Глава VII. § 42. Свойства функции y = tg x и её график — с. 222
736. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (−π; 2π):
1) tg x = 1;
2) tg x = √3;
3) tg x = −√3;
4) tg x = −1.
1) tg x = 1;
2) tg x = √3;
3) tg x = −√3;
4) tg x = −1.
1) x = π/4 + πn. Из (−π; 2π): n = −1: −3π/4; n = 0: π/4; n = 1: 5π/4 (n = 2 даёт 9π/4 > 2π). Ответ: −3π/4, π/4, 5π/4.
2) x = π/3 + πn: −2π/3, π/3, 4π/3. Ответ: −2π/3, π/3, 4π/3.
3) x = −π/3 + πn: −π/3, 2π/3, 5π/3 (n = −1 даёт −4π/3 < −π). Ответ: −π/3, 2π/3, 5π/3.
4) x = −π/4 + πn: −π/4, 3π/4, 7π/4 (n = −1 даёт −5π/4 < −π). Ответ: −π/4, 3π/4, 7π/4.
2) x = π/3 + πn: −2π/3, π/3, 4π/3. Ответ: −2π/3, π/3, 4π/3.
3) x = −π/3 + πn: −π/3, 2π/3, 5π/3 (n = −1 даёт −4π/3 < −π). Ответ: −π/3, 2π/3, 5π/3.
4) x = −π/4 + πn: −π/4, 3π/4, 7π/4 (n = −1 даёт −5π/4 < −π). Ответ: −π/4, 3π/4, 7π/4.
737. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку (−π, 2π):
1) tg x ≥ 1;
2) tg x < √3/3;
3) tg x < −1;
4) tg x ≥ −√3.
1) tg x ≥ 1;
2) tg x < √3/3;
3) tg x < −1;
4) tg x ≥ −√3.
Решаем неравенство на каждом интервале монотонности (−π/2 + πn; π/2 + πn) и выбираем части, лежащие в (−π; 2π). Точки π/2 + πn исключаем.
1) tg x = 1 при x = π/4 + πn. Получаем π/4 + πn ≤ x < π/2 + πn: n = −1: −3π/4 ≤ x < −π/2; n = 0: π/4 ≤ x < π/2; n = 1: 5π/4 ≤ x < 3π/2.
2) tg x = √3/3 при x = π/6 + πn. Получаем −π/2 + πn < x < π/6 + πn: −π < x < −5π/6; −π/2 < x < π/6; π/2 < x < 7π/6; 3π/2 < x < 2π (интервал (3π/2; 13π/6) обрезается границей 2π).
3) tg x = −1 при x = −π/4 + πn. Получаем −π/2 + πn < x < −π/4 + πn: −π/2 < x < −π/4; π/2 < x < 3π/4; 3π/2 < x < 7π/4 (при n = −1 интервал (−3π/2; −5π/4) не пересекается с (−π; 2π)).
4) tg x = −√3 при x = −π/3 + πn. Получаем −π/3 + πn ≤ x < π/2 + πn: при n = −1 часть интервала [−4π/3; −π/2) в (−π; 2π): −π < x < −π/2; n = 0: −π/3 ≤ x < π/2; n = 1: 2π/3 ≤ x < 3π/2; n = 2: 5π/3 ≤ x < 2π.
1) tg x = 1 при x = π/4 + πn. Получаем π/4 + πn ≤ x < π/2 + πn: n = −1: −3π/4 ≤ x < −π/2; n = 0: π/4 ≤ x < π/2; n = 1: 5π/4 ≤ x < 3π/2.
2) tg x = √3/3 при x = π/6 + πn. Получаем −π/2 + πn < x < π/6 + πn: −π < x < −5π/6; −π/2 < x < π/6; π/2 < x < 7π/6; 3π/2 < x < 2π (интервал (3π/2; 13π/6) обрезается границей 2π).
