Глава VIII. § 44. Производная — с. 235
776. Точка движется по закону s(t) = 1 + 3t. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени:
1) от t = 1 до t = 4;
2) от t = 0,8 до t = 1.
1) от t = 1 до t = 4;
2) от t = 0,8 до t = 1.
Средняя скорость равна отношению приращения пути к приращению времени: v = (s(t₂) − s(t₁))/(t₂ − t₁).
1) s(1) = 1 + 3 = 4, s(4) = 1 + 12 = 13. v = (13 − 4)/(4 − 1) = 9/3 = 3.
2) s(0,8) = 1 + 2,4 = 3,4, s(1) = 4. v = (4 − 3,4)/(1 − 0,8) = 0,6/0,2 = 3.
Ответ: 1) 3; 2) 3 (для линейного закона средняя скорость на любом промежутке равна 3).
1) s(1) = 1 + 3 = 4, s(4) = 1 + 12 = 13. v = (13 − 4)/(4 − 1) = 9/3 = 3.
2) s(0,8) = 1 + 2,4 = 3,4, s(1) = 4. v = (4 − 3,4)/(1 − 0,8) = 0,6/0,2 = 3.
Ответ: 1) 3; 2) 3 (для линейного закона средняя скорость на любом промежутке равна 3).
777. Найти среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон её движения s = s(t) задан формулой:
1) s(t) = 2t;
2) s(t) = t².
1) s(t) = 2t;
2) s(t) = t².
Средняя скорость на отрезке [1; 1,2]: (s(1,2) − s(1))/(1,2 − 1) = (s(1,2) − s(1))/0,2.
1) s(1,2) = 2,4, s(1) = 2. v = 0,4/0,2 = 2.
2) s(1,2) = 1,44, s(1) = 1. v = 0,44/0,2 = 2,2.
Ответ: 1) 2; 2) 2,2.
1) s(1,2) = 2,4, s(1) = 2. v = 0,4/0,2 = 2.
2) s(1,2) = 1,44, s(1) = 1. v = 0,44/0,2 = 2,2.
Ответ: 1) 2; 2) 2,2.
778. Найти мгновенную скорость движения точки, если:
1) s(t) = 2t + 1;
2) s(t) = 2 − 3t.
1) s(t) = 2t + 1;
2) s(t) = 2 − 3t.
Мгновенная скорость — предел отношения приращения пути к приращению времени при Δt → 0, то есть v(t) = s′(t).
1) Δs = 2(t + Δt) + 1 − (2t + 1) = 2Δt, Δs/Δt = 2, предел равен 2. Значит, v(t) = 2.
2) Δs = 2 − 3(t + Δt) − (2 − 3t) = −3Δt, Δs/Δt = −3, предел равен −3. Значит, v(t) = −3.
Ответ: 1) v(t) = 2; 2) v(t) = −3.
1) Δs = 2(t + Δt) + 1 − (2t + 1) = 2Δt, Δs/Δt = 2, предел равен 2. Значит, v(t) = 2.
2) Δs = 2 − 3(t + Δt) − (2 − 3t) = −3Δt, Δs/Δt = −3, предел равен −3. Значит, v(t) = −3.
Ответ: 1) v(t) = 2; 2) v(t) = −3.
779. Закон движения задан формулой s(t) = 0,25t + 2. Найти:
1) среднюю скорость движения от t = 4 до t = 8;
2) скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.
1) среднюю скорость движения от t = 4 до t = 8;
2) скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.
1) s(4) = 1 + 2 = 3, s(8) = 2 + 2 = 4. Средняя скорость: (4 − 3)/(8 − 4) = 1/4 = 0,25.
2) Δs = 0,25(t + Δt) + 2 − (0,25t + 2) = 0,25Δt, поэтому Δs/Δt = 0,25 при любом Δt, v(t) = 0,25 для всех t. В частности, v(4) = 0,25 и v(8) = 0,25.
Ответ: 1) 0,25; 2) v(4) = 0,25, v(8) = 0,25.
