Глава VII. § 43*. Упражнения — с. 227
756. Найти область определения функции:
1) y = arcsin ((x − 3)/2);
2) y = arccos (2 − 3x);
3) y = arccos (2√x − 3);
4) y = arcsin ((2x² − 5)/3).
1) y = arcsin ((x − 3)/2);
2) y = arccos (2 − 3x);
3) y = arccos (2√x − 3);
4) y = arcsin ((2x² − 5)/3).
Арксинус и арккосинус определены при аргументе из отрезка [−1; 1].
1) −1 ≤ (x − 3)/2 ≤ 1; −2 ≤ x − 3 ≤ 2; 1 ≤ x ≤ 5.
2) −1 ≤ 2 − 3x ≤ 1; −3 ≤ −3x ≤ −1; 1/3 ≤ x ≤ 1.
3) Нужно x ≥ 0 и −1 ≤ 2√x − 3 ≤ 1; 2 ≤ 2√x ≤ 4; 1 ≤ √x ≤ 2; 1 ≤ x ≤ 4 (условие x ≥ 0 выполнено).
4) −1 ≤ (2x² − 5)/3 ≤ 1; −3 ≤ 2x² − 5 ≤ 3; 2 ≤ 2x² ≤ 8; 1 ≤ x² ≤ 4; значит 1 ≤ |x| ≤ 2, т. е. x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2].
Ответ: 1) [1; 5]; 2) [1/3; 1]; 3) [1; 4]; 4) [−2; −1] ∪ [1; 2].
1) −1 ≤ (x − 3)/2 ≤ 1; −2 ≤ x − 3 ≤ 2; 1 ≤ x ≤ 5.
2) −1 ≤ 2 − 3x ≤ 1; −3 ≤ −3x ≤ −1; 1/3 ≤ x ≤ 1.
3) Нужно x ≥ 0 и −1 ≤ 2√x − 3 ≤ 1; 2 ≤ 2√x ≤ 4; 1 ≤ √x ≤ 2; 1 ≤ x ≤ 4 (условие x ≥ 0 выполнено).
4) −1 ≤ (2x² − 5)/3 ≤ 1; −3 ≤ 2x² − 5 ≤ 3; 2 ≤ 2x² ≤ 8; 1 ≤ x² ≤ 4; значит 1 ≤ |x| ≤ 2, т. е. x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2].
Ответ: 1) [1; 5]; 2) [1/3; 1]; 3) [1; 4]; 4) [−2; −1] ∪ [1; 2].
757. Доказать, что график функции y = arccos x симметричен относительно точки (0; π/2).
Достаточно доказать, что для любого x ∈ [−1; 1] выполнено arccos (−x) = π − arccos x. Тогда точки (x; arccos x) и (−x; π − arccos x) графика имеют середину ((x + (−x))/2; (arccos x + π − arccos x)/2) = (0; π/2), то есть симметричны относительно этой точки.
Пусть α = arccos x, тогда 0 ≤ α ≤ π и cos α = x. Число π − α тоже принадлежит отрезку [0; π], и cos (π − α) = −cos α = −x. По определению арккосинуса arccos (−x) = π − α = π − arccos x.
Область определения [−1; 1] симметрична относительно нуля, поэтому каждой точке графика соответствует симметричная ей точка графика. Что и требовалось доказать.
Пусть α = arccos x, тогда 0 ≤ α ≤ π и cos α = x. Число π − α тоже принадлежит отрезку [0; π], и cos (π − α) = −cos α = −x. По определению арккосинуса arccos (−x) = π − α = π − arccos x.
Область определения [−1; 1] симметрична относительно нуля, поэтому каждой точке графика соответствует симметричная ей точка графика. Что и требовалось доказать.
758. Найти область определения функции:
1) y = sin x + cos x;
2) y = sin x + tg x;
3) y = √(sin x);
4) y = √(cos x);
5) y = 2x/(2 sin x − 1);
6) y = cos x/(2 sin² x − sin x).
1) y = sin x + cos x;
2) y = sin x + tg x;
3) y = √(sin x);
4) y = √(cos x);
5) y = 2x/(2 sin x − 1);
6) y = cos x/(2 sin² x − sin x).
1) sin x и cos x определены всюду: x ∈ R.
