл производной — с. 256
862. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = 0:
1) f(x) = x + 1/(x + 1);
2) f(x) = sin 2x − ln(x + 1).
1) f(x) = x + 1/(x + 1);
2) f(x) = sin 2x − ln(x + 1).
Применяем y = f(0) + f′(0)·x.
1) f(0) = 0 + 1 = 1; f′(x) = 1 − 1/(x + 1)², f′(0) = 0. Касательная y = 1. Ответ: y = 1.
2) Область определения x > −1. f(0) = 0 − 0 = 0; f′(x) = 2cos 2x − 1/(x + 1), f′(0) = 2 − 1 = 1. Касательная y = x. Ответ: y = x.
1) f(0) = 0 + 1 = 1; f′(x) = 1 − 1/(x + 1)², f′(0) = 0. Касательная y = 1. Ответ: y = 1.
2) Область определения x > −1. f(0) = 0 − 0 = 0; f′(x) = 2cos 2x − 1/(x + 1), f′(0) = 2 − 1 = 1. Касательная y = x. Ответ: y = x.
863. Найти угол между осью Oy и касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = 0:
1) f(x) = x + e^(−x);
2) f(x) = cos x;
3) f(x) = √(x + 1) + e^(x/2).
1) f(x) = x + e^(−x);
2) f(x) = cos x;
3) f(x) = √(x + 1) + e^(x/2).
Ось Oy перпендикулярна оси Ox, поэтому угол между касательной и осью Oy равен π/2 − φ, где φ — острый угол между касательной и осью Ox, tg φ = |f′(0)|.
1) f′(x) = 1 − e^(−x), f′(0) = 0: касательная горизонтальна, перпендикулярна оси Oy. Угол π/2.
2) f′(x) = −sin x, f′(0) = 0: касательная y = 1 горизонтальна. Угол π/2.
3) f′(x) = 1/(2√(x + 1)) + (1/2)e^(x/2), f′(0) = 1/2 + 1/2 = 1, касательная наклонена к Ox под углом π/4, значит, к оси Oy тоже под углом π/4.
Ответ: 1) π/2; 2) π/2; 3) π/4.
1) f′(x) = 1 − e^(−x), f′(0) = 0: касательная горизонтальна, перпендикулярна оси Oy. Угол π/2.
2) f′(x) = −sin x, f′(0) = 0: касательная y = 1 горизонтальна. Угол π/2.
3) f′(x) = 1/(2√(x + 1)) + (1/2)e^(x/2), f′(0) = 1/2 + 1/2 = 1, касательная наклонена к Ox под углом π/4, значит, к оси Oy тоже под углом π/4.
Ответ: 1) π/2; 2) π/2; 3) π/4.
864. Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):
1) y = 8 − x и y = 4√(x + 4);
2) y = (1/2)(x + 1)² и y = (1/2)(x − 1)²;
3) y = ln(1 + x) и y = ln(1 − x);
4) y = eˣ и y = e^(−x)?
1) y = 8 − x и y = 4√(x + 4);
2) y = (1/2)(x + 1)² и y = (1/2)(x − 1)²;
3) y = ln(1 + x) и y = ln(1 − x);
4) y = eˣ и y = e^(−x)?
Находим точку пересечения, затем угловые коэффициенты касательных k₁ и k₂ в ней. Если k₁k₂ = −1, касательные перпендикулярны.
1) 8 − x = 4√(x + 4), нужно x ≤ 8. Возводим в квадрат: 64 − 16x + x² = 16x + 64, x² − 32x = 0, x = 0 или x = 32; x = 32 не подходит (8 − x < 0). Точка (0; 8). k₁ = −1; k₂ = 4/(2√(x + 4)) = 2/√(x + 4) = 1 при x = 0. k₁k₂ = −1, угол 90°.
2) (x + 1)² = (x − 1)² ⇒ 4x = 0, x = 0, точка (0; 1/2). k₁ = x + 1 = 1, k₂ = x − 1 = −1. Произведение −1, угол 90°.
3) ln(1 + x) = ln(1 − x) при −1 < x < 1 ⇒ x = 0, точка (0; 0). k₁ = 1/(1 + x) = 1, k₂ = −1/(1 − x) = −1. Угол 90°.
4) eˣ = e^(−x) ⇒ x = 0, точка (0; 1). k₁ = 1, k₂ = −1. Угол 90°.
Ответ: во всех случаях под углом π/2.