2) Δs = 0,25(t + Δt) + 2 − (0,25t + 2) = 0,25Δt, поэтому Δs/Δt = 0,25 при любом Δt, v(t) = 0,25 для всех t. В частности, v(4) = 0,25 и v(8) = 0,25.
Ответ: 1) 0,25; 2) v(4) = 0,25, v(8) = 0,25.
780. Используя определение производной, найти f′(x), если:
1) f(x) = 3x + 2;
2) f(x) = 5x + 7;
3) f(x) = 3x² − 5x;
4) f(x) = −3x² + 2.
1) f(x) = 3x + 2;
2) f(x) = 5x + 7;
3) f(x) = 3x² − 5x;
4) f(x) = −3x² + 2.
Производная — предел разностного отношения (f(x + h) − f(x))/h при h → 0.
1) f(x + h) − f(x) = 3h, отношение равно 3, f′(x) = 3.
2) f(x + h) − f(x) = 5h, отношение равно 5, f′(x) = 5.
3) f(x + h) − f(x) = 3(x + h)² − 5(x + h) − 3x² + 5x = 6xh + 3h² − 5h. Отношение равно 6x + 3h − 5. При h → 0 получаем f′(x) = 6x − 5.
4) f(x + h) − f(x) = −3(x + h)² + 2 + 3x² − 2 = −6xh − 3h². Отношение равно −6x − 3h, при h → 0 получаем f′(x) = −6x.
Ответ: 1) 3; 2) 5; 3) 6x − 5; 4) −6x.
1) f(x + h) − f(x) = 3h, отношение равно 3, f′(x) = 3.
2) f(x + h) − f(x) = 5h, отношение равно 5, f′(x) = 5.
3) f(x + h) − f(x) = 3(x + h)² − 5(x + h) − 3x² + 5x = 6xh + 3h² − 5h. Отношение равно 6x + 3h − 5. При h → 0 получаем f′(x) = 6x − 5.
4) f(x + h) − f(x) = −3(x + h)² + 2 + 3x² − 2 = −6xh − 3h². Отношение равно −6x − 3h, при h → 0 получаем f′(x) = −6x.
Ответ: 1) 3; 2) 5; 3) 6x − 5; 4) −6x.
781. С помощью формулы (kx + b)′ = k найти производную функции:
1) f(x) = 4x;
2) f(x) = −7x + 5;
3) f(x) = −5x − 7.
1) f(x) = 4x;
2) f(x) = −7x + 5;
3) f(x) = −5x − 7.
1) k = 4, b = 0, f′(x) = 4.
2) k = −7, b = 5, f′(x) = −7.
3) k = −5, b = −7, f′(x) = −5.
Ответ: 1) 4; 2) −7; 3) −5.
2) k = −7, b = 5, f′(x) = −7.
3) k = −5, b = −7, f′(x) = −5.
Ответ: 1) 4; 2) −7; 3) −5.
782. Найти мгновенную скорость движения точки, если закон её движения s(t) задан формулой:
1) s(t) = 3/2 t²;
2) s(t) = 5t².
1) s(t) = 3/2 t²;
2) s(t) = 5t².
Скорость v(t) = s′(t). Для функции s = at² имеем Δs = a(t + Δt)² − at² = 2atΔt + a(Δt)², Δs/Δt = 2at + aΔt → 2at при Δt → 0.
1) a = 3/2: v(t) = 2 · 3/2 · t = 3t.
2) a = 5: v(t) = 10t.
Ответ: 1) v(t) = 3t; 2) v(t) = 10t.
1) a = 3/2: v(t) = 2 · 3/2 · t = 3t.
2) a = 5: v(t) = 10t.
Ответ: 1) v(t) = 3t; 2) v(t) = 10t.
783. Определить скорость тела, движущегося по закону s(t) = t² + 2, в момент времени:
1) t = 5;
2) t = 10.
1) t = 5;
2) t = 10.
Скорость v(t) = s′(t). Δs = (t + Δt)² + 2 − t² − 2 = 2tΔt + (Δt)², Δs/Δt = 2t + Δt → 2t. Значит, v(t) = 2t.
1) v(5) = 10.
2) v(10) = 20.
