Глава VIII. § 46. Правила дифференцирования — с. 245
826. Выяснить, при каких значениях x производная функции принимает отрицательные значения:
1) y = (5 − 3x)^4 (3x − 1)³;
2) y = (2x − 3)² (3 − 2x)³;
3) y = (3x² − 1)/(1 − 2x);
4) y = 3x³/(1 − 3x).
1) y = (5 − 3x)^4 (3x − 1)³;
2) y = (2x − 3)² (3 − 2x)³;
3) y = (3x² − 1)/(1 − 2x);
4) y = 3x³/(1 − 3x).
1) y' = −12(5 − 3x)³ (3x − 1)³ + 9(5 − 3x)^4 (3x − 1)² = 3(5 − 3x)³ (3x − 1)² (−4(3x − 1) + 3(5 − 3x)) = 3(5 − 3x)³ (3x − 1)² (19 − 21x). Множитель (3x − 1)² ≥ 0, равен нулю только при x = 1/3, где y' = 0. Знак y' совпадает со знаком (5 − 3x)(19 − 21x) = 63(x − 5/3)(x − 19/21). Он отрицателен при 19/21 < x < 5/3 (точка 1/3 в этот промежуток не входит). Ответ: 19/21 < x < 5/3.
2) Так как (3 − 2x)³ = −(2x − 3)³, то y = −(2x − 3)^5, y' = −10(2x − 3)^4 ≤ 0, и y' = 0 только при x = 3/2. Ответ: x ≠ 3/2.
3) y' = (6x(1 − 2x) + 2(3x² − 1))/(1 − 2x)² = (−6x² + 6x − 2)/(1 − 2x)² = −2(3x² − 3x + 1)/(1 − 2x)². Для 3x² − 3x + 1 дискриминант 9 − 12 < 0, трёхчлен положителен при всех x, поэтому y' < 0 во всей области определения. Ответ: x ≠ 1/2.
4) y' = (9x²(1 − 3x) + 9x³)/(1 − 3x)² = 9x²(1 − 2x)/(1 − 3x)². y' < 0 при 1 − 2x < 0 (при x = 0 производная равна 0), т. е. при x > 1/2 (x = 1/3 в этот промежуток не входит). Ответ: x > 1/2.
2) Так как (3 − 2x)³ = −(2x − 3)³, то y = −(2x − 3)^5, y' = −10(2x − 3)^4 ≤ 0, и y' = 0 только при x = 3/2. Ответ: x ≠ 3/2.
3) y' = (6x(1 − 2x) + 2(3x² − 1))/(1 − 2x)² = (−6x² + 6x − 2)/(1 − 2x)² = −2(3x² − 3x + 1)/(1 − 2x)². Для 3x² − 3x + 1 дискриминант 9 − 12 < 0, трёхчлен положителен при всех x, поэтому y' < 0 во всей области определения. Ответ: x ≠ 1/2.
4) y' = (9x²(1 − 3x) + 9x³)/(1 − 3x)² = 9x²(1 − 2x)/(1 − 3x)². y' < 0 при 1 − 2x < 0 (при x = 0 производная равна 0), т. е. при x > 1/2 (x = 1/3 в этот промежуток не входит). Ответ: x > 1/2.
827. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону φ(t) = 0,1t² − 0,5t + 0,2. Найти угловую скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t = 20 с.
Угловая скорость равна производной угла поворота по времени: ω(t) = φ'(t) = 0,2t − 0,5. При t = 20: ω = 0,2 · 20 − 0,5 = 3,5.
Ответ: 3,5 рад/с.
Ответ: 3,5 рад/с.
828. Тело, масса которого m = 5 кг, движется прямолинейно по закону s = 1 − t + t² (где s измеряется в метрах, t — в секундах). Найти кинетическую энергию тела mv²/2 через 10 с после начала движения.
Скорость — производная пути: v(t) = s'(t) = −1 + 2t. При t = 10: v = 19 м/с. Кинетическая энергия E = mv²/2 = 5 · 19²/2 = 5 · 361/2 = 902,5.
Ответ: 902,5 Дж.
Ответ: 902,5 Дж.
829. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону m = 2l² + 3l, где l — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:
1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;
2) в конце стержня.
1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;
2) в конце стержня.
Линейная плотность — производная массы по длине: ρ(l) = m'(l) = 4l + 3 (г/см).
1) При l = 3: ρ = 4 · 3 + 3 = 15 г/см.
2) В конце стержня l = 25: ρ = 4 · 25 + 3 = 103 г/см.
1) При l = 3: ρ = 4 · 3 + 3 = 15 г/см.
2) В конце стержня l = 25: ρ = 4 · 25 + 3 = 103 г/см.
830. Найти производную функции f(x) = √(x² − 5x + 6) при x < 2 и при x > 3.
Область определения: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) ≥ 0, т. е. x ≤ 2 или x ≥ 3. При x < 2 и x > 3 подкоренное выражение положительно, функция дифференцируема, и по правилу производной сложной функции f'(x) = (2x − 5)/(2√(x² − 5x + 6)).
Ответ: f'(x) = (2x − 5)/(2√(x² − 5x + 6)) при x < 2 и при x > 3.
Ответ: f'(x) = (2x − 5)/(2√(x² − 5x + 6)) при x < 2 и при x > 3.