Глава VIII. § 46. Правила дифференцирования — с. 244
812. Пересекается ли график функции, являющейся производной функции y = x³ + 2x² − 3x + 4, с графиком функции y = 3x + 1?
Производная: y' = 3x² + 4x − 3. Точки пересечения находим из уравнения 3x² + 4x − 3 = 3x + 1, т. е. 3x² + x − 4 = 0. D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7)/6, x = 1 или x = −4/3. Уравнение имеет корни, значит, графики пересекаются в точках (1; 4) и (−4/3; −3).
Ответ: да.
Ответ: да.
813. При каких значениях x значение производной функции y = (x − 3)^5 (2 + 5x)^6 равно 0?
y' = 5(x − 3)^4 (2 + 5x)^6 + 30(x − 3)^5 (2 + 5x)^5 = 5(x − 3)^4 (2 + 5x)^5 [(2 + 5x) + 6(x − 3)] = 5(x − 3)^4 (2 + 5x)^5 (11x − 16).
y' = 0 при x = 3, x = −2/5, x = 16/11.
Ответ: 3; −2/5; 16/11.
y' = 0 при x = 3, x = −2/5, x = 16/11.
Ответ: 3; −2/5; 16/11.
814. Найти производную функции:
1) (x^5 + x³ + x)/(x + 1);
2) (√x + x² + 1)/(x − 1).
1) (x^5 + x³ + x)/(x + 1);
2) (√x + x² + 1)/(x − 1).
Применяем правило частного (u/v)' = (u'v − uv')/v².
1) y' = ((5x^4 + 3x² + 1)(x + 1) − (x^5 + x³ + x))/(x + 1)² = (5x^5 + 5x^4 + 3x³ + 3x² + x + 1 − x^5 − x³ − x)/(x + 1)² = (4x^5 + 5x^4 + 2x³ + 3x² + 1)/(x + 1)².
2) y' = ((1/(2√x) + 2x)(x − 1) − (√x + x² + 1))/(x − 1)². Приводим числитель к знаменателю 2√x: (x − 1 + 2√x(2x² − 2x − √x − x² − 1))/(2√x) = (x − 1 + 2√x(x² − 2x − √x − 1))/(2√x) = (2x²√x − 4x√x − x − 2√x − 1)/(2√x).
Итак, y' = (2x²√x − 4x√x − x − 2√x − 1)/(2√x (x − 1)²), x > 0, x ≠ 1.
1) y' = ((5x^4 + 3x² + 1)(x + 1) − (x^5 + x³ + x))/(x + 1)² = (5x^5 + 5x^4 + 3x³ + 3x² + x + 1 − x^5 − x³ − x)/(x + 1)² = (4x^5 + 5x^4 + 2x³ + 3x² + 1)/(x + 1)².
2) y' = ((1/(2√x) + 2x)(x − 1) − (√x + x² + 1))/(x − 1)². Приводим числитель к знаменателю 2√x: (x − 1 + 2√x(2x² − 2x − √x − x² − 1))/(2√x) = (x − 1 + 2√x(x² − 2x − √x − 1))/(2√x) = (2x²√x − 4x√x − x − 2√x − 1)/(2√x).
Итак, y' = (2x²√x − 4x√x − x − 2√x − 1)/(2√x (x − 1)²), x > 0, x ≠ 1.
815. Найти f'(1), если:
1) f(x) = (x² − 1)/(x² + 1);
2) f(x) = 2x²/(1 − 7x).
1) f(x) = (x² − 1)/(x² + 1);
2) f(x) = 2x²/(1 − 7x).
1) f'(x) = (2x(x² + 1) − 2x(x² − 1))/(x² + 1)² = 4x/(x² + 1)². f'(1) = 4/4 = 1.
2) f'(x) = (4x(1 − 7x) + 14x²)/(1 − 7x)² = (4x − 14x²)/(1 − 7x)². f'(1) = (4 − 14)/36 = −10/36 = −5/18.
2) f'(x) = (4x(1 − 7x) + 14x²)/(1 − 7x)² = (4x − 14x²)/(1 − 7x)². f'(1) = (4 − 14)/36 = −10/36 = −5/18.
816. Найти функцию f(g(x)), если:
1) g(x) = 1 − x, f(g) = g^(3/2);
2) g(x) = ln x, f(g) = √g.