1) 8 − x = 4√(x + 4), нужно x ≤ 8. Возводим в квадрат: 64 − 16x + x² = 16x + 64, x² − 32x = 0, x = 0 или x = 32; x = 32 не подходит (8 − x < 0). Точка (0; 8). k₁ = −1; k₂ = 4/(2√(x + 4)) = 2/√(x + 4) = 1 при x = 0. k₁k₂ = −1, угол 90°.
2) (x + 1)² = (x − 1)² ⇒ 4x = 0, x = 0, точка (0; 1/2). k₁ = x + 1 = 1, k₂ = x − 1 = −1. Произведение −1, угол 90°.
3) ln(1 + x) = ln(1 − x) при −1 < x < 1 ⇒ x = 0, точка (0; 0). k₁ = 1/(1 + x) = 1, k₂ = −1/(1 − x) = −1. Угол 90°.
4) eˣ = e^(−x) ⇒ x = 0, точка (0; 1). k₁ = 1, k₂ = −1. Угол 90°.
Ответ: во всех случаях под углом π/2.
865. Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:
1) y = x⁴ и y = x⁶ + 2x²;
2) y = x⁴ и y = x³ − 3x²;
3) y = (x + 2)² и y = 2 − x²;
4) y = x(2 + x) и y = x(2 − x).
1) y = x⁴ и y = x⁶ + 2x²;
2) y = x⁴ и y = x³ − 3x²;
3) y = (x + 2)² и y = 2 − x²;
4) y = x(2 + x) и y = x(2 − x).
Находим общие точки из равенства функций, затем сравниваем производные в этих точках.
1) x⁴ = x⁶ + 2x² ⇒ x²(x⁴ − x² + 2) = 0. Для x⁴ − x² + 2 дискриминант 1 − 8 < 0, корней нет, значит x = 0 — единственная общая точка (0; 0). Производные: (x⁴)′ = 4x³ = 0, (x⁶ + 2x²)′ = 6x⁵ + 4x = 0 при x = 0. Производные равны, общая касательная y = 0.
2) x⁴ = x³ − 3x² ⇒ x²(x² − x + 3) = 0; дискриминант 1 − 12 < 0, поэтому x = 0, точка (0; 0). Производные: 4x³ = 0 и 3x² − 6x = 0 при x = 0. Касательная y = 0.
3) (x + 2)² = 2 − x² ⇒ 2x² + 4x + 2 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0, x = −1, точка (−1; 1). Производные: 2(x + 2) = 2 и −2x = 2 при x = −1. Касательная y = 1 + 2(x + 1) = 2x + 3.
4) 2x + x² = 2x − x² ⇒ 2x² = 0, x = 0, точка (0; 0). Производные: 2 + 2x = 2 и 2 − 2x = 2. Касательная y = 2x.
Ответ: 1) y = 0; 2) y = 0; 3) y = 2x + 3; 4) y = 2x.
1) x⁴ = x⁶ + 2x² ⇒ x²(x⁴ − x² + 2) = 0. Для x⁴ − x² + 2 дискриминант 1 − 8 < 0, корней нет, значит x = 0 — единственная общая точка (0; 0). Производные: (x⁴)′ = 4x³ = 0, (x⁶ + 2x²)′ = 6x⁵ + 4x = 0 при x = 0. Производные равны, общая касательная y = 0.
2) x⁴ = x³ − 3x² ⇒ x²(x² − x + 3) = 0; дискриминант 1 − 12 < 0, поэтому x = 0, точка (0; 0). Производные: 4x³ = 0 и 3x² − 6x = 0 при x = 0. Касательная y = 0.
3) (x + 2)² = 2 − x² ⇒ 2x² + 4x + 2 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0, x = −1, точка (−1; 1). Производные: 2(x + 2) = 2 и −2x = 2 при x = −1. Касательная y = 1 + 2(x + 1) = 2x + 3.
4) 2x + x² = 2x − x² ⇒ 2x² = 0, x = 0, точка (0; 0). Производные: 2 + 2x = 2 и 2 − 2x = 2. Касательная y = 2x.
Ответ: 1) y = 0; 2) y = 0; 3) y = 2x + 3; 4) y = 2x.
866. Найти точки графика функции y = f(x), в которых касательная к этому графику параллельна прямой y = kx:
1) f(x) = eˣ + e^(−x), k = 3/2;
2) f(x) = √(3x + 1), k = 3/4;
3) f(x) = sin 2x, k = 2;
4) f(x) = x + sin x, k = 0.
