Глава VIII. § 45. Производная степенной функции — с. 238
787. Найти производную функции:
1) x⁶;
2) x⁷;
3) x¹¹;
4) x¹³.
1) x⁶;
2) x⁷;
3) x¹¹;
4) x¹³.
Применяем формулу (x^p)′ = p x^(p−1).
1) (x⁶)′ = 6x⁵.
2) (x⁷)′ = 7x⁶.
3) (x¹¹)′ = 11x¹⁰.
4) (x¹³)′ = 13x¹².
1) (x⁶)′ = 6x⁵.
2) (x⁷)′ = 7x⁶.
3) (x¹¹)′ = 11x¹⁰.
4) (x¹³)′ = 13x¹².
788. Найти производную функции:
1) x^(−2);
2) x^(−3);
3) x^(−4);
4) x^(−7).
1) x^(−2);
2) x^(−3);
3) x^(−4);
4) x^(−7).
Формула (x^p)′ = p x^(p−1) верна и для отрицательных показателей (x ≠ 0).
1) (x^(−2))′ = −2x^(−3).
2) (x^(−3))′ = −3x^(−4).
3) (x^(−4))′ = −4x^(−5).
4) (x^(−7))′ = −7x^(−8).
1) (x^(−2))′ = −2x^(−3).
2) (x^(−3))′ = −3x^(−4).
3) (x^(−4))′ = −4x^(−5).
4) (x^(−7))′ = −7x^(−8).
789. Найти производную функции:
1) x^(1/2);
2) x^(2/3);
3) x^(−2/7);
4) x^(√3).
1) x^(1/2);
2) x^(2/3);
3) x^(−2/7);
4) x^(√3).
Применяем формулу (x^p)′ = p x^(p−1) (при x > 0).
1) (x^(1/2))′ = 1/2 · x^(−1/2) = 1/(2√x).
2) (x^(2/3))′ = 2/3 · x^(2/3 − 1) = 2/3 · x^(−1/3) = 2/(3 ∛x).
3) (x^(−2/7))′ = −2/7 · x^(−2/7 − 1) = −2/7 · x^(−9/7).
4) (x^(√3))′ = √3 · x^(√3 − 1).
1) (x^(1/2))′ = 1/2 · x^(−1/2) = 1/(2√x).
2) (x^(2/3))′ = 2/3 · x^(2/3 − 1) = 2/3 · x^(−1/3) = 2/(3 ∛x).
3) (x^(−2/7))′ = −2/7 · x^(−2/7 − 1) = −2/7 · x^(−9/7).
4) (x^(√3))′ = √3 · x^(√3 − 1).
790. Найти производную функции:
1) 1/x⁵;
2) 1/x⁹;
3) корень 4-й степени из x;
4) корень 3-й степени из x²;
5) 1/(корень 3-й степени из x);
6) 1/(корень 4-й степени из x³).
1) 1/x⁵;
2) 1/x⁹;
3) корень 4-й степени из x;
4) корень 3-й степени из x²;
5) 1/(корень 3-й степени из x);
6) 1/(корень 4-й степени из x³).
Записываем функцию в виде степени и применяем (x^p)′ = p x^(p−1).
1) 1/x⁵ = x^(−5), производная −5x^(−6) = −5/x⁶.
2) 1/x⁹ = x^(−9), производная −9x^(−10) = −9/x¹⁰.
3) ⁴√x = x^(1/4), производная 1/4 · x^(−3/4) = 1/(4 ⁴√(x³)).
4) ∛(x²) = x^(2/3), производная 2/3 · x^(−1/3) = 2/(3 ∛x).
5) 1/∛x = x^(−1/3), производная −1/3 · x^(−4/3) = −1/(3x ∛x).
6) 1/⁴√(x³) = x^(−3/4), производная −3/4 · x^(−7/4) = −3/(4x ⁴√(x³)).
1) 1/x⁵ = x^(−5), производная −5x^(−6) = −5/x⁶.
2) 1/x⁹ = x^(−9), производная −9x^(−10) = −9/x¹⁰.
3) ⁴√x = x^(1/4), производная 1/4 · x^(−3/4) = 1/(4 ⁴√(x³)).
4) ∛(x²) = x^(2/3), производная 2/3 · x^(−1/3) = 2/(3 ∛x).
5) 1/∛x = x^(−1/3), производная −1/3 · x^(−4/3) = −1/(3x ∛x).
6) 1/⁴√(x³) = x^(−3/4), производная −3/4 · x^(−7/4) = −3/(4x ⁴√(x³)).
791. Найти производную функции:
1) (4x − 3)²;
2) (5x + 2)^(−3);
3) (1 − 2x)^(−6);
4) (2 − 5x)⁴;
5) (2x)³;
6) (−5x)⁴.
1) (4x − 3)²;
2) (5x + 2)^(−3);
3) (1 − 2x)^(−6);
4) (2 − 5x)⁴;
5) (2x)³;
6) (−5x)⁴.
Используем формулу ((kx + b)^p)′ = pk(kx + b)^(p−1).
1) 2 · 4 · (4x − 3) = 8(4x − 3).
2) −3 · 5 · (5x + 2)^(−4) = −15(5x + 2)^(−4).
3) −6 · (−2) · (1 − 2x)^(−7) = 12(1 − 2x)^(−7).
4) 4 · (−5) · (2 − 5x)³ = −20(2 − 5x)³.
5) (2x)³ = 8x³, производная 24x² (или 3 · 2 · (2x)² = 24x²).
