Глава VII. § 40. Свойства функции y = cos x и её график — с. 212
711. Используя свойство возрастания или убывания функции y = cos x, сравнить числа:
1) cos π/7 и cos 8π/9;
2) cos 8π/7 и cos 10π/7;
3) cos (−6π/7) и cos (−π/8);
4) cos (−8π/7) и cos (−9π/7);
5) cos 1 и cos 3;
6) cos 4 и cos 5.
1) cos π/7 и cos 8π/9;
2) cos 8π/7 и cos 10π/7;
3) cos (−6π/7) и cos (−π/8);
4) cos (−8π/7) и cos (−9π/7);
5) cos 1 и cos 3;
6) cos 4 и cos 5.
На [0; π] косинус убывает, на [π; 2π] возрастает.
1) 0 < π/7 < 8π/9 < π, функция убывает: cos π/7 > cos 8π/9.
2) π < 8π/7 < 10π/7 < 2π, функция возрастает: cos 8π/7 < cos 10π/7.
3) cos (−6π/7) = cos 6π/7, cos (−π/8) = cos π/8. Так как 0 < π/8 < 6π/7 < π, то cos π/8 > cos 6π/7. Значит cos (−6π/7) < cos (−π/8).
4) cos (−8π/7) = cos 8π/7, cos (−9π/7) = cos 9π/7. Так как π < 8π/7 < 9π/7 < 2π, функция возрастает: cos 8π/7 < cos 9π/7. Значит cos (−8π/7) < cos (−9π/7).
5) 0 < 1 < 3 < π (π ≈ 3,14), функция убывает: cos 1 > cos 3.
6) π < 4 < 5 < 2π (2π ≈ 6,28), функция возрастает: cos 4 < cos 5.
1) 0 < π/7 < 8π/9 < π, функция убывает: cos π/7 > cos 8π/9.
2) π < 8π/7 < 10π/7 < 2π, функция возрастает: cos 8π/7 < cos 10π/7.
3) cos (−6π/7) = cos 6π/7, cos (−π/8) = cos π/8. Так как 0 < π/8 < 6π/7 < π, то cos π/8 > cos 6π/7. Значит cos (−6π/7) < cos (−π/8).
4) cos (−8π/7) = cos 8π/7, cos (−9π/7) = cos 9π/7. Так как π < 8π/7 < 9π/7 < 2π, функция возрастает: cos 8π/7 < cos 9π/7. Значит cos (−8π/7) < cos (−9π/7).
5) 0 < 1 < 3 < π (π ≈ 3,14), функция убывает: cos 1 > cos 3.
6) π < 4 < 5 < 2π (2π ≈ 6,28), функция возрастает: cos 4 < cos 5.
712. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π]:
1) cos x = 1/2;
2) cos x = √2/2;
3) cos x = −√2/2;
4) cos x = −1/2.
1) cos x = 1/2;
2) cos x = √2/2;
3) cos x = −√2/2;
4) cos x = −1/2.
Общее решение уравнения cos x = a, |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2πn. Отбираем корни из [0; 3π].
1) x = ±π/3 + 2πn. Подходят: π/3 (n = 0), 2π − π/3 = 5π/3, 2π + π/3 = 7π/3. Следующий 11π/3 > 3π. Ответ: π/3; 5π/3; 7π/3.
2) x = ±π/4 + 2πn. Подходят: π/4, 7π/4, 9π/4. Следующий 15π/4 > 3π. Ответ: π/4; 7π/4; 9π/4.
3) x = ±3π/4 + 2πn. Подходят: 3π/4, 5π/4, 2π + 3π/4 = 11π/4. Следующий 13π/4 > 3π. Ответ: 3π/4; 5π/4; 11π/4.
4) x = ±2π/3 + 2πn. Подходят: 2π/3, 4π/3, 2π + 2π/3 = 8π/3. Следующий 10π/3 > 3π. Ответ: 2π/3; 4π/3; 8π/3.
