Алгебра Алимов 10-11 класс, страница 239 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава VIII. § 45. Производная степенной функции — с. 239 794. Построить график функции y = x⁴ и график функции, являющейся её производной. Производная функции y = x⁴ равна y′ = 4x³. График y = x⁴ (чёрный) — чётная функция, ветви идут вверх, проходит через (0; 0), (±1; 1), (±1,5; ≈5,06); касается оси x в начале координат. График y′ = 4x³ (красный) — нечётная функция, симметричная относительно начала координат, проходит через (0; 0), (1; 4), (−1; −4), (1,2; ≈6,9), (−1,2; ≈−6,9); возрастает на всей числовой прямой. На рисунке видно: там, где x⁴ убывает (x 0), производная положительна; в точке x = 0 (минимум) производная равна нулю. Графики y = x⁴ и y′ = 4x³ x y −1 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 y = x⁴ y′ = 4x³ 795. На рисунке 107 изображён график функции, являющейся производной одной из функций y = x², y = x³ или y = x^(1/2). Установить функцию. [рисунок 107: парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точки (−1; 3) и (1; 3)] График на рисунке — парабола с вершиной в (0; 0), проходящая через (±1; 3), то есть это график y = 3x². Находим производные данных функций: (x²)′ = 2x — прямая; (x³)′ = 3x² — парабола; (x^(1/2))′ = 1/(2√x) — ветвь кривой, определённая только при x > 0. Только производная 3x² совпадает с изображённой параболой. Ответ: y = x³. 796. Найти производную функции: 1) 1/(2 + 3x)²; 2) 1/(3 − 2x)³; 3) корень 3-й степени из ((3x − 2)²); 4) корень 7-й степени из ((3 − 14x)²); 5) 1/(корень 3-й степени из (3x − 7)); 6) 1/(корень 3-й степени из ((1 − 2x)²)). Записываем функцию как степень и применяем ((kx + b)^p)′ = pk(kx + b)^(p−1). 1) (2 + 3x)^(−2): −2 · 3 · (2 + 3x)^(−3) = −6/(2 + 3x)³. 2) (3 − 2x)^(−3): −3 · (−2) · (3 − 2x)^(−4) = 6/(3 − 2x)⁴. 3) (3x − 2)^(2/3): 2/3 · 3 · (3x − 2)^(−1/3) = 2/∛(3x − 2). 4) (3 − 14x)^(2/7): 2/7 · (−14) · (3 − 14x)^(−5/7) = −4/⁷√((3 − 14x)⁵). 5) (3x − 7)^(−1/3): −1/3 · 3 · (3x − 7)^(−4/3) = −1/((3x − 7) ∛(3x − 7)). 6) (1 − 2x)^(−2/3): −2/3 · (−2) · (1 − 2x)^(−5/3) = 4/(3(1 − 2x) ∛((1 − 2x)²)). 797. При каких значениях x производная функции f(x) равна 1, если: 1) f(x) = x³; 2) f(x) = корень 3-й степени из (x²)? 1) f′(x) = 3x² = 1, x² = 1/3, x = ±1/√3 = ±√3/3. 2) f(x) = x^(2/3), f′(x) = 2/(3 x^(1/3)) (x ≠ 0). Уравнение 2/(3 ∛x) = 1 даёт ∛x = 2/3, x = 8/27. Ответ: 1) x = ±√3/3; 2) x = 8/27. 798. Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону s(t) = √(t + 1), в момент времени t = 3. v(t) = s′(t) = ((t + 1)^(1/2))′ = 1/2 · (t + 1)^(−1/2) = 1/(2√(t + 1)). При t = 3: v(3) = 1/(2√4) = 1/4. Ответ: 1/