1) g(x) = 1 − x, f(g) = g^(3/2);
2) g(x) = ln x, f(g) = √g.
Подставляем g(x) вместо аргумента g функции f.
1) f(g(x)) = (1 − x)^(3/2) = √((1 − x)³), область определения x ≤ 1.
2) f(g(x)) = √(ln x), область определения ln x ≥ 0, т. е. x ≥ 1.
1) f(g(x)) = (1 − x)^(3/2) = √((1 − x)³), область определения x ≤ 1.
2) f(g(x)) = √(ln x), область определения ln x ≥ 0, т. е. x ≥ 1.
817. Представить в виде сложной функции:
1) F(x) = √(2x² − 7);
2) F(x) = sin(x² + 1).
1) F(x) = √(2x² − 7);
2) F(x) = sin(x² + 1).
1) F(x) = f(g(x)), где внутренняя функция g(x) = 2x² − 7, внешняя f(g) = √g.
2) F(x) = f(g(x)), где внутренняя функция g(x) = x² + 1, внешняя f(g) = sin g.
2) F(x) = f(g(x)), где внутренняя функция g(x) = x² + 1, внешняя f(g) = sin g.
818. Найти производную функции:
1) (x³ + x² + 16)/x;
2) (x · корень 3-й степени из x + 3x + 18)/(корень 3-й степени из x).
1) (x³ + x² + 16)/x;
2) (x · корень 3-й степени из x + 3x + 18)/(корень 3-й степени из x).
1) Почленно делим: (x³ + x² + 16)/x = x² + x + 16/x. Производная: 2x + 1 − 16/x².
2) x · x^(1/3) = x^(4/3). Тогда (x^(4/3) + 3x + 18)/x^(1/3) = x + 3x^(2/3) + 18x^(−1/3). Производная: 1 + 2x^(−1/3) − 6x^(−4/3) = 1 + 2/(корень 3-й степени из x) − 6/(x · корень 3-й степени из x).
2) x · x^(1/3) = x^(4/3). Тогда (x^(4/3) + 3x + 18)/x^(1/3) = x + 3x^(2/3) + 18x^(−1/3). Производная: 1 + 2x^(−1/3) − 6x^(−4/3) = 1 + 2/(корень 3-й степени из x) − 6/(x · корень 3-й степени из x).
819. Найти производную функции:
1) (x² − 4)/√x;
2) (корень 4-й степени из x + 1/(корень 4-й степени из x)) (корень 4-й степени из x − 1/(корень 4-й степени из x)).
1) (x² − 4)/√x;
2) (корень 4-й степени из x + 1/(корень 4-й степени из x)) (корень 4-й степени из x − 1/(корень 4-й степени из x)).
1) (x² − 4)/√x = x^(3/2) − 4x^(−1/2). Производная: (3/2)x^(1/2) + 2x^(−3/2) = 3√x/2 + 2/(x√x).
2) По формуле разности квадратов произведение равно (x^(1/4))² − (x^(−1/4))² = √x − 1/√x = x^(1/2) − x^(−1/2). Производная: (1/2)x^(−1/2) + (1/2)x^(−3/2) = 1/(2√x) + 1/(2x√x) = (x + 1)/(2x√x).
2) По формуле разности квадратов произведение равно (x^(1/4))² − (x^(−1/4))² = √x − 1/√x = x^(1/2) − x^(−1/2). Производная: (1/2)x^(−1/2) + (1/2)x^(−3/2) = 1/(2√x) + 1/(2x√x) = (x + 1)/(2x√x).
820. Найти производную функции:
1) (2x − 3)^5 (3x² + 2x + 1);
2) (x − 1)^4 (x + 1)^7;
3) (корень 4-й степени из (3x + 2)) (3x − 1)^4;
4) (корень 3-й степени из (2x + 1)) · (2x − 3)³.
1) (2x − 3)^5 (3x² + 2x + 1);
2) (x − 1)^4 (x + 1)^7;
3) (корень 4-й степени из (3x + 2)) (3x − 1)^4;
4) (корень 3-й степени из (2x + 1)) · (2x − 3)³.
1) y' = 10(2x − 3)^4 (3x² + 2x + 1) + (2x − 3)^5 (6x + 2) = 2(2x − 3)^4 [5(3x² + 2x + 1) + (2x − 3)(3x + 1)] = 2(2x − 3)^4 (15x² + 10x + 5 + 6x² − 7x − 3) = 2(2x − 3)^4 (21x² + 3x + 2).