1) x = ±π/3 + 2πn. Подходят: π/3 (n = 0), 2π − π/3 = 5π/3, 2π + π/3 = 7π/3. Следующий 11π/3 > 3π. Ответ: π/3; 5π/3; 7π/3.
2) x = ±π/4 + 2πn. Подходят: π/4, 7π/4, 9π/4. Следующий 15π/4 > 3π. Ответ: π/4; 7π/4; 9π/4.
3) x = ±3π/4 + 2πn. Подходят: 3π/4, 5π/4, 2π + 3π/4 = 11π/4. Следующий 13π/4 > 3π. Ответ: 3π/4; 5π/4; 11π/4.
4) x = ±2π/3 + 2πn. Подходят: 2π/3, 4π/3, 2π + 2π/3 = 8π/3. Следующий 10π/3 > 3π. Ответ: 2π/3; 4π/3; 8π/3.
713. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π]:
1) cos x ≥ 1/2;
2) cos x ≥ −1/2;
3) cos x < −√2/2;
4) cos x < √3/2.
1) cos x ≥ 1/2;
2) cos x ≥ −1/2;
3) cos x < −√2/2;
4) cos x < √3/2.
Используем график косинуса на [0; 3π] (или единичную окружность).
1) cos x ≥ 1/2 при −π/3 + 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn. На [0; 3π]: [0; π/3] и [5π/3; 7π/3].
2) cos x ≥ −1/2 при −2π/3 + 2πn ≤ x ≤ 2π/3 + 2πn. На [0; 3π]: [0; 2π/3] и [4π/3; 8π/3] (следующий отрезок начинается в 10π/3 > 3π).
3) cos x < −√2/2 при 3π/4 + 2πn < x < 5π/4 + 2πn. На [0; 3π]: (3π/4; 5π/4) и (11π/4; 3π] (интервал (11π/4; 13π/4) обрезается концом отрезка).
4) cos x < √3/2 при π/6 + 2πn < x < 11π/6 + 2πn. На [0; 3π]: (π/6; 11π/6) и (13π/6; 3π].
1) cos x ≥ 1/2 при −π/3 + 2πn ≤ x ≤ π/3 + 2πn. На [0; 3π]: [0; π/3] и [5π/3; 7π/3].
2) cos x ≥ −1/2 при −2π/3 + 2πn ≤ x ≤ 2π/3 + 2πn. На [0; 3π]: [0; 2π/3] и [4π/3; 8π/3] (следующий отрезок начинается в 10π/3 > 3π).
3) cos x < −√2/2 при 3π/4 + 2πn < x < 5π/4 + 2πn. На [0; 3π]: (3π/4; 5π/4) и (11π/4; 3π] (интервал (11π/4; 13π/4) обрезается концом отрезка).
4) cos x < √3/2 при π/6 + 2πn < x < 11π/6 + 2πn. На [0; 3π]: (π/6; 11π/6) и (13π/6; 3π].
714. Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:
1) cos π/5 и sin π/5;
2) sin π/7 и cos π/7;
3) cos 3π/8 и sin 5π/8;
4) sin 3π/5 и cos π/5;
5) cos π/6 и sin 5π/14;
6) cos π/8 и sin 3π/10.
1) cos π/5 и sin π/5;
2) sin π/7 и cos π/7;
3) cos 3π/8 и sin 5π/8;
4) sin 3π/5 и cos π/5;
5) cos π/6 и sin 5π/14;
6) cos π/8 и sin 3π/10.
Используем sin t = cos (π/2 − t) и убывание косинуса на [0; π].
1) sin π/5 = cos (π/2 − π/5) = cos 3π/10. Так как π/5 < 3π/10, то cos π/5 > cos 3π/10. Ответ: cos π/5 > sin π/5.