2) tg x определён при cos x ≠ 0: x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
3) sin x ≥ 0: 2πn ≤ x ≤ π + 2πn, n ∈ Z.
4) cos x ≥ 0: −π/2 + 2πn ≤ x ≤ π/2 + 2πn, n ∈ Z.
5) 2 sin x − 1 ≠ 0, т. е. sin x ≠ 1/2: x ≠ π/6 + 2πn и x ≠ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z (можно записать x ≠ (−1)^n · π/6 + πn).
6) 2 sin² x − sin x = sin x (2 sin x − 1) ≠ 0, т. е. sin x ≠ 0 и sin x ≠ 1/2: x ≠ πn, x ≠ π/6 + 2πn, x ≠ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z (то есть x ≠ πn и x ≠ (−1)^n · π/6 + πn).
2) tg x определён при cos x ≠ 0: x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.
3) sin x ≥ 0: 2πn ≤ x ≤ π + 2πn, n ∈ Z.
4) cos x ≥ 0: −π/2 + 2πn ≤ x ≤ π/2 + 2πn, n ∈ Z.
5) 2 sin x − 1 ≠ 0, т. е. sin x ≠ 1/2: x ≠ π/6 + 2πn и x ≠ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z (можно записать x ≠ (−1)^n · π/6 + πn).
6) 2 sin² x − sin x = sin x (2 sin x − 1) ≠ 0, т. е. sin x ≠ 0 и sin x ≠ 1/2: x ≠ πn, x ≠ π/6 + 2πn, x ≠ 5π/6 + 2πn, n ∈ Z (то есть x ≠ πn и x ≠ (−1)^n · π/6 + πn).
759. Найти множество значений функции:
1) y = 1 − 2 sin² x;
2) y = 2 cos² x − 1;
3) y = 3 − 2 sin² x;
4) y = 2 cos² x + 5;
5) y = cos 3x sin x − sin 3x cos x + 4;
6) y = cos 2x cos x + sin 2x sin x − 3.
1) y = 1 − 2 sin² x;
2) y = 2 cos² x − 1;
3) y = 3 − 2 sin² x;
4) y = 2 cos² x + 5;
5) y = cos 3x sin x − sin 3x cos x + 4;
6) y = cos 2x cos x + sin 2x sin x − 3.
1) 1 − 2 sin² x = cos 2x, значения [−1; 1].
2) 2 cos² x − 1 = cos 2x, значения [−1; 1].
3) 0 ≤ sin² x ≤ 1, поэтому 0 ≤ 2 sin² x ≤ 2 и 1 ≤ 3 − 2 sin² x ≤ 3. Значения [1; 3].
4) 0 ≤ cos² x ≤ 1, поэтому 5 ≤ 2 cos² x + 5 ≤ 7. Значения [5; 7].
5) cos 3x sin x − sin 3x cos x = sin (x − 3x) = −sin 2x, поэтому y = 4 − sin 2x; так как −1 ≤ sin 2x ≤ 1, то 3 ≤ y ≤ 5. Значения [3; 5].
6) cos 2x cos x + sin 2x sin x = cos (2x − x) = cos x, поэтому y = cos x − 3, значения [−4; −2].
2) 2 cos² x − 1 = cos 2x, значения [−1; 1].
3) 0 ≤ sin² x ≤ 1, поэтому 0 ≤ 2 sin² x ≤ 2 и 1 ≤ 3 − 2 sin² x ≤ 3. Значения [1; 3].
4) 0 ≤ cos² x ≤ 1, поэтому 5 ≤ 2 cos² x + 5 ≤ 7. Значения [5; 7].
5) cos 3x sin x − sin 3x cos x = sin (x − 3x) = −sin 2x, поэтому y = 4 − sin 2x; так как −1 ≤ sin 2x ≤ 1, то 3 ≤ y ≤ 5. Значения [3; 5].
6) cos 2x cos x + sin 2x sin x = cos (2x − x) = cos x, поэтому y = cos x − 3, значения [−4; −2].
760. Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:
1) y = x² + cos x;
2) y = x³ − sin x;
3) y = (1 − x²) cos x;
4) y = (1 + sin x) sin x.
1) y = x² + cos x;
2) y = x³ − sin x;
3) y = (1 − x²) cos x;
4) y = (1 + sin x) sin x.