2) y' = 4(x − 1)³ (x + 1)^7 + 7(x − 1)^4 (x + 1)^6 = (x − 1)³ (x + 1)^6 (4x + 4 + 7x − 7) = (x − 1)³ (x + 1)^6 (11x − 3).
3) y = (3x + 2)^(1/4) (3x − 1)^4; y' = (3/4)(3x + 2)^(−3/4) (3x − 1)^4 + 12(3x + 2)^(1/4) (3x − 1)³ = (3x − 1)³ (3x + 2)^(−3/4) [(3/4)(3x − 1) + 12(3x + 2)] = (3x − 1)³ (153x + 93)/(4(3x + 2)^(3/4)) = 3(3x − 1)³ (51x + 31)/(4 · корень 4-й степени из (3x + 2)³).
4) y = (2x + 1)^(1/3) (2x − 3)³; y' = (2/3)(2x + 1)^(−2/3) (2x − 3)³ + 6(2x + 1)^(1/3) (2x − 3)² = (2x − 3)² (2x + 1)^(−2/3) [(2/3)(2x − 3) + 6(2x + 1)] = (2x − 3)² (40x + 12)/(3(2x + 1)^(2/3)) = 4(2x − 3)² (10x + 3)/(3 · корень 3-й степени из (2x + 1)²).
2) y' = 4(x − 1)³ (x + 1)^7 + 7(x − 1)^4 (x + 1)^6 = (x − 1)³ (x + 1)^6 (4x + 4 + 7x − 7) = (x − 1)³ (x + 1)^6 (11x − 3).
3) y = (3x + 2)^(1/4) (3x − 1)^4; y' = (3/4)(3x + 2)^(−3/4) (3x − 1)^4 + 12(3x + 2)^(1/4) (3x − 1)³ = (3x − 1)³ (3x + 2)^(−3/4) [(3/4)(3x − 1) + 12(3x + 2)] = (3x − 1)³ (153x + 93)/(4(3x + 2)^(3/4)) = 3(3x − 1)³ (51x + 31)/(4 · корень 4-й степени из (3x + 2)³).
4) y = (2x + 1)^(1/3) (2x − 3)³; y' = (2/3)(2x + 1)^(−2/3) (2x − 3)³ + 6(2x + 1)^(1/3) (2x − 3)² = (2x − 3)² (2x + 1)^(−2/3) [(2/3)(2x − 3) + 6(2x + 1)] = (2x − 3)² (40x + 12)/(3(2x + 1)^(2/3)) = 4(2x − 3)² (10x + 3)/(3 · корень 3-й степени из (2x + 1)²).
821. Найти производную функции:
1) (2x² − 3x + 1)/(x + 1);
2) (3x² + 2x − 1)/(2x + 1);
3) (2 − x)/√x + √x/(2 − x).
1) (2x² − 3x + 1)/(x + 1);
2) (3x² + 2x − 1)/(2x + 1);
3) (2 − x)/√x + √x/(2 − x).
1) y' = ((4x − 3)(x + 1) − (2x² − 3x + 1))/(x + 1)² = (4x² + x − 3 − 2x² + 3x − 1)/(x + 1)² = (2x² + 4x − 4)/(x + 1)².
2) y' = ((6x + 2)(2x + 1) − 2(3x² + 2x − 1))/(2x + 1)² = (12x² + 10x + 2 − 6x² − 4x + 2)/(2x + 1)² = (6x² + 6x + 4)/(2x + 1)².
3) Область определения: x > 0, x ≠ 2.
Первое слагаемое: (2 − x)x^(−1/2) = 2x^(−1/2) − x^(1/2); производная −x^(−3/2) − 1/(2√x) = −(x + 2)/(2x√x).
Второе слагаемое: ((1/(2√x))(2 − x) + √x)/(2 − x)² = (2 − x + 2x)/(2√x (2 − x)²) = (x + 2)/(2√x (2 − x)²).
Сумма: (x + 2)/(2√x) · (1/(2 − x)² − 1/x) = (x + 2)(x − (2 − x)²)/(2x√x (2 − x)²) = (x + 2)(−x² + 5x − 4)/(2x√x (2 − x)²) = −(x + 2)(x − 1)(x − 4)/(2x√x (2 − x)²).