3) tg x = −1 при x = −π/4 + πn. Получаем −π/2 + πn < x < −π/4 + πn: −π/2 < x < −π/4; π/2 < x < 3π/4; 3π/2 < x < 7π/4 (при n = −1 интервал (−3π/2; −5π/4) не пересекается с (−π; 2π)).
4) tg x = −√3 при x = −π/3 + πn. Получаем −π/3 + πn ≤ x < π/2 + πn: при n = −1 часть интервала [−4π/3; −π/2) в (−π; 2π): −π < x < −π/2; n = 0: −π/3 ≤ x < π/2; n = 1: 2π/3 ≤ x < 3π/2; n = 2: 5π/3 ≤ x < 2π.
738. Решить неравенство:
1) tg x < 1;
2) tg x ≥ √3;
3) tg x ≤ −√3/3;
4) tg x > −1.
1) tg x < 1;
2) tg x ≥ √3;
3) tg x ≤ −√3/3;
4) tg x > −1.
Во всех пунктах n ∈ Z; решаем на интервале (−π/2; π/2) и добавляем период πn.
1) tg x < 1 при −π/2 < x < π/4. Ответ: −π/2 + πn < x < π/4 + πn.
2) tg x ≥ √3 при π/3 ≤ x < π/2. Ответ: π/3 + πn ≤ x < π/2 + πn.
3) tg x ≤ −√3/3 = tg(−π/6) при −π/2 < x ≤ −π/6. Ответ: −π/2 + πn < x ≤ −π/6 + πn.
4) tg x > −1 = tg(−π/4) при −π/4 < x < π/2. Ответ: −π/4 + πn < x < π/2 + πn.
1) tg x < 1 при −π/2 < x < π/4. Ответ: −π/2 + πn < x < π/4 + πn.
2) tg x ≥ √3 при π/3 ≤ x < π/2. Ответ: π/3 + πn ≤ x < π/2 + πn.
3) tg x ≤ −√3/3 = tg(−π/6) при −π/2 < x ≤ −π/6. Ответ: −π/2 + πn < x ≤ −π/6 + πn.
4) tg x > −1 = tg(−π/4) при −π/4 < x < π/2. Ответ: −π/4 + πn < x < π/2 + πn.
739. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π]:
1) tg x = 3;
2) tg x = −2.
1) tg x = 3;
2) tg x = −2.
1) x = arctg 3 + πn, где 0 < arctg 3 < π/2. Для [0; 3π] подходят n = 0, 1, 2 (при n = 3 получаем число больше 3π). Ответ: arctg 3, arctg 3 + π, arctg 3 + 2π.
2) x = −arctg 2 + πn, где 0 < arctg 2 < π/2. Для [0; 3π] подходят n = 1, 2, 3 (при n = 0 число отрицательно). Ответ: π − arctg 2, 2π − arctg 2, 3π − arctg 2.
2) x = −arctg 2 + πn, где 0 < arctg 2 < π/2. Для [0; 3π] подходят n = 1, 2, 3 (при n = 0 число отрицательно). Ответ: π − arctg 2, 2π − arctg 2, 3π − arctg 2.
740. Решить неравенство:
1) tg x > 4;
2) tg x ≤ 5;
3) tg x < −4;
4) tg x ≥ −5.
1) tg x > 4;
2) tg x ≤ 5;
3) tg x < −4;
4) tg x ≥ −5.
Во всех пунктах n ∈ Z; на интервале (−π/2; π/2) тангенс возрастает, затем добавляем период πn.
1) tg x > 4 при arctg 4 < x < π/2. Ответ: arctg 4 + πn < x < π/2 + πn.
2) tg x ≤ 5 при −π/2 < x ≤ arctg 5. Ответ: −π/2 + πn < x ≤ arctg 5 + πn.
3) tg x < −4 при −π/2 < x < −arctg 4. Ответ: −π/2 + πn < x < −arctg 4 + πn.
4) tg x ≥ −5 при −arctg 5 ≤ x < π/2. Ответ: −arctg 5 + πn ≤ x < π/2 + πn.
1) tg x > 4 при arctg 4 < x < π/2. Ответ: arctg 4 + πn < x < π/2 + πn.