1) f(x) = eˣ + e^(−x), k = 3/2;
2) f(x) = √(3x + 1), k = 3/4;
3) f(x) = sin 2x, k = 2;
4) f(x) = x + sin x, k = 0.
Касательная параллельна прямой y = kx, если f′(x) = k.
1) f′(x) = eˣ − e^(−x) = 3/2. Пусть t = eˣ > 0: t − 1/t = 3/2 ⇒ 2t² − 3t − 2 = 0 ⇒ t = 2 (t = −1/2 не подходит). x = ln 2, y = 2 + 1/2 = 5/2. Точка (ln 2; 5/2).
2) Область 3x + 1 ≥ 0. f′(x) = 3/(2√(3x + 1)) = 3/4 ⇒ √(3x + 1) = 2 ⇒ x = 1, y = 2. Точка (1; 2).
3) f′(x) = 2cos 2x = 2 ⇒ cos 2x = 1 ⇒ x = πn, y = sin 2πn = 0. Точки (πn; 0), n ∈ Z.
4) f′(x) = 1 + cos x = 0 ⇒ cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn, y = π + 2πn. Точки (π + 2πn; π + 2πn), n ∈ Z.
1) f′(x) = eˣ − e^(−x) = 3/2. Пусть t = eˣ > 0: t − 1/t = 3/2 ⇒ 2t² − 3t − 2 = 0 ⇒ t = 2 (t = −1/2 не подходит). x = ln 2, y = 2 + 1/2 = 5/2. Точка (ln 2; 5/2).
2) Область 3x + 1 ≥ 0. f′(x) = 3/(2√(3x + 1)) = 3/4 ⇒ √(3x + 1) = 2 ⇒ x = 1, y = 2. Точка (1; 2).
3) f′(x) = 2cos 2x = 2 ⇒ cos 2x = 1 ⇒ x = πn, y = sin 2πn = 0. Точки (πn; 0), n ∈ Z.
4) f′(x) = 1 + cos x = 0 ⇒ cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn, y = π + 2πn. Точки (π + 2πn; π + 2πn), n ∈ Z.
867. В каких точках касательная к графику функции y = (x + 2)/(x − 2) образует с осью Ox угол, равный −π/4?
Область определения x ≠ 2. y = 1 + 4/(x − 2), y′ = −4/(x − 2)². Угол −π/4 означает угловой коэффициент tg(−π/4) = −1.
−4/(x − 2)² = −1 ⇒ (x − 2)² = 4 ⇒ x = 0 или x = 4.
При x = 0: y = −1; при x = 4: y = 3.
Ответ: в точках (0; −1) и (4; 3).
−4/(x − 2)² = −1 ⇒ (x − 2)² = 4 ⇒ x = 0 или x = 4.
При x = 0: y = −1; при x = 4: y = 3.
Ответ: в точках (0; −1) и (4; 3).
868. Найти точки, в которых касательные к кривым
f(x) = x³ − x − 1 и g(x) = 3x² − 4x + 1
параллельны. Написать уравнения этих касательных.
f(x) = x³ − x − 1 и g(x) = 3x² − 4x + 1
параллельны. Написать уравнения этих касательных.
Касательные параллельны, если f′(x) = g′(x) при одном и том же x. f′(x) = 3x² − 1, g′(x) = 6x − 4.
3x² − 1 = 6x − 4 ⇒ 3x² − 6x + 3 = 0 ⇒ (x − 1)² = 0 ⇒ x = 1. Угловой коэффициент обеих касательных равен 6 − 4 = 2.
f(1) = 1 − 1 − 1 = −1: касательная к f: y = −1 + 2(x − 1) = 2x − 3.
g(1) = 3 − 4 + 1 = 0: касательная к g: y = 0 + 2(x − 1) = 2x − 2.
Ответ: в точках (1; −1) и (1; 0); y = 2x − 3 и y = 2x − 2.
3x² − 1 = 6x − 4 ⇒ 3x² − 6x + 3 = 0 ⇒ (x − 1)² = 0 ⇒ x = 1. Угловой коэффициент обеих касательных равен 6 − 4 = 2.
f(1) = 1 − 1 − 1 = −1: касательная к f: y = −1 + 2(x − 1) = 2x − 3.
g(1) = 3 − 4 + 1 = 0: касательная к g: y = 0 + 2(x − 1) = 2x − 2.
Ответ: в точках (1; −1) и (1; 0); y = 2x − 3 и y = 2x − 2.