2) y' = ((6x + 2)(2x + 1) − 2(3x² + 2x − 1))/(2x + 1)² = (12x² + 10x + 2 − 6x² − 4x + 2)/(2x + 1)² = (6x² + 6x + 4)/(2x + 1)².
3) Область определения: x > 0, x ≠ 2.
Первое слагаемое: (2 − x)x^(−1/2) = 2x^(−1/2) − x^(1/2); производная −x^(−3/2) − 1/(2√x) = −(x + 2)/(2x√x).
Второе слагаемое: ((1/(2√x))(2 − x) + √x)/(2 − x)² = (2 − x + 2x)/(2√x (2 − x)²) = (x + 2)/(2√x (2 − x)²).
Сумма: (x + 2)/(2√x) · (1/(2 − x)² − 1/x) = (x + 2)(x − (2 − x)²)/(2x√x (2 − x)²) = (x + 2)(−x² + 5x − 4)/(2x√x (2 − x)²) = −(x + 2)(x − 1)(x − 4)/(2x√x (2 − x)²).
822. При каких значениях x значение производной функции f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1 равно 0?
f'(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1). f'(x) = 0 при x = 2 и x = −1.
Ответ: −1; 2.
Ответ: −1; 2.
823. При каких значениях x значение производной функции f(x) = (2x − 1)/(x + 1) равно 3?
f'(x) = (2(x + 1) − (2x − 1))/(x + 1)² = 3/(x + 1)², x ≠ −1. Из уравнения 3/(x + 1)² = 3 получаем (x + 1)² = 1, x + 1 = ±1, x = 0 или x = −2.
Ответ: 0; −2.
Ответ: 0; −2.
824. При каких значениях x значение производной функции f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) равно 11?
Раскроем скобки: f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6, f'(x) = 3x² − 12x + 11. Из уравнения 3x² − 12x + 11 = 11 получаем 3x(x − 4) = 0, x = 0 или x = 4.
Ответ: 0; 4.
Ответ: 0; 4.
825. Выяснить, при каких значениях x производная функции принимает положительные значения:
1) f(x) = x^4 − 4x² + 1;
2) f(x) = 3x^4 − 4x³ − 12x² + 3;
3) f(x) = (x + 2)² √x;
4) f(x) = (x − 3)√x.
1) f(x) = x^4 − 4x² + 1;
2) f(x) = 3x^4 − 4x³ − 12x² + 3;
3) f(x) = (x + 2)² √x;
4) f(x) = (x − 3)√x.
1) f'(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2) = 4x(x − √2)(x + √2) > 0. Метод интервалов с корнями −√2, 0, √2: знак «+» на (−√2; 0) и (√2; +∞). Ответ: −√2 < x < 0 или x > √2.
2) f'(x) = 12x³ − 12x² − 24x = 12x(x − 2)(x + 1) > 0. Корни −1, 0, 2: знак «+» на (−1; 0) и (2; +∞). Ответ: −1 < x < 0 или x > 2.
3) Область определения x ≥ 0, производная существует при x > 0. f'(x) = 2(x + 2)√x + (x + 2)²/(2√x) = (x + 2)(4x + x + 2)/(2√x) = (x + 2)(5x + 2)/(2√x). При x > 0 все множители положительны, f'(x) > 0. Ответ: x > 0.
4) Область определения x ≥ 0, производная существует при x > 0. f'(x) = √x + (x − 3)/(2√x) = (2x + x − 3)/(2√x) = 3(x − 1)/(2√x) > 0 при x > 1. Ответ: x > 1.
2) f'(x) = 12x³ − 12x² − 24x = 12x(x − 2)(x + 1) > 0. Корни −1, 0, 2: знак «+» на (−1; 0) и (2; +∞). Ответ: −1 < x < 0 или x > 2.
3) Область определения x ≥ 0, производная существует при x > 0. f'(x) = 2(x + 2)√x + (x + 2)²/(2√x) = (x + 2)(4x + x + 2)/(2√x) = (x + 2)(5x + 2)/(2√x). При x > 0 все множители положительны, f'(x) > 0. Ответ: x > 0.
4) Область определения x ≥ 0, производная существует при x > 0. f'(x) = √x + (x − 3)/(2√x) = (2x + x − 3)/(2√x) = 3(x − 1)/(2√x) > 0 при x > 1. Ответ: x > 1.