Область определения каждой функции — вся числовая прямая, она симметрична относительно нуля.
1) y(−x) = x² + cos x = y(x): функция чётная.
2) y(−x) = −x³ + sin x = −(x³ − sin x) = −y(x): функция нечётная.
3) y(−x) = (1 − x²) cos x = y(x): функция чётная.
4) y(−x) = (1 − sin x)(−sin x) = −sin x + sin² x. Эта функция не равна ни y(x) = sin x + sin² x, ни −y(x) = −sin x − sin² x. Например, y(π/2) = 2, а y(−π/2) = 0; 0 ≠ 2 и 0 ≠ −2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
1) y(−x) = x² + cos x = y(x): функция чётная.
2) y(−x) = −x³ + sin x = −(x³ − sin x) = −y(x): функция нечётная.
3) y(−x) = (1 − x²) cos x = y(x): функция чётная.
4) y(−x) = (1 − sin x)(−sin x) = −sin x + sin² x. Эта функция не равна ни y(x) = sin x + sin² x, ни −y(x) = −sin x − sin² x. Например, y(π/2) = 2, а y(−π/2) = 0; 0 ≠ 2 и 0 ≠ −2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
761. Найти наименьший положительный период функции:
1) y = cos 7x;
2) y = sin (x/7).
1) y = cos 7x;
2) y = sin (x/7).
Наименьший положительный период функции y = cos kx и y = sin kx равен 2π/|k|.
1) k = 7: T = 2π/7.
2) k = 1/7: T = 2π : (1/7) = 14π.
Ответ: 1) 2π/7; 2) 14π.
1) k = 7: T = 2π/7.
2) k = 1/7: T = 2π : (1/7) = 14π.
Ответ: 1) 2π/7; 2) 14π.
762. Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; 3π]:
1) 2 cos x + √3 = 0;
2) √3 − sin x = sin x;
3) 3 tg x = √3;
4) cos x + 1 = 0.
1) 2 cos x + √3 = 0;
2) √3 − sin x = sin x;
3) 3 tg x = √3;
4) cos x + 1 = 0.
1) cos x = −√3/2; x = ±5π/6 + 2πn. На [0; 3π]: 5π/6; 7π/6 (из −5π/6 + 2π); 17π/6 (5π/6 + 2π). Следующие значения (19π/6) больше 3π.
2) 2 sin x = √3; sin x = √3/2; x = π/3 + 2πn или x = 2π/3 + 2πn. На [0; 3π]: π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3.
3) tg x = √3/3; x = π/6 + πn. На [0; 3π]: π/6, 7π/6, 13π/6.
4) cos x = −1; x = π + 2πn. На [0; 3π]: π, 3π.
Ответ: 1) 5π/6, 7π/6, 17π/6; 2) π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3; 3) π/6, 7π/6, 13π/6; 4) π, 3π.
2) 2 sin x = √3; sin x = √3/2; x = π/3 + 2πn или x = 2π/3 + 2πn. На [0; 3π]: π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3.
3) tg x = √3/3; x = π/6 + πn. На [0; 3π]: π/6, 7π/6, 13π/6.
4) cos x = −1; x = π + 2πn. На [0; 3π]: π, 3π.
Ответ: 1) 5π/6, 7π/6, 17π/6; 2) π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3; 3) π/6, 7π/6, 13π/6; 4) π, 3π.
763. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [−2π; −π]:
1) 1 + 2 cos x ≥ 0;
2) 1 − 2 sin x < 0;
3) 2 + tg x > 0;
4) 1 − 2 tg x ≤ 0.
1) 1 + 2 cos x ≥ 0;
2) 1 − 2 sin x < 0;
3) 2 + tg x > 0;
4) 1 − 2 tg x ≤ 0.
1) cos x ≥ −1/2: −2π/3 + 2πn ≤ x ≤ 2π/3 + 2πn. При n = −1: −8π/3 ≤ x ≤ −4π/3; пересечение с [−2π; −π] даёт [−2π; −4π/3]. При n = 0 промежуток [−2π/3; 2π/3] в заданный отрезок не попадает.
2) sin x > 1/2: π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn. При n = −1: −11π/6 < x < −7π/6; этот интервал целиком лежит в [−2π; −π].
