Глава VII. § 40. Свойства функции y = cos x и её график — с. 211
708. (Устно.) Выяснить, при каких значениях x, принадлежащих отрезку [0; 3π], функция y = cos x принимает:
1) значение, равное 0, 1, −1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
1) значение, равное 0, 1, −1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
Пользуемся графиком y = cos x на [0; 3π]: нули в точках π/2 + πn, максимумы 1 в точках 2πn, минимумы −1 в точках π + 2πn.
1) cos x = 0 при x = π/2, 3π/2, 5π/2; cos x = 1 при x = 0, 2π; cos x = −1 при x = π, 3π.
2) cos x > 0 при 0 ≤ x < π/2 и 3π/2 < x < 5π/2.
3) cos x < 0 при π/2 < x < 3π/2 и 5π/2 < x ≤ 3π.
1) cos x = 0 при x = π/2, 3π/2, 5π/2; cos x = 1 при x = 0, 2π; cos x = −1 при x = π, 3π.
2) cos x > 0 при 0 ≤ x < π/2 и 3π/2 < x < 5π/2.
3) cos x < 0 при π/2 < x < 3π/2 и 5π/2 < x ≤ 3π.
709. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция y = cos x на отрезке:
1) [3π; 4π];
2) [−2π; −π];
3) [2π; 5π/2];
4) [−π/2; 0];
5) [1; 3];
6) [−2; −1].
1) [3π; 4π];
2) [−2π; −π];
3) [2π; 5π/2];
4) [−π/2; 0];
5) [1; 3];
6) [−2; −1].
Косинус убывает на [2πn; π + 2πn] и возрастает на [π + 2πn; 2π + 2πn], n ∈ Z.
1) [3π; 4π] = [π + 2π; 2π + 2π]: функция возрастает.
2) [−2π; −π] = [0 − 2π; π − 2π]: функция убывает.
3) [2π; 5π/2] ⊂ [2π; 3π]: функция убывает.
4) [−π/2; 0] ⊂ [−π; 0]: функция возрастает.
5) Так как 3 < π, отрезок [1; 3] ⊂ [0; π]: функция убывает.
6) Так как −π < −2 < −1 < 0, отрезок [−2; −1] ⊂ [−π; 0]: функция возрастает.
1) [3π; 4π] = [π + 2π; 2π + 2π]: функция возрастает.
2) [−2π; −π] = [0 − 2π; π − 2π]: функция убывает.
3) [2π; 5π/2] ⊂ [2π; 3π]: функция убывает.
4) [−π/2; 0] ⊂ [−π; 0]: функция возрастает.
5) Так как 3 < π, отрезок [1; 3] ⊂ [0; π]: функция убывает.
6) Так как −π < −2 < −1 < 0, отрезок [−2; −1] ⊂ [−π; 0]: функция возрастает.
710. Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция y = cos x возрастала, а на другом убывала:
1) [π/2; 3π/2];
2) [−π/2; π/2];
3) [0; 3π/2];
4) [−π; π/2].
1) [π/2; 3π/2];
2) [−π/2; π/2];
3) [0; 3π/2];
4) [−π; π/2].
Косинус убывает на [0; π] и возрастает на [−π; 0] и [π; 2π].
1) [π/2; π] — убывает; [π; 3π/2] — возрастает.
2) [−π/2; 0] — возрастает; [0; π/2] — убывает.
3) [0; π] — убывает; [π; 3π/2] — возрастает.
4) [−π; 0] — возрастает; [0; π/2] — убывает.
1) [π/2; π] — убывает; [π; 3π/2] — возрастает.
2) [−π/2; 0] — возрастает; [0; π/2] — убывает.
3) [0; π] — убывает; [π; 3π/2] — возрастает.
4) [−π; 0] — возрастает; [0; π/2] — убывает.