2) tg x ≤ 5 при −π/2 < x ≤ arctg 5. Ответ: −π/2 + πn < x ≤ arctg 5 + πn.
3) tg x < −4 при −π/2 < x < −arctg 4. Ответ: −π/2 + πn < x < −arctg 4 + πn.
4) tg x ≥ −5 при −arctg 5 ≤ x < π/2. Ответ: −arctg 5 + πn ≤ x < π/2 + πn.
741. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π]:
1) tg x ≥ 3;
2) tg x < 4;
3) tg x ≤ −4;
4) tg x > −3.
1) tg x ≥ 3;
2) tg x < 4;
3) tg x ≤ −4;
4) tg x > −3.
Решение неравенства на всей оси записываем через арктангенс, затем выбираем части, лежащие в [0; 3π]. Точки π/2 + πn исключаем.
1) arctg 3 + πn ≤ x < π/2 + πn. Подходят n = 0, 1, 2 (при n = 3 левая граница больше 3π). Ответ: arctg 3 ≤ x < π/2; π + arctg 3 ≤ x < 3π/2; 2π + arctg 3 ≤ x < 5π/2.
2) −π/2 + πn < x < arctg 4 + πn. Ответ: 0 ≤ x < arctg 4; π/2 < x < π + arctg 4; 3π/2 < x < 2π + arctg 4; 5π/2 < x ≤ 3π.
3) −π/2 + πn < x ≤ −arctg 4 + πn. Ответ: π/2 < x ≤ π − arctg 4; 3π/2 < x ≤ 2π − arctg 4; 5π/2 < x ≤ 3π − arctg 4.
4) −arctg 3 + πn < x < π/2 + πn. Ответ: 0 ≤ x < π/2; π − arctg 3 < x < 3π/2; 2π − arctg 3 < x < 5π/2; 3π − arctg 3 < x ≤ 3π.
1) arctg 3 + πn ≤ x < π/2 + πn. Подходят n = 0, 1, 2 (при n = 3 левая граница больше 3π). Ответ: arctg 3 ≤ x < π/2; π + arctg 3 ≤ x < 3π/2; 2π + arctg 3 ≤ x < 5π/2.
2) −π/2 + πn < x < arctg 4 + πn. Ответ: 0 ≤ x < arctg 4; π/2 < x < π + arctg 4; 3π/2 < x < 2π + arctg 4; 5π/2 < x ≤ 3π.
3) −π/2 + πn < x ≤ −arctg 4 + πn. Ответ: π/2 < x ≤ π − arctg 4; 3π/2 < x ≤ 2π − arctg 4; 5π/2 < x ≤ 3π − arctg 4.
4) −arctg 3 + πn < x < π/2 + πn. Ответ: 0 ≤ x < π/2; π − arctg 3 < x < 3π/2; 2π − arctg 3 < x < 5π/2; 3π − arctg 3 < x ≤ 3π.
742. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (−π/2; π):
1) tg 2x = √3;
2) tg 3x = −1.
1) tg 2x = √3;
2) tg 3x = −1.
1) 2x = π/3 + πn, x = π/6 + πn/2. Условие −π/2 < x < π: n = −1: −π/3; n = 0: π/6; n = 1: 2π/3 (n = 2 даёт 7π/6 > π, n = −2 даёт −5π/6 < −π/2). Ответ: −π/3, π/6, 2π/3.
2) 3x = −π/4 + πn, x = −π/12 + πn/3. Условие −π/2 < x < π: n = −1: −5π/12; n = 0: −π/12; n = 1: π/4; n = 2: 7π/12; n = 3: 11π/12 (n = 4 даёт 15π/12 > π). Ответ: −5π/12, −π/12, π/4, 7π/12, 11π/12.
2) 3x = −π/4 + πn, x = −π/12 + πn/3. Условие −π/2 < x < π: n = −1: −5π/12; n = 0: −π/12; n = 1: π/4; n = 2: 7π/12; n = 3: 11π/12 (n = 4 даёт 15π/12 > π). Ответ: −5π/12, −π/12, π/4, 7π/12, 11π/12.
743. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку (−π/2; π):
1) tg 2x ≤ 1;
2) tg 3x < −√3.
1) tg 2x ≤ 1;
2) tg 3x < −√3.
1) Пусть t = 2x ∈ (−π; 2π). tg t ≤ 1 при −π/2 + πk < t ≤ π/4 + πk. Получаем: −π < t ≤ −3π/4; −π/2 < t ≤ π/4; π/2 < t ≤ 5π/4; 3π/2 < t < 2π. Делим на 2.
Ответ: −π/2 < x ≤ −3π/8; −π/4 < x ≤ π/8; π/4 < x ≤ 5π/8; 3π/4 < x < π.
2) Пусть t = 3x ∈ (−3π/2; 3π). tg t < −√3 при −π/2 + πk < t < −π/3 + πk. Получаем: −3π/2 < t < −4π/3; −π/2 < t < −π/3; π/2 < t < 2π/3; 3π/2 < t < 5π/3; 5π/2 < t < 8π/3. Делим на 3.
Ответ: −π/2 < x < −4π/9; −π/6 < x < −π/9; π/6 < x < 2π/9; π/2 < x < 5π/9; 5π/6 < x < 8π/9.
Ответ: −π/2 < x ≤ −3π/8; −π/4 < x ≤ π/8; π/4 < x ≤ 5π/8; 3π/4 < x < π.
2) Пусть t = 3x ∈ (−3π/2; 3π). tg t < −√3 при −π/2 + πk < t < −π/3 + πk. Получаем: −3π/2 < t < −4π/3; −π/2 < t < −π/3; π/2 < t < 2π/3; 3π/2 < t < 5π/3; 5π/2 < t < 8π/3. Делим на 3.
Ответ: −π/2 < x < −4π/9; −π/6 < x < −π/9; π/6 < x < 2π/9; π/2 < x < 5π/9; 5π/6 < x < 8π/9.
744. Построить график функции и выяснить её свойства:
1) y = tg(x + π/4);
2) y = tg (x/2).
1) y = tg(x + π/4);
2) y = tg (x/2).
1) График y = tg(x + π/4) получается из тангенсоиды сдвигом влево на π/4. Асимптоты x = π/4 + πn. Свойства (n ∈ Z): D(y): x ≠ π/4 + πn; E(y) = R; период π; ни чётная, ни нечётная; y(0) = 1; нули x = −π/4 + πn; y > 0 при x ∈ (−π/4 + πn; π/4 + πn), y < 0 при x ∈ (−3π/4 + πn; −π/4 + πn); возрастает на каждом интервале (−3π/4 + πn; π/4 + πn); экстремумов нет.
2) График y = tg(x/2) получается растяжением тангенсоиды вдоль оси Ox в 2 раза. Асимптоты x = π + 2πn. Свойства (n ∈ Z): D(y): x ≠ π + 2πn; E(y) = R; период 2π; нечётная; нули x = 2πn; y > 0 при x ∈ (2πn; π + 2πn), y < 0 при x ∈ (−π + 2πn; 2πn); возрастает на каждом интервале (−π + 2πn; π + 2πn); экстремумов нет.
2) График y = tg(x/2) получается растяжением тангенсоиды вдоль оси Ox в 2 раза. Асимптоты x = π + 2πn. Свойства (n ∈ Z): D(y): x ≠ π + 2πn; E(y) = R; период 2π; нечётная; нули x = 2πn; y > 0 при x ∈ (2πn; π + 2πn), y < 0 при x ∈ (−π + 2πn; 2πn); возрастает на каждом интервале (−π + 2πn; π + 2πn); экстремумов нет.
745. Найти множество значений функции y = tg x, если x принадлежит промежутку:
1) [−π/4; π/3];
2) (3π/4; 3π/2);
3) (0; π);
4) [π/4; 3π/4].
