Глава VII. § 41. Свойства функции y = sin x и её график — с. 215
720. (Устно.) [Пользуясь графиком функции y = sin x, выполнить упражнения 720—725.] Выяснить, при каких значениях x, принадлежащих отрезку [0; 3π], функция y = sin x принимает:
1) значение, равное 0, 1, −1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
1) значение, равное 0, 1, −1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
Рассматриваем синусоиду на отрезке [0; 3π] (полтора периода).
1) sin x = 0 при x = πn: x = 0, π, 2π, 3π. sin x = 1 при x = π/2 + 2πn: x = π/2, 5π/2. sin x = −1 при x = −π/2 + 2πn: x = 3π/2.
2) График лежит выше оси Ox на интервалах (0; π) и (2π; 3π). Ответ: sin x > 0 при x ∈ (0; π) ∪ (2π; 3π).
3) График лежит ниже оси Ox на интервале (π; 2π). Ответ: sin x < 0 при x ∈ (π; 2π).
1) sin x = 0 при x = πn: x = 0, π, 2π, 3π. sin x = 1 при x = π/2 + 2πn: x = π/2, 5π/2. sin x = −1 при x = −π/2 + 2πn: x = 3π/2.
2) График лежит выше оси Ox на интервалах (0; π) и (2π; 3π). Ответ: sin x > 0 при x ∈ (0; π) ∪ (2π; 3π).
3) График лежит ниже оси Ox на интервале (π; 2π). Ответ: sin x < 0 при x ∈ (π; 2π).
721. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция y = sin x на промежутке:
1) [3π/2; 5π/2];
2) (π/2; π);
3) (−π; −π/2);
4) [−3π/2; −π/2];
5) [2; 4];
6) (6; 7).
1) [3π/2; 5π/2];
2) (π/2; π);
3) (−π; −π/2);
4) [−3π/2; −π/2];
5) [2; 4];
6) (6; 7).
Функция y = sin x возрастает на отрезках [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на отрезках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n ∈ Z.
1) [3π/2; 5π/2] = [−π/2 + 2π; π/2 + 2π], возрастает.
2) (π/2; π) ⊂ [π/2; 3π/2], убывает.
3) (−π; −π/2) ⊂ [−3π/2; −π/2] = [π/2 − 2π; 3π/2 − 2π], убывает.
4) [−3π/2; −π/2] = [π/2 − 2π; 3π/2 − 2π], убывает.
5) π/2 ≈ 1,57 и 3π/2 ≈ 4,71, поэтому [2; 4] ⊂ [π/2; 3π/2], убывает.
6) 3π/2 ≈ 4,71 и 5π/2 ≈ 7,85, поэтому (6; 7) ⊂ [3π/2; 5π/2], возрастает.
1) [3π/2; 5π/2] = [−π/2 + 2π; π/2 + 2π], возрастает.
2) (π/2; π) ⊂ [π/2; 3π/2], убывает.
3) (−π; −π/2) ⊂ [−3π/2; −π/2] = [π/2 − 2π; 3π/2 − 2π], убывает.
4) [−3π/2; −π/2] = [π/2 − 2π; 3π/2 − 2π], убывает.
5) π/2 ≈ 1,57 и 3π/2 ≈ 4,71, поэтому [2; 4] ⊂ [π/2; 3π/2], убывает.
6) 3π/2 ≈ 4,71 и 5π/2 ≈ 7,85, поэтому (6; 7) ⊂ [3π/2; 5π/2], возрастает.
722. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция y = sin x возрастала, а на другом убывала:
1) [0; π];
2) [π/2; 2π];
3) [−π; 0];
4) [−2π; −π].
1) [0; π];
2) [π/2; 2π];
3) [−π; 0];
4) [−2π; −π].
Точки смены монотонности синуса: x = π/2 + πn.
1) [0; π/2] — возрастает, [π/2; π] — убывает.
2) [π/2; 3π/2] — убывает, [3π/2; 2π] — возрастает.
3) [−π; −π/2] — убывает, [−π/2; 0] — возрастает.
4) [−2π; −3π/2] — возрастает (он лежит в отрезке [−5π/2; −3π/2] = [−π/2 − 2π; π/2 − 2π]), [−3π/2; −π] — убывает.
1) [0; π/2] — возрастает, [π/2; π] — убывает.
2) [π/2; 3π/2] — убывает, [3π/2; 2π] — возрастает.
3) [−π; −π/2] — убывает, [−π/2; 0] — возрастает.
4) [−2π; −3π/2] — возрастает (он лежит в отрезке [−5π/2; −3π/2] = [−π/2 − 2π; π/2 − 2π]), [−3π/2; −π] — убывает.
723. Используя свойство возрастания или убывания функции y = sin x, сравнить числа:
1) sin 7π/10 и sin 13π/10;
2) sin 13π/7 и sin 11π/7;
3) sin(−8π/7) и sin(−9π/8);
4) sin 7 и sin 6.
1) sin 7π/10 и sin 13π/10;
2) sin 13π/7 и sin 11π/7;
3) sin(−8π/7) и sin(−9π/8);
4) sin 7 и sin 6.
1) 7π/10 и 13π/10 принадлежат [π/2; 3π/2], где синус убывает; 7π/10 < 13π/10, поэтому sin 7π/10 > sin 13π/10.
2) 11π/7 ≈ 1,57π и 13π/7 ≈ 1,86π принадлежат [3π/2; 5π/2], где синус возрастает; 11π/7 < 13π/7, поэтому sin 13π/7 > sin 11π/7.
3) −8π/7 ≈ −1,143π и −9π/8 = −1,125π принадлежат [−3π/2; −π/2], где синус убывает; −8π/7 < −9π/8, поэтому sin(−8π/7) > sin(−9π/8).
4) 3π/2 ≈ 4,71 < 6 < 7 < 5π/2 ≈ 7,85, на [3π/2; 5π/2] синус возрастает, поэтому sin 7 > sin 6.
2) 11π/7 ≈ 1,57π и 13π/7 ≈ 1,86π принадлежат [3π/2; 5π/2], где синус возрастает; 11π/7 < 13π/7, поэтому sin 13π/7 > sin 11π/7.
3) −8π/7 ≈ −1,143π и −9π/8 = −1,125π принадлежат [−3π/2; −π/2], где синус убывает; −8π/7 < −9π/8, поэтому sin(−8π/7) > sin(−9π/8).
4) 3π/2 ≈ 4,71 < 6 < 7 < 5π/2 ≈ 7,85, на [3π/2; 5π/2] синус возрастает, поэтому sin 7 > sin 6.