Ответ: 1) 10; 2) 20.
1) v(5) = 10.
2) v(10) = 20.
Ответ: 1) 10; 2) 20.
784. Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t (рис. 105). Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0; 1], [1; 2], [2; 3].
[рисунок 105: график s = s(t), выходит из начала координат, возрастает до максимума при t = 3, затем убывает; по графику s(0) = 0, s(1) = 1,5, s(2) = 2,5, s(3) = 3]
[рисунок 105: график s = s(t), выходит из начала координат, возрастает до максимума при t = 3, затем убывает; по графику s(0) = 0, s(1) = 1,5, s(2) = 2,5, s(3) = 3]
По графику находим значения: s(0) = 0, s(1) = 1,5, s(2) = 2,5, s(3) = 3. Средняя скорость на отрезке [t₁; t₂] равна (s(t₂) − s(t₁))/(t₂ − t₁).
[0; 1]: (1,5 − 0)/1 = 1,5.
[1; 2]: (2,5 − 1,5)/1 = 1.
[2; 3]: (3 − 2,5)/1 = 0,5.
Ответ: 1,5; 1; 0,5.
Оговорка: значения s(t) сняты по рисунку, поэтому они приближённые.
[0; 1]: (1,5 − 0)/1 = 1,5.
[1; 2]: (2,5 − 1,5)/1 = 1.
[2; 3]: (3 − 2,5)/1 = 0,5.
Ответ: 1,5; 1; 0,5.
Оговорка: значения s(t) сняты по рисунку, поэтому они приближённые.
785. Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t (рис. 106). Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0; 2], [2; 3], [3; 3,5].
[рисунок 106: график s = s(t); по графику s(0) = 2, s(2) = 1 (минимум), s(3) = 3, s(3,5) = 4]
[рисунок 106: график s = s(t); по графику s(0) = 2, s(2) = 1 (минимум), s(3) = 3, s(3,5) = 4]
По графику: s(0) = 2, s(2) = 1, s(3) = 3, s(3,5) = 4.
[0; 2]: (1 − 2)/(2 − 0) = −0,5.
[2; 3]: (3 − 1)/(3 − 2) = 2.
[3; 3,5]: (4 − 3)/(3,5 − 3) = 2.
Ответ: −0,5; 2; 2.
Оговорка: значения s(t) сняты по рисунку, поэтому они приближённые.
[0; 2]: (1 − 2)/(2 − 0) = −0,5.
[2; 3]: (3 − 1)/(3 − 2) = 2.
[3; 3,5]: (4 − 3)/(3,5 − 3) = 2.
Ответ: −0,5; 2; 2.
Оговорка: значения s(t) сняты по рисунку, поэтому они приближённые.
786. Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство:
1) lim_{x→1} (2x + 1) = 3;
2) lim_{x→2} x² = 4.
1) lim_{x→1} (2x + 1) = 3;
2) lim_{x→2} x² = 4.
Равенство lim_{x→x₀} f(x) = A верно, если для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что при |x − x₀| < δ выполняется |f(x) − A| < ε.
1) |(2x + 1) − 3| = 2|x − 1|. Это меньше ε при |x − 1| < ε/2, то есть можно взять δ = ε/2. Равенство верно.
2) |x² − 4| = |x − 2| · |x + 2|. Пусть |x − 2| < 1, тогда 1 < x < 3 и |x + 2| < 5, поэтому |x² − 4| < 5|x − 2|. Возьмём δ = min(1; ε/5): при |x − 2| < δ получаем |x² − 4| < ε. Равенство верно.
Ответ: 1) да; 2) да.
1) |(2x + 1) − 3| = 2|x − 1|. Это меньше ε при |x − 1| < ε/2, то есть можно взять δ = ε/2. Равенство верно.
2) |x² − 4| = |x − 2| · |x + 2|. Пусть |x − 2| < 1, тогда 1 < x < 3 и |x + 2| < 5, поэтому |x² − 4| < 5|x − 2|. Возьмём δ = min(1; ε/5): при |x − 2| < δ получаем |x² − 4| < ε. Равенство верно.
Ответ: 1) да; 2) да.