Упражнения 878–885, стр. 258 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 878–885 — Глава VIII. Упражнения к главе VIII

Страница 258 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава VIII. Упражнения к главе VIII — с. 258

878. Закон движения тела задан формулой s(t) = 0,5t² + 3t + 2 (s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени?
Путь за 4 с по заданной формуле: s(4) = 0,5·16 + 3·4 + 2 = 8 + 12 + 2 = 22 (м).
Скорость — производная пути по времени: v(t) = s′(t) = t + 3; v(4) = 7 м/с.
Ответ: 22 м; 7 м/с.
Оговорка: s(4) = 22 м — значение координаты по формуле; расстояние, пройденное от момента t = 0, равно s(4) − s(0) = 20 м.
Проверь себя! Задание 1. Найти значение производной функции f(x) = 3x³ + 4x − 1 в точке x = 3.
f′(x) = 9x² + 4. f′(3) = 9·9 + 4 = 85.
Ответ: 85.
Проверь себя! Задание 2. Найти производную функции:
1) 3/x + 2√x − eˣ;
2) (3x − 5)⁴;
3) 3 sin 2x cos x;
4) x³/(x² + 5).
1) y = 3x^(−1) + 2x^(1/2) − eˣ; y′ = −3/x² + 1/√x − eˣ.
2) y′ = 4(3x − 5)³·3 = 12(3x − 5)³.
3) y′ = 3(2cos 2x cos x − sin 2x sin x) = 6cos 2x cos x − 3sin 2x sin x.
4) y′ = (3x²(x² + 5) − x³·2x)/(x² + 5)² = (x⁴ + 15x²)/(x² + 5)² = x²(x² + 15)/(x² + 5)².
Проверь себя! Задание 3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = cos 3x в точке с абсциссой x₀ = π/6.
Угловой коэффициент k = y′(x₀). y′ = −3 sin 3x. k = −3 sin(π/2) = −3.
Ответ: −3.
Проверь себя! Задание 4. Найти угол между касательной к графику функции y = x⁴ − 2x³ + 3 в точке с абсциссой x₀ = 1/2 и осью Ox.
y′ = 4x³ − 6x². y′(1/2) = 4/8 − 6/4 = 1/2 − 3/2 = −1. tg α = −1, 0 ≤ α < π, откуда α = 3π/4.
Ответ: 3π/4 (135°; острый угол между прямой и осью — 45°).
879. Найти производную функции:
1) y = cos² 3x;
2) y = sin x cos x + x;
3) y = (x³ + 1) cos 2x;
4) y = sin²(x/2);
5) y = (x + 1)∛(x²);
6) y = ∛(x − 1)·(x⁴ − 1).
1) y′ = 2cos 3x·(−sin 3x)·3 = −3 sin 6x.
2) y = (1/2)sin 2x + x; y′ = cos 2x + 1 = 2cos² x.
3) y′ = 3x² cos 2x − 2(x³ + 1) sin 2x.
4) y′ = 2 sin(x/2)·cos(x/2)·(1/2) = (1/2)sin x.
5) y = x^(5/3) + x^(2/3); y′ = (5/3)x^(2/3) + (2/3)x^(−1/3) = (5x + 2)/(3∛x).
6) y′ = (1/3)(x − 1)^(−2/3)(x⁴ − 1) + ∛(x − 1)·4x³ = ((x⁴ − 1) + 12x³(x − 1))/(3∛((x − 1)²)) = (13x⁴ − 12x³ − 1)/(3∛((x − 1)²)).
Оговорка: в пункте 6) корень относится к выражению x − 1.
880. Найти производную функции:
1) y = (1 − cos 2x)/(1 + cos 2x);
2) y = √(x + 4)/(4x);
3) y = x/√(x + 2);
4) y = (sin x + cos x)/(sin x − cos x).
1) y = tg² x (при cos x ≠ 0), y′ = 2tg x/cos² x = 2 sin x/cos³ x.
2) y′ = ((1/(2√(x + 4)))·4x − 4√(x + 4))/(16x²) = (2x − 4(x + 4))/(16x²√(x + 4)) = −(x + 8)/(8x²√(x + 4)), x > −4, x ≠ 0.
3) y′ = (√(x + 2) − x/(2√(x + 2)))/(x + 2) = (2(x + 2) − x)/(2(x + 2)√(x + 2)) = (x + 4)/(2(x + 2)√(x + 2)), x > −2.
4) y′ = ((cos x − sin x)(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(cos x + sin x))/(sin x − cos x)² = (−(cos x − sin x)² − (sin x + cos x)²)/(sin x − cos x)² = −2/(sin x − cos x)².