1) [−π/4; π/3];
2) (3π/4; 3π/2);
3) (0; π);
4) [π/4; 3π/4].
1) Отрезок лежит в (−π/2; π/2), где тангенс возрастает: от tg(−π/4) = −1 до tg π/3 = √3. Ответ: [−1; √3].
2) Промежуток лежит в (π/2; 3π/2), где тангенс возрастает от tg 3π/4 = −1 (не включается) и неограниченно растёт при x → 3π/2 слева. Ответ: (−1; +∞), т. е. y > −1.
3) В промежутке есть точка π/2, где тангенс не определён. На (0; π/2) значения заполняют (0; +∞), на (π/2; π) — (−∞; 0). Ответ: все y, кроме y = 0.
4) На [π/4; π/2) значения заполняют [1; +∞), на (π/2; 3π/4] — (−∞; −1]. Ответ: y ≤ −1 или y ≥ 1.
2) Промежуток лежит в (π/2; 3π/2), где тангенс возрастает от tg 3π/4 = −1 (не включается) и неограниченно растёт при x → 3π/2 слева. Ответ: (−1; +∞), т. е. y > −1.
3) В промежутке есть точка π/2, где тангенс не определён. На (0; π/2) значения заполняют (0; +∞), на (π/2; π) — (−∞; 0). Ответ: все y, кроме y = 0.
4) На [π/4; π/2) значения заполняют [1; +∞), на (π/2; 3π/4] — (−∞; −1]. Ответ: y ≤ −1 или y ≥ 1.
746. Построить график функции:
1) y = tg |x|;
2) y = |tg x|;
3) y = ctg x;
4) y = 1/ctg x.
1) y = tg |x|;
2) y = |tg x|;
3) y = ctg x;
4) y = 1/ctg x.
1) При x ≥ 0 имеем y = tg x; функция чётная, поэтому левая часть графика симметрична правой относительно оси Oy. Асимптоты x = ±π/2, ±3π/2, ... (при x = ±π/2 + πn).
2) Часть тангенсоиды, лежащую ниже оси Ox, отражаем симметрично вверх. Функция чётная, период π, y ≥ 0, асимптоты x = π/2 + πn.
3) Котангенсоида: период π, убывает на каждом интервале (πn; π + πn), асимптоты x = πn, нули x = π/2 + πn. Получается из тангенсоиды симметрией относительно оси Oy и сдвигом на π/2 (ctg x = −tg(x − π/2)).
4) Функция определена при ctg x ≠ 0 и sin x ≠ 0, т. е. при x ≠ πn/2. При таких x имеем 1/ctg x = tg x. Поэтому график — тангенсоида, из которой выколоты точки (πn; 0), n ∈ Z (в точках x = π/2 + πn тангенс и так не определён).
2) Часть тангенсоиды, лежащую ниже оси Ox, отражаем симметрично вверх. Функция чётная, период π, y ≥ 0, асимптоты x = π/2 + πn.
3) Котангенсоида: период π, убывает на каждом интервале (πn; π + πn), асимптоты x = πn, нули x = π/2 + πn. Получается из тангенсоиды симметрией относительно оси Oy и сдвигом на π/2 (ctg x = −tg(x − π/2)).
4) Функция определена при ctg x ≠ 0 и sin x ≠ 0, т. е. при x ≠ πn/2. При таких x имеем 1/ctg x = tg x. Поэтому график — тангенсоида, из которой выколоты точки (πn; 0), n ∈ Z (в точках x = π/2 + πn тангенс и так не определён).
747. Построить график функции:
1) y = tg x ctg x;
2) y = sin x ctg x.
1) y = tg x ctg x;
2) y = sin x ctg x.
1) Функция определена при tg x и ctg x определённых, т. е. при x ≠ πn/2. При таких x имеем tg x · ctg x = 1. Графиком является прямая y = 1 с выколотыми точками x = πn/2, n ∈ Z.