2) sin π/7 = cos 5π/14. Так как π/7 = 2π/14 < 5π/14, то cos π/7 > cos 5π/14. Ответ: sin π/7 < cos π/7.
3) sin 5π/8 = cos (π/2 − 5π/8) = cos (−π/8) = cos π/8. Так как 3π/8 > π/8, то cos 3π/8 < cos π/8. Ответ: cos 3π/8 < sin 5π/8.
4) sin 3π/5 = cos (π/2 − 3π/5) = cos (−π/10) = cos π/10. Так как π/10 < π/5, то cos π/10 > cos π/5. Ответ: sin 3π/5 > cos π/5.
5) sin 5π/14 = cos (π/2 − 5π/14) = cos (2π/14) = cos π/7. Так как π/7 < π/6, то cos π/7 > cos π/6. Ответ: cos π/6 < sin 5π/14.
6) sin 3π/10 = cos (π/2 − 3π/10) = cos π/5. Так как π/8 < π/5, то cos π/8 > cos π/5. Ответ: cos π/8 > sin 3π/10.
1) sin π/5 = cos (π/2 − π/5) = cos 3π/10. Так как π/5 < 3π/10, то cos π/5 > cos 3π/10. Ответ: cos π/5 > sin π/5.
2) sin π/7 = cos 5π/14. Так как π/7 = 2π/14 < 5π/14, то cos π/7 > cos 5π/14. Ответ: sin π/7 < cos π/7.
3) sin 5π/8 = cos (π/2 − 5π/8) = cos (−π/8) = cos π/8. Так как 3π/8 > π/8, то cos 3π/8 < cos π/8. Ответ: cos 3π/8 < sin 5π/8.
4) sin 3π/5 = cos (π/2 − 3π/5) = cos (−π/10) = cos π/10. Так как π/10 < π/5, то cos π/10 > cos π/5. Ответ: sin 3π/5 > cos π/5.
5) sin 5π/14 = cos (π/2 − 5π/14) = cos (2π/14) = cos π/7. Так как π/7 < π/6, то cos π/7 > cos π/6. Ответ: cos π/6 < sin 5π/14.
6) sin 3π/10 = cos (π/2 − 3π/10) = cos π/5. Так как π/8 < π/5, то cos π/8 > cos π/5. Ответ: cos π/8 > sin 3π/10.
715. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [−π/2; 3π/2]:
1) cos 2x = 1/2;
2) cos 3x = √3/2.
1) cos 2x = 1/2;
2) cos 3x = √3/2.
1) 2x = ±π/3 + 2πn, x = ±π/6 + πn, n ∈ Z. Отбор по условию −π/2 ≤ x ≤ 3π/2: n = 0: −π/6 и π/6; n = 1: 5π/6 и 7π/6; при n = −1 корни −5π/6 и −7π/6 меньше −π/2; при n = 2 корни 11π/6 и 13π/6 больше 3π/2. Ответ: −π/6; π/6; 5π/6; 7π/6.
2) 3x = ±π/6 + 2πn, x = ±π/18 + 2πn/3, n ∈ Z. Отрезок в восемнадцатых долях: [−9π/18; 27π/18]. n = 0: ±π/18; n = 1: 12π/18 ± π/18 = 11π/18 и 13π/18; n = 2: 24π/18 ± π/18 = 23π/18 и 25π/18; при n = −1 корни −13π/18 и −11π/18 меньше −9π/18; при n = 3 корни 35π/18 и 37π/18 больше 27π/18. Ответ: −π/18; π/18; 11π/18; 13π/18; 23π/18; 25π/18.
2) 3x = ±π/6 + 2πn, x = ±π/18 + 2πn/3, n ∈ Z. Отрезок в восемнадцатых долях: [−9π/18; 27π/18]. n = 0: ±π/18; n = 1: 12π/18 ± π/18 = 11π/18 и 13π/18; n = 2: 24π/18 ± π/18 = 23π/18 и 25π/18; при n = −1 корни −13π/18 и −11π/18 меньше −9π/18; при n = 3 корни 35π/18 и 37π/18 больше 27π/18. Ответ: −π/18; π/18; 11π/18; 13π/18; 23π/18; 25π/18.
716. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [−π/2; 3π/2]:
1) cos 2x < 1/2;
2) cos 3x > √3/2.
1) cos 2x < 1/2;
2) cos 3x > √3/2.
1) cos 2x < 1/2 при π/3 + 2πn < 2x < 5π/3 + 2πn, т. е. π/6 + πn < x < 5π/6 + πn. Пересекаем с [−π/2; 3π/2]: n = −1: (−5π/6; −π/6) даёт [−π/2; −π/6); n = 0: (π/6; 5π/6); n = 1: (7π/6; 11π/6) даёт (7π/6; 3π/2]. Ответ: [−π/2; −π/6) ∪ (π/6; 5π/6) ∪ (7π/6; 3π/2].
2) cos 3x > √3/2 при −π/6 + 2πn < 3x < π/6 + 2πn, т. е. −π/18 + 2πn/3 < x < π/18 + 2πn/3. В восемнадцатых долях π отрезок [−9π/18; 27π/18]: n = 0: (−π/18; π/18); n = 1: (11π/18; 13π/18); n = 2: (23π/18; 25π/18); n = −1: (−13π/18; −11π/18) и n = 3: (35π/18; 37π/18) не пересекаются с отрезком. Ответ: (−π/18; π/18) ∪ (11π/18; 13π/18) ∪ (23π/18; 25π/18).
2) cos 3x > √3/2 при −π/6 + 2πn < 3x < π/6 + 2πn, т. е. −π/18 + 2πn/3 < x < π/18 + 2πn/3. В восемнадцатых долях π отрезок [−9π/18; 27π/18]: n = 0: (−π/18; π/18); n = 1: (11π/18; 13π/18); n = 2: (23π/18; 25π/18); n = −1: (−13π/18; −11π/18) и n = 3: (35π/18; 37π/18) не пересекаются с отрезком. Ответ: (−π/18; π/18) ∪ (11π/18; 13π/18) ∪ (23π/18; 25π/18).
717. Построить график функции и выяснить её свойства:
1) y = 1 + cos x;
2) y = cos 2x;
3) y = 3 cos x.
1) y = 1 + cos x;
2) y = cos 2x;
3) y = 3 cos x.
Графики строятся преобразованием косинусоиды y = cos x. Все три функции определены на R и чётные (график симметричен относительно оси Oy).
1) y = 1 + cos x: график cos x сдвинут вверх на 1. Множество значений [0; 2]; период 2π. Наибольшее значение 2 при x = 2πn, наименьшее 0 при x = π + 2πn (в этих точках график касается оси Ox). Нулей: x = π + 2πn; y ≥ 0 при всех x, положительна при x ≠ π + 2πn. Убывает на [2πn; π + 2πn], возрастает на [π + 2πn; 2π + 2πn].
2) y = cos 2x: график cos x сжат к оси Oy в 2 раза. Множество значений [−1; 1]; наименьший положительный период π. Наибольшее значение 1 при x = πn, наименьшее −1 при x = π/2 + πn. Нули: x = π/4 + πn/2. Положительна при −π/4 + πn < x < π/4 + πn, отрицательна при π/4 + πn < x < 3π/4 + πn. Убывает на [πn; π/2 + πn], возрастает на [π/2 + πn; π + πn].
3) y = 3 cos x: график cos x растянут от оси Ox в 3 раза. Множество значений [−3; 3]; период 2π. Наибольшее значение 3 при x = 2πn, наименьшее −3 при x = π + 2πn. Нули: x = π/2 + πn. Положительна при −π/2 + 2πn < x < π/2 + 2πn, отрицательна при π/2 + 2πn < x < 3π/2 + 2πn. Убывает на [2πn; π + 2πn], возрастает на [π + 2πn; 2π + 2πn]. Везде n ∈ Z.