3) tg x > −2: −arctg 2 + πn < x < π/2 + πn. При n = −2: [−2π; −3π/2) (левая граница −2π − arctg 2 < −2π); при n = −1: −π − arctg 2 < x ≤ −π (правее −π выходим из отрезка). Решение: [−2π; −3π/2) ∪ (−π − arctg 2; −π].
4) tg x ≥ 1/2: arctg (1/2) + πn ≤ x < π/2 + πn. При n = −2: −2π + arctg (1/2) ≤ x < −3π/2; этот промежуток лежит в [−2π; −π]. При n = −1 значения x ≥ −π + arctg(1/2) > −π, в отрезок не попадают.
Ответ: 1) [−2π; −4π/3]; 2. (−11π/6; −7π/6); 3) [−2π; −3π/2) ∪ (−π − arctg 2; −π]; 4) [−2π + arctg (1/2); −3π/2).
2) sin x > 1/2: π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn. При n = −1: −11π/6 < x < −7π/6; этот интервал целиком лежит в [−2π; −π].
3) tg x > −2: −arctg 2 + πn < x < π/2 + πn. При n = −2: [−2π; −3π/2) (левая граница −2π − arctg 2 < −2π); при n = −1: −π − arctg 2 < x ≤ −π (правее −π выходим из отрезка). Решение: [−2π; −3π/2) ∪ (−π − arctg 2; −π].
4) tg x ≥ 1/2: arctg (1/2) + πn ≤ x < π/2 + πn. При n = −2: −2π + arctg (1/2) ≤ x < −3π/2; этот промежуток лежит в [−2π; −π]. При n = −1 значения x ≥ −π + arctg(1/2) > −π, в отрезок не попадают.
Ответ: 1) [−2π; −4π/3]; 2. (−11π/6; −7π/6); 3) [−2π; −3π/2) ∪ (−π − arctg 2; −π]; 4) [−2π + arctg (1/2); −3π/2).
764. Используя графики, найти число корней уравнения:
1) cos x = x²;
2) sin x = x/2.
1) cos x = x²;
2) sin x = x/2.
Построим в одной системе координат графики левой и правой частей; число корней равно числу точек пересечения.
1) y = cos x и y = x². Обе функции чётные, поэтому корни симметричны относительно нуля. При x = 0: cos 0 = 1 > 0 = x², при x = 1: cos 1 ≈ 0,54 < 1 = x²; значит, на (0; 1) графики пересекаются (корень x ≈ 0,82). При x > 1 парабола выше единицы, а cos x ≤ 1, пересечений нет. С учётом симметрии корней два.
2) y = sin x и y = x/2. Обе функции нечётные: x = 0 — корень. При x > 0 прямая выходит из начала под меньшим наклоном, чем синусоида (касательная к синусоиде в нуле y = x), поэтому сначала sin x > x/2; при x = π имеем sin π = 0 < π/2, значит, на (π/2; π) есть пересечение (x ≈ 1,9). При x ≥ 2 имеем x/2 ≥ 1 ≥ sin x, дальнейших пересечений нет (равенство лишь при x = 2, но sin 2 ≈ 0,91 < 1). По симметрии есть корень x ≈ −1,9. Всего три корня.
Ответ: 1) два корня; 2) три корня.
1) y = cos x и y = x². Обе функции чётные, поэтому корни симметричны относительно нуля. При x = 0: cos 0 = 1 > 0 = x², при x = 1: cos 1 ≈ 0,54 < 1 = x²; значит, на (0; 1) графики пересекаются (корень x ≈ 0,82). При x > 1 парабола выше единицы, а cos x ≤ 1, пересечений нет. С учётом симметрии корней два.
2) y = sin x и y = x/2. Обе функции нечётные: x = 0 — корень. При x > 0 прямая выходит из начала под меньшим наклоном, чем синусоида (касательная к синусоиде в нуле y = x), поэтому сначала sin x > x/2; при x = π имеем sin π = 0 < π/2, значит, на (π/2; π) есть пересечение (x ≈ 1,9). При x ≥ 2 имеем x/2 ≥ 1 ≥ sin x, дальнейших пересечений нет (равенство лишь при x = 2, но sin 2 ≈ 0,91 < 1). По симметрии есть корень x ≈ −1,9. Всего три корня.
Ответ: 1) два корня; 2) три корня.