2) ctg x определён при x ≠ πn. При таких x имеем sin x · ctg x = cos x. Графиком является косинусоида y = cos x с выколотыми точками (πn; (−1)^n), n ∈ Z, т. е. (0; 1), (±π; −1), (±2π; 1), ...
2) ctg x определён при x ≠ πn. При таких x имеем sin x · ctg x = cos x. Графиком является косинусоида y = cos x с выколотыми точками (πn; (−1)^n), n ∈ Z, т. е. (0; 1), (±π; −1), (±2π; 1), ...
748. Построить график функции:
1) y = tg(3x − π/4);
2) y = ctg(3(x + π/6)).
1) y = tg(3x − π/4);
2) y = ctg(3(x + π/6)).
1) y = tg(3x − π/4) = tg 3(x − π/12). График получается из тангенсоиды сжатием к оси Oy в 3 раза (период π/3) и сдвигом вправо на π/12. Нули: x = π/12 + πn/3. Асимптоты: 3x − π/4 = π/2 + πn, x = π/4 + πn/3. Функция возрастает на каждом интервале между соседними асимптотами.
2) y = ctg(3(x + π/6)). График получается из котангенсоиды сжатием к оси Oy в 3 раза (период π/3) и сдвигом влево на π/6. Асимптоты: 3x + π/2 = πn, x = −π/6 + πn/3. Нули: 3x + π/2 = π/2 + πn, x = πn/3. Функция убывает на каждом интервале между соседними асимптотами.
2) y = ctg(3(x + π/6)). График получается из котангенсоиды сжатием к оси Oy в 3 раза (период π/3) и сдвигом влево на π/6. Асимптоты: 3x + π/2 = πn, x = −π/6 + πn/3. Нули: 3x + π/2 = π/2 + πn, x = πn/3. Функция убывает на каждом интервале между соседними асимптотами.
749. Решить неравенство:
1) tg² x < 1;
2) tg² x ≥ 3;
3) ctg x ≥ −1;
4) ctg x > √3.
1) tg² x < 1;
2) tg² x ≥ 3;
3) ctg x ≥ −1;
4) ctg x > √3.
Во всех пунктах n ∈ Z.
1) tg² x < 1 ⇔ |tg x| < 1 ⇔ −1 < tg x < 1. Ответ: −π/4 + πn < x < π/4 + πn.
2) tg² x ≥ 3 ⇔ tg x ≥ √3 или tg x ≤ −√3. Первое: π/3 + πn ≤ x < π/2 + πn; второе: −π/2 + πn < x ≤ −π/3 + πn (т. е. π/2 + πn < x ≤ 2π/3 + πn). Ответ: π/3 + πn ≤ x ≤ 2π/3 + πn, x ≠ π/2 + πn.
3) Котангенс убывает на (0; π) и ctg(3π/4) = −1. Значит, ctg x ≥ −1 при 0 < x ≤ 3π/4. Ответ: πn < x ≤ 3π/4 + πn.
4) ctg(π/6) = √3, котангенс убывает на (0; π), поэтому ctg x > √3 при 0 < x < π/6. Ответ: πn < x < π/6 + πn.
1) tg² x < 1 ⇔ |tg x| < 1 ⇔ −1 < tg x < 1. Ответ: −π/4 + πn < x < π/4 + πn.
2) tg² x ≥ 3 ⇔ tg x ≥ √3 или tg x ≤ −√3. Первое: π/3 + πn ≤ x < π/2 + πn; второе: −π/2 + πn < x ≤ −π/3 + πn (т. е. π/2 + πn < x ≤ 2π/3 + πn). Ответ: π/3 + πn ≤ x ≤ 2π/3 + πn, x ≠ π/2 + πn.
3) Котангенс убывает на (0; π) и ctg(3π/4) = −1. Значит, ctg x ≥ −1 при 0 < x ≤ 3π/4. Ответ: πn < x ≤ 3π/4 + πn.
4) ctg(π/6) = √3, котангенс убывает на (0; π), поэтому ctg x > √3 при 0 < x < π/6. Ответ: πn < x < π/6 + πn.