Глава VII. § 42. Свойства функции y = tg x и её график — с. 221
733. (Устно.) Выяснить, при каких значениях x из промежутка [−π; 2π] функция y = tg x принимает:
1) значение, равное 0;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
1) значение, равное 0;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
Функция tg x не определена при x = −π/2, π/2, 3π/2 (на [−π; 2π]); период π.
1) tg x = 0 при x = πn: x = −π, 0, π, 2π.
2) tg x > 0 при x ∈ (πn; π/2 + πn): (−π; −π/2), (0; π/2), (π; 3π/2).
3) tg x < 0 при x ∈ (−π/2 + πn; πn): (−π/2; 0), (π/2; π), (3π/2; 2π).
1) tg x = 0 при x = πn: x = −π, 0, π, 2π.
2) tg x > 0 при x ∈ (πn; π/2 + πn): (−π; −π/2), (0; π/2), (π; 3π/2).
3) tg x < 0 при x ∈ (−π/2 + πn; πn): (−π/2; 0), (π/2; π), (3π/2; 2π).
734. (Устно.) Выяснить, является ли функция y = tg x возрастающей на промежутке:
1) [π/4; π/3];
2) (π/2; π);
3) (−π/2; π/8);
4) [2; 3].
1) [π/4; π/3];
2) (π/2; π);
3) (−π/2; π/8);
4) [2; 3].
Тангенс возрастает на каждом интервале (−π/2 + πn; π/2 + πn), n ∈ Z.
1) [π/4; π/3] ⊂ (−π/2; π/2) — да, возрастает.
2) (π/2; π) ⊂ (π/2; 3π/2) — да, возрастает.
3) (−π/2; π/8) ⊂ (−π/2; π/2) — да, возрастает.
4) π/2 ≈ 1,57 < 2 и 3 < 3π/2 ≈ 4,71, поэтому [2; 3] ⊂ (π/2; 3π/2) — да, возрастает.
1) [π/4; π/3] ⊂ (−π/2; π/2) — да, возрастает.
2) (π/2; π) ⊂ (π/2; 3π/2) — да, возрастает.
3) (−π/2; π/8) ⊂ (−π/2; π/2) — да, возрастает.
4) π/2 ≈ 1,57 < 2 и 3 < 3π/2 ≈ 4,71, поэтому [2; 3] ⊂ (π/2; 3π/2) — да, возрастает.
735. С помощью свойства возрастания функции y = tg x сравнить числа:
1) tg π/5 и tg π/7;
2) tg 7π/8 и tg 8π/9;
3) tg(−7π/8) и tg(−8π/9);
4) tg(−π/5) и tg(−π/7);
5) tg 2 и tg 3;
6) tg 1 и tg 1,5.
1) tg π/5 и tg π/7;
2) tg 7π/8 и tg 8π/9;
3) tg(−7π/8) и tg(−8π/9);
4) tg(−π/5) и tg(−π/7);
5) tg 2 и tg 3;
6) tg 1 и tg 1,5.
Тангенс возрастает на каждом интервале (−π/2 + πn; π/2 + πn).
1) π/5 > π/7, оба числа в (−π/2; π/2), значит tg π/5 > tg π/7.
2) 7π/8 и 8π/9 лежат в (π/2; 3π/2); 7π/8 = 0,875π < 8π/9 ≈ 0,889π, значит tg 7π/8 < tg 8π/9.
3) −7π/8 и −8π/9 лежат в (−3π/2; −π/2); −7π/8 > −8π/9, значит tg(−7π/8) > tg(−8π/9).
4) −π/5 < −π/7, оба числа в (−π/2; π/2), значит tg(−π/5) < tg(−π/7).
5) 2 и 3 лежат в (π/2; 3π/2) (π/2 ≈ 1,57; 3π/2 ≈ 4,71); 2 < 3, значит tg 2 < tg 3.
6) 1 < 1,5 < π/2 ≈ 1,57, оба числа в (−π/2; π/2), значит tg 1 < tg 1,5.
1) π/5 > π/7, оба числа в (−π/2; π/2), значит tg π/5 > tg π/7.
2) 7π/8 и 8π/9 лежат в (π/2; 3π/2); 7π/8 = 0,875π < 8π/9 ≈ 0,889π, значит tg 7π/8 < tg 8π/9.
3) −7π/8 и −8π/9 лежат в (−3π/2; −π/2); −7π/8 > −8π/9, значит tg(−7π/8) > tg(−8π/9).
4) −π/5 < −π/7, оба числа в (−π/2; π/2), значит tg(−π/5) < tg(−π/7).
5) 2 и 3 лежат в (π/2; 3π/2) (π/2 ≈ 1,57; 3π/2 ≈ 4,71); 2 < 3, значит tg 2 < tg 3.
6) 1 < 1,5 < π/2 ≈ 1,57, оба числа в (−π/2; π/2), значит tg 1 < tg 1,5.