881. Найти производную функции:
1) log₂(x³ − x² + 1);
2) (log₂ x)³;
3) sin(log₃ x);
4) cos 3ˣ.
1) y′ = (3x² − 2x)/((x³ − x² + 1) ln 2).
2) y′ = 3 log₂² x·(1/(x ln 2)) = 3 log₂² x/(x ln 2), x > 0.
3) y′ = cos(log₃ x)/(x ln 3), x > 0.
4) y′ = −sin(3ˣ)·3ˣ ln 3.
882. На каком из рисунков 119 (а—г) изображены эскизы графиков функций, являющихся производными следующих функций: y = e^(−x), y = ln(−x), y = sin 2x, y = 2cos x?
[рисунок 119: а) ветвь графика y = f(x) при x < 0, проходящая через точку (−1; −1) и уходящая вниз к оси Oy; б) y = g(x) — синусоида с амплитудой 2 на [−π; 2π], g(0) = 0, максимум 2 при x = −π/2; в) y = φ(x) — косинусоида с амплитудой 2 и периодом π, φ(0) = 2; г) y = ψ(x) — кривая, проходящая через (0; −1), стремящаяся к 0 при x → +∞ и уходящая вниз при x → −∞]
Найдём производные данных функций и сравним с рисунками.
(e^(−x))′ = −e^(−x): отрицательна, при x = 0 равна −1, стремится к 0 при x → +∞ и растёт по модулю при x → −∞ — это рисунок г).
(ln(−x))′ = 1/x при x < 0: график — ветвь гиперболы в третьей четверти, проходит через (−1; −1), уходит вниз при x → 0⁻ — рисунок а).
(sin 2x)′ = 2cos 2x: амплитуда 2, период π, значение при x = 0 равно 2 — рисунок в).
(2cos x)′ = −2 sin x: амплитуда 2, период 2π, нуль при x = 0, при x = −π/2 значение 2 — рисунок б).
Ответ: y = ln(−x) — а); y = 2cos x — б); y = sin 2x — в); y = e^(−x) — г).
883. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f(x) = 2ˣ + 2^(−x);
2) f(x) = 3^(2x) − 2x ln 3;
3) f(x) = x + ln 2x;
4) f(x) = x + ln(2x + 1);
5) f(x) = 6x − x√x;
6) f(x) = (x + 1)√(x + 1) − 3x.
1) f′(x) = ln 2·(2ˣ − 2^(−x)). f′ = 0 при 2ˣ = 2^(−x), x = 0; f′ > 0 при x > 0; f′ < 0 при x < 0.
2) f′(x) = 2 ln 3·3^(2x) − 2 ln 3 = 2 ln 3(3^(2x) − 1). f′ = 0 при x = 0; f′ > 0 при x > 0; f′ < 0 при x < 0.
3) Область x > 0. f′(x) = 1 + 1/x > 0 при всех x > 0; нулей и отрицательных значений нет.
4) Область x > −1/2. f′(x) = 1 + 2/(2x + 1) = (2x + 3)/(2x + 1) > 0 при всех x > −1/2; нулей и отрицательных значений нет.
5) Область x ≥ 0. f = 6x − x^(3/2), f′(x) = 6 − (3/2)√x (x > 0). f′ = 0 при √x = 4, x = 16; f′ > 0 при 0 < x < 16 (и в точке 0 правая производная положительна); f′ < 0 при x > 16.
6) Область x ≥ −1. f = (x + 1)^(3/2) − 3x, f′(x) = (3/2)√(x + 1) − 3 (x > −1). f′ = 0 при √(x + 1) = 2, x = 3; f′ > 0 при x > 3; f′ < 0 при −1 < x < 3.
884. Найти все значения a, при которых f′(x) ≥ 0 для всех действительных значений x, если f(x) = x³ + 3x² + ax.
f′(x) = 3x² + 6x + a. Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом неотрицателен при всех x, если его дискриминант D ≤ 0.
D = 36 − 12a ≤ 0 ⇒ a ≥ 3.
Ответ: a ≥ 3.
885. Найти все значения a, при которых f′(x) ≤ 0 для всех действительных значений x, если f(x) = ax³ − 6x² − x.
f′(x) = 3ax² − 12x − 1. При a = 0: f′ = −12x − 1 принимает и положительные значения (например, при x = −1), условие не выполнено. При a ≠ 0 нужно: a < 0 и D ≤ 0. D = 144 + 12a ≤ 0 ⇒ a ≤ −12. Условие a < 0 выполнено.
Ответ: a ≤ −12.