1) y = 1 + cos x: график cos x сдвинут вверх на 1. Множество значений [0; 2]; период 2π. Наибольшее значение 2 при x = 2πn, наименьшее 0 при x = π + 2πn (в этих точках график касается оси Ox). Нулей: x = π + 2πn; y ≥ 0 при всех x, положительна при x ≠ π + 2πn. Убывает на [2πn; π + 2πn], возрастает на [π + 2πn; 2π + 2πn].
2) y = cos 2x: график cos x сжат к оси Oy в 2 раза. Множество значений [−1; 1]; наименьший положительный период π. Наибольшее значение 1 при x = πn, наименьшее −1 при x = π/2 + πn. Нули: x = π/4 + πn/2. Положительна при −π/4 + πn < x < π/4 + πn, отрицательна при π/4 + πn < x < 3π/4 + πn. Убывает на [πn; π/2 + πn], возрастает на [π/2 + πn; π + πn].
3) y = 3 cos x: график cos x растянут от оси Ox в 3 раза. Множество значений [−3; 3]; период 2π. Наибольшее значение 3 при x = 2πn, наименьшее −3 при x = π + 2πn. Нули: x = π/2 + πn. Положительна при −π/2 + 2πn < x < π/2 + 2πn, отрицательна при π/2 + 2πn < x < 3π/2 + 2πn. Убывает на [2πn; π + 2πn], возрастает на [π + 2πn; 2π + 2πn]. Везде n ∈ Z.
718. Найти множество значений функции y = cos x, если x принадлежит промежутку:
1) [π/3; π];
2) (5π/4; 7π/4).
1) [π/3; π];
2) (5π/4; 7π/4).
1) На [0; π] косинус убывает, поэтому на [π/3; π] он принимает все значения от cos π/3 = 1/2 до cos π = −1. Ответ: [−1; 1/2].
2) Так как π < 5π/4 < 7π/4 < 2π, на этом промежутке косинус возрастает от cos 5π/4 = −√2/2 до cos 7π/4 = √2/2; концы не включены. Ответ: (−√2/2; √2/2).
2) Так как π < 5π/4 < 7π/4 < 2π, на этом промежутке косинус возрастает от cos 5π/4 = −√2/2 до cos 7π/4 = √2/2; концы не включены. Ответ: (−√2/2; √2/2).
719. Построить график функции:
1) y = |cos x|;
2) y = 3 − 2 cos (x − 1).
1) y = |cos x|;
2) y = 3 − 2 cos (x − 1).
1) Строим график y = cos x, а часть, лежащую ниже оси Ox, симметрично отражаем относительно этой оси (часть выше оси оставляем). Получаем «арки» с вершинами y = 1 в точках x = πn и нулями в точках x = π/2 + πn; множество значений [0; 1], период π.
2) Строим цепочку преобразований: y = cos x → y = cos (x − 1) (сдвиг вправо на 1) → y = 2 cos (x − 1) (растяжение от оси Ox в 2 раза) → y = −2 cos (x − 1) (отражение относительно оси Ox) → y = 3 − 2 cos (x − 1) (сдвиг вверх на 3). Множество значений [1; 5], период 2π. Наименьшее значение 1 при x = 1 + 2πn, наибольшее 5 при x = 1 + π + 2πn.
2) Строим цепочку преобразований: y = cos x → y = cos (x − 1) (сдвиг вправо на 1) → y = 2 cos (x − 1) (растяжение от оси Ox в 2 раза) → y = −2 cos (x − 1) (отражение относительно оси Ox) → y = 3 − 2 cos (x − 1) (сдвиг вверх на 3). Множество значений [1; 5], период 2π. Наименьшее значение 1 при x = 1 + 2πn, наибольшее 5 при x = 1 + π + 2πn.