6) (−5x)⁴ = 625x⁴, производная 2500x³ (или 4 · (−5) · (−5x)³ = 2500x³).
1) 2 · 4 · (4x − 3) = 8(4x − 3).
2) −3 · 5 · (5x + 2)^(−4) = −15(5x + 2)^(−4).
3) −6 · (−2) · (1 − 2x)^(−7) = 12(1 − 2x)^(−7).
4) 4 · (−5) · (2 − 5x)³ = −20(2 − 5x)³.
5) (2x)³ = 8x³, производная 24x² (или 3 · 2 · (2x)² = 24x²).
6) (−5x)⁴ = 625x⁴, производная 2500x³ (или 4 · (−5) · (−5x)³ = 2500x³).
792. Найти производную функции:
1) корень 3-й степени из (2x + 7);
2) корень 4-й степени из (7 − 3x);
3) корень 4-й степени из 3x;
4) корень 3-й степени из 5x.
1) корень 3-й степени из (2x + 7);
2) корень 4-й степени из (7 − 3x);
3) корень 4-й степени из 3x;
4) корень 3-й степени из 5x.
Записываем корень как степень и применяем ((kx + b)^p)′ = pk(kx + b)^(p−1).
1) (2x + 7)^(1/3): 1/3 · 2 · (2x + 7)^(−2/3) = 2/(3 ∛((2x + 7)²)).
2) (7 − 3x)^(1/4): 1/4 · (−3) · (7 − 3x)^(−3/4) = −3/(4 ⁴√((7 − 3x)³)).
3) (3x)^(1/4): 1/4 · 3 · (3x)^(−3/4) = 3/(4 ⁴√(27x³)) = ⁴√3/(4 ⁴√(x³)).
4) (5x)^(1/3): 1/3 · 5 · (5x)^(−2/3) = 5/(3 ∛(25x²)) = ∛5/(3 ∛(x²)).
Ответ: 1) 2/(3 ∛((2x + 7)²)); 2) −3/(4 ⁴√((7 − 3x)³)); 3) 3/(4 ⁴√(27x³)); 4) ∛5/(3 ∛(x²)).
1) (2x + 7)^(1/3): 1/3 · 2 · (2x + 7)^(−2/3) = 2/(3 ∛((2x + 7)²)).
2) (7 − 3x)^(1/4): 1/4 · (−3) · (7 − 3x)^(−3/4) = −3/(4 ⁴√((7 − 3x)³)).
3) (3x)^(1/4): 1/4 · 3 · (3x)^(−3/4) = 3/(4 ⁴√(27x³)) = ⁴√3/(4 ⁴√(x³)).
4) (5x)^(1/3): 1/3 · 5 · (5x)^(−2/3) = 5/(3 ∛(25x²)) = ∛5/(3 ∛(x²)).
Ответ: 1) 2/(3 ∛((2x + 7)²)); 2) −3/(4 ⁴√((7 − 3x)³)); 3) 3/(4 ⁴√(27x³)); 4) ∛5/(3 ∛(x²)).
793. Найти f′(x₀), если:
1) f(x) = x⁶, x₀ = 1/2;
2) f(x) = x^(−2), x₀ = 3;
3) f(x) = √x, x₀ = 4;
4) f(x) = ∛x, x₀ = 8;
5) f(x) = √(5 − 4x), x₀ = 1;
6) f(x) = 1/√(3x + 1), x₀ = 1.
1) f(x) = x⁶, x₀ = 1/2;
2) f(x) = x^(−2), x₀ = 3;
3) f(x) = √x, x₀ = 4;
4) f(x) = ∛x, x₀ = 8;
5) f(x) = √(5 − 4x), x₀ = 1;
6) f(x) = 1/√(3x + 1), x₀ = 1.
1) f′(x) = 6x⁵, f′(1/2) = 6/32 = 3/16.
2) f′(x) = −2x^(−3), f′(3) = −2/27.
3) f′(x) = 1/(2√x), f′(4) = 1/4.
4) f′(x) = 1/(3 ∛(x²)), f′(8) = 1/(3 · 4) = 1/12.
5) f(x) = (5 − 4x)^(1/2), f′(x) = 1/2 · (−4) · (5 − 4x)^(−1/2) = −2/√(5 − 4x). f′(1) = −2/1 = −2.
6) f(x) = (3x + 1)^(−1/2), f′(x) = −1/2 · 3 · (3x + 1)^(−3/2). f′(1) = −3/2 · 4^(−3/2) = −3/2 · 1/8 = −3/16.
Ответ: 1) 3/16; 2) −2/27; 3) 1/4; 4) 1/12; 5) −2; 6) −3/16.
2) f′(x) = −2x^(−3), f′(3) = −2/27.
3) f′(x) = 1/(2√x), f′(4) = 1/4.
4) f′(x) = 1/(3 ∛(x²)), f′(8) = 1/(3 · 4) = 1/12.
5) f(x) = (5 − 4x)^(1/2), f′(x) = 1/2 · (−4) · (5 − 4x)^(−1/2) = −2/√(5 − 4x). f′(1) = −2/1 = −2.
6) f(x) = (3x + 1)^(−1/2), f′(x) = −1/2 · 3 · (3x + 1)^(−3/2). f′(1) = −3/2 · 4^(−3/2) = −3/2 · 1/8 = −3/16.
Ответ: 1) 3/16; 2) −2/27; 3) 1/4; 4) 1/12; 5) −2; 6) −3/16.